角向正弦高斯光束及其緊聚焦特性

李曉宇 呂玉東

1.山東理工大學物理與光電工程學院 山東 淄博 255000

2.山東化工職業學院 山東 濰坊 261000

引言

1997年Casperson等人提出了波動方程在直角坐標系下的一類特殊解,即厄米-正弦類高斯光束,并研究了該類光束在自由空間和復雜光學系統中的傳播特性[1,2]。在此基礎上,人們進一步對厄米-正弦類高斯光束的一些特例進行了相關的研究,如呂百達等人對此類光束做了比較系統的報道,詳細給出了有光闌和無光闌情況下兩種形式,并對其傳輸特性進行了研 究[3,4];R.P.Chen等人研究了Kerr介質對雙曲正弦光束傳播的影響[5],Y.Huang等人報道了正弦高斯光束在湍流中的傳播和遠場特性[6];另一方面,利用該類光束實現其他的光場的調控也多有報道,如H.Tang等人利用正弦高斯光束產生了中心暗部的空心光場[7],類似的,Jie.Z等人采用分數傅里葉變換的方法獲得了橢圓形的中心暗部光場[8]等等;從目前的研究來看,該類光束的研究多集中在其在標量光場中的傳播特性,對其在矢量光場中的傳輸研究較少。

柱矢量光束(Cylindrical vector,CV)自2000年被Youngworth等人首次研究了緊聚焦特性以來[9],人們開始意識到矢量光場在緊聚焦方面的應用潛力,角向偏振光(Radially polarized,RP)和徑向偏振光(Azimuthally polarized,AP)作為矢量光束的兩種典型,也一直保持著較高的研究熱度。研究表明,經高數值孔徑物鏡聚焦后的角向偏振光不產生徑向電場分量,總的場分布表現為橫向分布。依據這種特殊的焦場性質,Youngworth等人將其應用在掃描顯微鏡照明上可以獲得具有梯度敏感的暗場圖像[10],B.Tian等人利用緊聚焦的雙環形角向偏振光實現了亞波長聚焦孔徑[11],Yuan等人使用空間相位板對緊聚焦角向偏振光進行調制,得到了具有長焦深的無衍射橫向偏振光[12]。此外,X.Jiao等人利用旋轉對稱的扇形障礙物實現角向偏振光在緊聚焦系統中的橫向能流的重建,這種構建橫向能流的方法對光能的轉換損失較大[13],最近,Z.Man等人又提出使用環形螺旋相位板對角向偏振光束進行調制,在保證焦平面能流重構的同時,又為光束整形提供了思路[14]。

在本文中,我們提出了一種具有角向偏振的正弦高斯光束(sine-Gaussian beam,SGB),借助Richards-Wolf矢量衍射理論,構建了該光束在緊聚焦系統中的電磁場和坡印廷矢量模型,基于該模型我們計算了這種結構光場在焦平面上的電磁場分布和坡印廷矢量的分布情況。結果顯示,雖然振幅調制破壞了光束的對稱性,但對橫向能流的影響卻很小,依舊保持角向偏振光的緊聚焦特性,并在焦平面上產生扁平狀光斑,此外,我們還研究了焦平面上的角動量(Angular momentum,AM)分布,這些特性或在光學捕獲和光學操縱中有應用潛力。

理論和方法

線性偏振光的電場表達式在數學上可以描述為[15]

這里,A0為入射光的振幅相關常數,r為極徑,ω0為光束的束腰半徑,êx和êy為 沿x方向和y方向上的偏振基矢,φ為方位角,êr和êφ分別為極坐標系中沿徑向和角向的基矢量,φ0代表光束的初始偏振方向。

我們選取初始方向沿y軸方向的線性高斯光束經過角向偏振提取器,由于偏振提取器的特殊結構可以選擇光束的每一點處偏振的角向分量通過,而阻擋住偏振徑向分量,因此,我們就可以很方便的獲取這種具有角向偏振的正弦光束。

在緊聚焦系統中,入射光束的振幅、偏振相位等信息會對其緊聚焦特性產生重要的影響并為光學系統設計提供思路。將獲得的SGB通過高數值孔徑(NA)物鏡,并在像空間獲得聚焦的電場分布,根據Richard-Wolf矢量衍射理論[16],在聚焦區域的光束的電場表達式可以描述為:

這里k=2πn/λ是像空間波數,λ為自由空間中的入射波長,f為系統焦距,θ和?為像空間光線與縱向z軸的收斂角和像空間光線方位角,系統最大匯聚角α由高數值孔徑物鏡和像空間折射率n決定,入射光的相對振幅分布l0(θ,φ)在光瞳面上處的表達式為

這里β為入瞳半徑和束腰半徑的比值。

相似的,根據電場和磁場的對應關系,我們還推導了在聚焦區域的磁場分布表達式

這里ε和μ為物空間介電常數和磁導率。值得注意的是,和電場分量不同,在聚焦區域磁場縱向分量不為零。

結果與討論

現在,我們根據以上的分析模型對SGB在緊聚焦系統中的聚焦特性進行討論,在計算中我們選取系統參數NA=0.95,波長λ=532nm,β=1,圖(1)顯示了聚焦電場的強度分布情況,三列從左到右分別代表橫向分量、縱向分量和總的強度分布,第一行顯示了焦平面(x-y平面)的電場分布情況,第二行顯示過焦平面(x-z平面)的電場分布情況,所有的數值歸一化至電場最大值。在電場分布中,總的電場分布由橫向分量提供,縱向分量為0,這與已經報道的結果相一致,不同的是,在焦平面上,橫向分量打破圓對稱分布的特性,旁瓣強度和電場中心強度相比微弱且電場最大值集中在光軸中心,呈現橢圓形實心分布。這主要得益于入射光場的振幅的正弦分布。對應的,在過焦平面上,電場強度在焦平面處最大,方向沿z軸正方向且軸向寬度大于橫向寬度。

圖1計算了SGB在焦平面上(第一行)和過焦平面(第二行)上的電場強度分布。從左至右分別對應橫向電場分量,縱向電場分量和總電場分布。強度模式歸一化至總的電場強度最大值。

同時,我們還計算了緊聚焦的SGB在焦平面和過焦平面上的磁場分布情況,如圖(2)所示,有趣的是,磁場的橫向分量與電場的橫向分量分布相類似,強度最大值都集中在光軸中心,不同的是,磁場具有縱向分量,在焦平面上,縱向分量分布在幾何焦點兩側,強度與

橫向強度相近,總的磁場強度由橫向分量和縱向分量相疊加,在x方向上拉伸,且最大值在幾何焦點兩側。在過焦平面上,縱向分量分布在光軸兩側,為總磁場分布提供邊緣貢獻。

圖2計算了SGB在焦平面上(第一行)和過焦平面(第二行)上的磁場強度分布。從左至右分別對應橫向磁場分量,縱向磁場分量和總磁場分布。強度模式歸一化至總的強度最大值。

在實際的緊聚焦研究中,人們常常將研究重點放在電場和磁場分布情況上,事實上,在光與物質相互作用時,能量和動量的轉移常常離不開對坡印廷矢量的研究,在時諧三維電場中,時間平均坡印亭矢量根據電場和磁場矢量定義為[17]:

在這里我們計算了SGB在焦平面和過焦平面上的坡印廷矢量的分布情況,如圖(3)所示,圖(a)顯示了焦平面上橫向坡印廷矢量分布情況,明顯的,對于入射光的振幅調控對橫向坡印廷影響很小,與圖(b)中縱向坡印廷矢量相比可做忽略處理。在過焦平面中,縱向分量保持正值,且方向沿y軸正方向,這意味著當吸收性顆粒在光場中時,縱向坡印廷矢量會為其提供向右的輻射壓力,推離粒子向右移動。

我們知道,和坡印廷矢量一樣,光在傳播過程中攜帶的角動量在理解光與物質相互作用時的動力學原理具有重要意義。對于光學角動量,通常情況下由兩部分構成:自旋角動量和軌道角動量[18-20]。

其中,自旋角動量有[21-23]:)

對應的,軌道角動量為:

這里ω=kc為角頻率,c為真空中的光束。圖(4)顯示了焦平面處SGB的角動量分布情況,三列分別代表自旋軌道角動量、軌道角動量和角動量分布情況,第一行和第二行分別為對應的橫向分量和縱向分量,其中,黑色的箭頭代表各點的方向。在(a)中,橫向自旋角動量由縱向電場產生,正是如此,縱向電場分量的缺失使得橫向自旋角動量數值極小,忽略不計,這也意味著當吸收性顆粒處于焦場中,不會受到自旋力矩的影響發生旋轉。而軌道角動量則不同,在分布上橫向軌道角動量呈現非均勻分布,在整體方向上表現為順時針旋轉,在焦點中心存在奇點?？偟膩砜?緊聚焦的SGB角動量主要由橫向軌道角動量提供,這對研究吸收性顆粒的在緊聚焦光場中的軌道運動具有重要意義。

圖3計算了SGB在焦平面上(第一行)和過焦平面(第二行)上的坡印廷矢量分布。左右兩列分別對應橫向坡印廷矢量和縱向坡印廷矢量,所有的強度分布均歸一化至坡印廷矢量在焦平面上的最大值。

圖4緊聚焦的CGB在焦平面上的角動量密度的橫向分量(第一行)和縱向分量(第二行)。從左到右分別對應自旋角動量密度,軌道角動量密度,和角動量密度,(a)-(c)中的箭頭說明了該處自旋角動量密度,軌道角動量密度和角動量密度的方向,(d)-(f)中正值和負值分別對應沿z軸正方向和負方向。強度分布歸一化至線性動量最大值。

結論

總的來說,我們在本文中提出了一種生成具有角向偏振的正弦高斯光束,并根據Richard-Wolf矢量衍射理論建立了在緊聚焦系統中的該光束電磁場分析模型。計算顯示,該光束在緊聚焦系統中可以產生橢圓形的電場分布,這對該光束在光學捕獲等方面的應用提供了新的參考;我們還對該光束在緊聚焦系統中的磁場和坡印廷矢量進行了計算分析,振幅調控雖然破壞了光束的軸對稱性,但在焦平面上依舊保持橫向能流的缺失;最后,我們計算了對應焦平面上角動量的分布,角動量主要由軌道角動量構成且呈非均勻分布,在方向上呈現順時針旋轉,該特性有望在研究光學顆粒在光場中的軌道運動提供方向。