管理會計中數(shù)學邊際分析模型的應用研究

尹湘萍

（云南財經(jīng)職業(yè)學院，云南 昆明 650222）

1 管理會計和數(shù)學模型的關系

為突出數(shù)學模型與管理會計的充分應用，本文對數(shù)學和管理會計知識不作復述，主要闡述兩學課的交叉融合點。數(shù)學模型是對現(xiàn)實問題通過數(shù)學方法抽象，用數(shù)學語言來概括表述問題的內(nèi)涵，再對此問題進行求解，最終達到解決和優(yōu)化這一問題的目的。數(shù)學模型既源于現(xiàn)實又高于現(xiàn)實,不是實際原形,而是一種模擬,在數(shù)值上可以作為公式應用,可以推廣到與原物相近的處理一類問題。管理會計便是通過數(shù)學模型的建立，并根據(jù)管理會計中定量的數(shù)據(jù)信息進行科學的數(shù)學分析，可以使人們更科學和深入地理解管理會計內(nèi)部客觀變化規(guī)律，幫助我們用量化的思想做出優(yōu)化和決策。

2 管理會計中的邊際分析理論舉例

在管理會計問題中，常常需要考慮某些經(jīng)濟函數(shù)的變化率，即經(jīng)濟函數(shù)的導數(shù)。在經(jīng)濟學中，習慣將導數(shù)稱為邊際，而將利用導數(shù)對經(jīng)濟函數(shù)進行分析的方法稱為邊際分析方法。

邊際分析方法是管理會計中一種重要的處定量分析經(jīng)濟數(shù)量關系的數(shù)學模型方式，下面進行討論。若f(x)是一個可導的經(jīng)濟函數(shù)，則稱其導函數(shù)f'(x)為經(jīng)濟函數(shù)f(x)的邊際函數(shù)，并稱導數(shù)值f'(x0)為經(jīng)濟函數(shù)f(x)在點x0處的邊際函數(shù)值，且f'(x0)表示經(jīng)濟函數(shù)f(x)在點x0處的變化速度。西方經(jīng)濟學在數(shù)學中的“導數(shù)”思想出現(xiàn)后，就將函數(shù)的瞬時變化率作為研究方法引入到經(jīng)濟分析中，將其稱為邊際函數(shù)。“邊際”概念的出現(xiàn)曾引發(fā)了經(jīng)濟學研究方法的革命，是現(xiàn)代經(jīng)濟學誕生的標志。經(jīng)濟學中的“邊際”和數(shù)學中的“變化率”的計算方法都是而這種計算方法在數(shù)學上就是求導數(shù)。利用導數(shù)求邊際，便于理解掌握。邊際函數(shù)值f'(x0)的經(jīng)濟意義：當函數(shù)的自變量x從x0改變一個單位(即Δx= 1)時，函數(shù)的增量為但當x改變的“單位”很微小時，或x的“一個單位”與x0值相比很小時，則有近似式它表明：當自變量在x0處產(chǎn)生一個單位的改變時，函數(shù)f(x)的改變量可近似地用f'(x0)來表示. 在經(jīng)濟學中，解釋邊際函數(shù)值的具體意義時，通常略去“近似”二字。然后

故邊際函數(shù)值f'(x0)的經(jīng)濟意義是：在點x=x0處，當自變量x產(chǎn)生一個單位的改變量(即Δx=1或Δx=?1)時，相應的函數(shù)值y近似地改變個單位。在實際應用中，經(jīng)濟學家常常略去“近似”二字而直接說y改變了個單位，這就是邊際函數(shù)值的含義。

當自變量變?yōu)閮蓚€時，相應的用多元函數(shù)微分的偏導數(shù)定義邊際函數(shù)，下面舉例說明：

假設某廠商生產(chǎn)兩種型號電視機的月成本函數(shù)為C(r,s)=2r2+rs+s2+800000，其中C以元計，r為每月生產(chǎn)R型電視機的數(shù)目，s為每月生產(chǎn)S型電視機的數(shù)目。已知廠商定價R型電視機的價格p1=5000元/臺，S型電視機的價格p2=8000元/臺。設該廠商每月生產(chǎn)R型電視機500臺，S型電視機700臺，生產(chǎn)的電視機全部售完． 試求：

(1) 月成本與邊際月成本，并解釋其經(jīng)濟意義；

(2) 月收益與邊際月收益，并解釋其經(jīng)濟意義；

(3) 月利潤與邊際月利潤，并解釋其經(jīng)濟意義。

解 (1) 因C(r,s)=2r2+rs+s2+800000，故C r′(r,s)= 4r+s，C s′(r,s)=r+ 2s，從而每月生產(chǎn)R型電視機500臺，S型電視機700臺時的月成本與邊際月成本分別為：

Cr′(500,700 )=2700的經(jīng)濟意義：每月S型電視機的生產(chǎn)量保持在700臺不變的情況下，廠商在R型電視機的產(chǎn)量為500臺的基礎上每增加(或減少)生產(chǎn)一臺時月成本(即投入)約增加(或減少)2700元。

Cs′ (500,700 )=1900的經(jīng)濟意義：每月R型電視機的生產(chǎn)量保持在500臺不變的情況下，廠商在S型電視機的產(chǎn)量為700臺的基礎上每增加(或減少)生產(chǎn)一臺時月成本(即投入)約增加(或減少)1900元。

(2) 因廠商的月收益函數(shù)為R(r,s) =5000r+8000s，故

從而每月生產(chǎn)R型電視機500臺，S型電視機700臺時的月收益與邊際月收益分別為：R( 5 00,700 )=5000 ×500 +8000 ×700 =8100000(元)；

Rr′(500,700 )=5000的經(jīng)濟意義：每月S型電視機的生產(chǎn)量保持在700臺不變的情況下，廠商在R型電視機的產(chǎn)量為500臺的基礎上每增加(或減少)生產(chǎn)一臺時月收益約增加(或減少)5000元，該值恰好是R型電視機的價格。

Rs′(500,700 )=8000的經(jīng)濟意義：每月R型電視機的生產(chǎn)量保持在500臺不變的情況下，廠商在S型電視機的產(chǎn)量為700臺的基礎上每增加(或減少)生產(chǎn)一臺時月收益約增加(或減少)8000元，該值恰好是S型電視機的價格。

(3) 因廠商的利潤函數(shù)為L(r,s)=R(r,s) ?C(r,s)，即

從而每月生產(chǎn)R型電視機500臺，S型電視機700臺時的月利潤與邊際月利潤分別為：

Lr′( 5 00,700 )=2300的經(jīng)濟意義：每月S型電視機的生產(chǎn)量保持在700臺不變的情況下，廠商在R型電視機的產(chǎn)量為500臺的基礎上每增加(或減少)生產(chǎn)一臺時月利潤約增加(或減少)2300元。

Ls′( 5 00,700 )=6100的經(jīng)濟意義：每月R型電視機的生產(chǎn)量保持在500臺不變的情況下，廠商在S型電視機的產(chǎn)量為700臺的基礎上每增加(或減少)生產(chǎn)一臺時月利潤約增加(或減少)6100元。

3 邊際分析方法在擇優(yōu)分配原理中的應用

在管理會計的經(jīng)濟工作中，經(jīng)常遇到分配問題，所謂分配問題就是將供應有限的資源分給若干部門，以得到最佳的經(jīng)濟效果。這里的資源，可以是能源、資金、外匯、礦石、木材，甚至可以是人力、時間、土地等。為了判斷一個分配方案是否優(yōu)于另一個，必須有評價的標準。如果評價標準還沒有建立起來，討論優(yōu)劣便沒有任何意義，建立評價標準是經(jīng)濟學上的基本問題之一，本文不準備對這個問題加以討論，而是假定已經(jīng)具備了這個標準以后，討論如何制訂分配方案的方法。如果只有一個部門參加分配，最佳分配量是使收益獲得最大的量。如果收益對于分配的函數(shù)關系為已知，則通過微分方法可以求得切線為水平處的分配量X*為最佳分配量，見圖一。如果資源量少于X*，則顯然應將全部資源分配完，因為收益隨著分配而增長。

圖一 邊際產(chǎn)出

從這里所舉的例子我們可以看到，“收益”盡管在不同的情況下可以有不同的計量方法，例如鐵礦石的分配的收益可以是產(chǎn)出的生鐵量，電能的分配的收益可以是由于分配電能而得到的產(chǎn)值，資金的分配的收益可以是利潤數(shù)等，但所有這些收益均必須是純收益，即扣除支出以后的收益。否則，對于虧損企業(yè)，分配量越多虧損越大，盡管毛收益也隨著分配而增加。

當有幾個部門參加分配時，顯然不能用簡單的微分方法求得最優(yōu)解。考慮只有兩個部門參加分配的情況．我們先定義收益g對于分配x的導數(shù)，稱為邊際收益率，或邊際產(chǎn)出率。對于這兩個部門各有其收益函數(shù)g1(x1)及g2(x2) ．對應于任何一個分配方案，兩個部門各有其邊際收益率見圖二。如果這兩個邊際產(chǎn)出率不相等，這個分配方案必有改善的可能。設想對邊際收益率較大的第一部門增加微量分配dx，同時對邊際收益率較小的第二部門減少分配dx，則在總分配額x1+x2=X不變的條件下，兩部門的總收益可以獲得增量時，分配方案可以繼續(xù)改進，因此不是最優(yōu)分配方案，僅當兩部門具有同樣的邊際收益率時，分配方案才可能是最優(yōu)的。

圖二 投入和產(chǎn)出——分配和收益

當有多于兩個部門參加分配時，上面的結(jié)論同樣成立，因為如果有一個最優(yōu)分配方案，則任意兩個部門之間均應具有同樣的邊際收益率。否則僅對這兩個部門的分配加以調(diào)整就可以改善總收益量，任意兩部門都有相同的邊際收益率，只有當所有各部門的邊際收益率相同時才有可能。因此，邊際收益率相等是最優(yōu)分配方案的必要條件。

現(xiàn)在考慮收益函數(shù)是凸函數(shù)時，通過逐步地微量調(diào)整以改善分配方案，最終會得到什么結(jié)果？圖一、圖二中所繪的均系凸收益函數(shù)的情況，即對于同樣的分配量dx，當分配數(shù)量x增多時，如由x=a增加到x=b，a＜ b收益的增量，在改善分配效果時，是將較大的部門增加分配量，x增加以后該部門的必減小；而較小的部門減少分配量后，增大，這是凹函數(shù)的條件，改善分配的根據(jù)是，經(jīng)過調(diào)整改善之后各部門的大的變小，小的變大，因此逐步調(diào)整的結(jié)果是最終將使所有部門的邊際收益率均收斂于同一數(shù)值λ，即n為參加分配的部門數(shù)。

如果我們將總資源量X分成若干小份dx，然后一份一份選擇效果最佳的部門逐步分配下去，這就是一個擇優(yōu)分配的過程。此時最先得到分配的部門必是在原點附近收益函數(shù)最陡的部門。以后的分配必定是使最大的部門優(yōu)先照顧，但因dx是微增量，因此結(jié)果一定是每一個分配方案都使各部門具有同樣的邊際收益率。X從零開始一直到全部分配完畢，歷經(jīng)了無數(shù)的分配方案，每個方案都有的特點，而且它們都是最優(yōu)分配方案，因此，相等邊際產(chǎn)出率同時又是最優(yōu)分配方案的充分條件．因此可以得出結(jié)論：對凸的收益函數(shù)，各分配部門具有相等的邊際產(chǎn)出率，是最優(yōu)分配的充分必要條件。此時我們還假定了收益曲線是通過原點的，即分配為零時收益亦為零。

根據(jù)這個結(jié)論，我們很容易得到求各部門最優(yōu)分配量的方法：任意確定一個切線的斜率即對各部門的收益函數(shù)作平行切線，各切點所對應的橫坐標xi即為第i部門應該分得的資源量。如果可以改變的值，當切線斜度變陡，由于函數(shù)的凸性，各個xi均變小，反之λ變小時各個xi均變大。最后總可試湊使這個試湊過程在電子計算機上很容易實現(xiàn)。另一個求得最優(yōu)分配方案的方法是：由任意一個滿足的可行方案出發(fā)，不斷優(yōu)化這個方案，即減少小的部門的分配量，改配給大的部門。最后各部門的均相等時即為最優(yōu)分配方案。

如果收益函數(shù)是凹的，逐步改善分配的結(jié)果不會收斂于等邊際收益率。因為對于凹函數(shù)，大的部門增加分配以后，變得更大，而小的變得更小。

結(jié)果全部資源都將分配給一個部門。而且分配的結(jié)果與最初方案的選定有關，因為全部資源最終都將分配給最初方案中最大的那個部門，而不同的初始分配方案下，各部門相對的的大小次序不同。然而凹函數(shù)求極小值時，完全可以應用剛才討論的凸函數(shù)求極大值的理論，在經(jīng)濟問題中成本函數(shù)對于生產(chǎn)的各種要素（投入的資本、勞力、應用的物料、生產(chǎn)進度安排等）往往具有凹特性。使成本極小化就可應用成本對生產(chǎn)要素分配量的邊際變化率相等的最優(yōu)化條件，來確定生產(chǎn)要素的最佳分配。

4 結(jié)語

通過以上邊際分析實例可以看出，數(shù)學模型在管理會計中的定量分析越充分，對企業(yè)管理的決策就越理性和科學，數(shù)學模型在管理會計中充分融合，將有非常可觀的應用前景。