冪級數求和函數的方法探究

李瑞瑞 孫銘娟

(信息工程大學基礎部， 河南 鄭州 450001)

1 和函數的分析性質

逐項積分后所得到的冪級數和原級數有相同的收斂半徑。

逐項求導后所得到的冪級數和原級數有相同的收斂半徑。

以上性質告訴我們，冪級數的和函數在收斂區間內，可以逐項積分和逐項求導，并且逐項積分與逐項求導不改變冪級數的收斂半徑。在利用該性質求和函數時，我們往往關注性質的前半部分。借助分析性質求和函數常見步驟如下圖所示：

2 典型例題

常規解法：先求收斂域。

再求和函數：

由和函數在收斂區間內逐項可導的性質，得

常規解法：先求收斂域。

當x=0時，級數顯然收斂。

再求和函數：

再利用和函數的逐項可積性質

簡化解法：

由和函數在收斂域內逐項可積的性質，得：

3 結論

通過逐項求導或逐項積分求冪級數的和函數，是求冪級數和函數的一種常用方法，本文利用和函數分析性質中收斂半徑不變的特點，由已知到未知，簡化求解過程。另一方面，常規解法是“由果索因”的過程，是用分析法處理問題，而上述方法則是“由因導果”，是綜合法，兩者是可以相互轉化的。但是教輔中經常是兩種解法靈活運用，對初次接觸這類問題的學生來說容易產生困惑，本文通過“由果索因”和“由因導果”區分兩種方法，以期使學生的解題思路更加清晰。