基于學生視角的排水法應用題淺議

彭瓊瑩

(浙江省臺州市黃巖區西江小學教育集團 浙江 臺州 318000)

排水法這個數學模型是從我們求不規則物體的體積引入的，通過轉化的思想將先前獲得的求規則物體體積的知識用于解決新的、不熟悉的不規則物體的體積。以橡皮泥跟石頭兩種不同的物體的體積為例，引導學生經歷排水法解決問題的過程。

求不規則物體的體積的基本方法有兩個：一是等積變形把不規則物體的體積轉化成規則物體的體積；二是用排水法測量不規則物體的體積。通過轉化的思想達到問題的解決。從橡皮泥入手，讓學生理解等積變形的數學思想，然后再到石頭產生思維沖突，通過直觀的實驗操作，讓學生明白水面上升是因為投入了石頭，石頭占據了水的空間位置，所以增加的體積就是石頭的體積，“水和物體的體積-水的體積=物體的體積”。

然而，這只是排水法的初步模型，建立在容器足夠大，物體完全浸沒在水中的情況，而實際的解題中，排水法卻存在很多情形：

1.物體完全浸沒

1.1 容器足夠大。這是最初步的模型，在這種情況下，水上升的體積就是物體的體積。

水和物體的體積-水的體積=水上升的體積=物體的體積

例如：有一個長方體容器，長5厘米，寬4厘米，高3厘米，容器水深2厘米，現有一個棱長為2厘米的正方體，浸到底部，水面如何變化？

根據已有信息，通過對比水深跟正方體的棱長，很明顯正方體可以完全浸沒，水上升的體積就是物體的體積。上升水的形狀取決于容器的形狀，應是長為5厘米，寬為4厘米的長方體，利用長方體體積公式，求高得出2×2×2÷5÷4=0.4(厘米)，水面上升了0.4厘米。

1.2 容器不夠大。在這種情況下，水面同樣上升，然而由于容器本身不夠大，導致一部分上升的水溢出了，所以此時物體的體積由水上升的體積和溢出水的體積兩部分組成。

水上升的體積+溢出水的體積=物體的體積

例如：有一個長方體容器，長5厘米，寬4厘米，高3厘米，容器水深2厘米，現有一個棱長為3厘米的正方體，浸到底部，水如何變化？

從題中可以看出，這個容器水面最多只能上升1厘米，即可容納水的空間只剩5×4×(3-2)=20(立方厘米)，而這個正方體的體積是3×3×3=27(立方厘米)，從容器高度來說能完全浸沒正方體，但是造成水上升的體積已經超過了容器所能容納的空間，水上升后會溢出。所以水面上升1厘米，并且溢出3×3×3-20=7(立方厘米)的水。

2.物體沒有完全浸沒

2.1 容器足夠大。有時候物體未必能完全浸沒在水中，此時，影響水面高度的并不是物體的整體，而只是物體浸沒在水中的部分。但是究竟有多少浸沒在水中？這不等于水原來的高度，因為但凡物體有所浸入水中，占據了水原有的空間位置，都會導致水面上升，那么浸沒的高度必定大于水原來的高度。此時物體浸沒的高度就是個未知數，用原來的思路解題就顯得麻煩。

此時不妨換個思路，在數學解題策略里，有一個抓不變量的思維方法。規則物體不能完全浸沒水中，當容器足夠大時，若讓物體沉入水底，此時水的體積是不變的，只不過被物體擠壓，改變了形狀，變成了空心柱體，水的底面積變小了，所以高度上升。

水的體積=(原來的底面積-物體的底面積)×水面現在的高度

例如：有一個長方體容器，長5厘米，寬4厘米，高3厘米，容器水深1厘米，現有一個棱長為3厘米的正方體，浸到底部，水如何變化？

2.2 容器不夠大。容器不夠大時，物體只能浸沒到容器口，多余的部分仍然會溢出，不過這種情況不能直接判斷，仍然需要計算來證明。

例如：有一個長方體容器，長5厘米，寬4厘米，高3厘米，容器水深2厘米，現有一個棱長為4厘米的正方體，浸到底部，水如何變化？

從題中可以看出，這個容器水面最多只能上升1厘米，可容納水的空間是4×5×(3-2)=20(立方厘米)。容器的高度是3厘米，正方體最多只能浸沒到3厘米處，能讓水產生4×4×3=48(立方厘米)的變化，超過了容器可容納的空間，水上升1厘米厚，還會溢出48-20=28(立方厘米)。

排水法的模型最初是由求不規則物體引入的，但最終卻不僅僅停留在求不規則物體體積完全浸沒的情況。題目的變形可分為兩大類，如下圖：

完全浸沒 物體的體積=水上升的體積(+水溢出的體積)不完全浸沒 物體浸入水中的體積=水上升的體積(+水溢出的體積)由于通常浸入水中的部分未知,可設未知數用方程解答,當物體規則且浸入水底時,可抓住水體積不變形狀變來研究水面的變化:水的體積=(原來的底面積-物體的底面積)×水面現在的高度

數學題中一些細節的更改，會讓題意產生很大變化，要想對排水法融會貫通，還需要通過同類題不同數據的對比練習強化學生的判斷，建立起排水法系統的數學模型。