不變子群基本定理以及相關例題

韓榮梅 內蒙古科技大學包頭師范學院數學科學學院

一、不變子群的基本理論

定理1：一個群G 的一個子群N 是一個不變子群的充分而且必要條件是

a 為G 中任意一個元。

證明：假設N 是不變子群，則對于群G 的任意元a 來說，，所以有

假如對于G 的任何a 來說

那么

N 是不變子群。

定理2：一個群G 的一個子群N 是一個不變子群的充分而且必要條件是

因此由定理1 得，N 是不變子群。

例1：證明：群G 的任意一個不變子群的交還是G 的一個不變子群。

證明：現只需要證，群G 中任意兩個不變子群的交還是群G 的不變子群。

設N1、N2為群G 的兩個不變子群，則有N1N2是G 的 子 群，則，并且，但N1、N2為群G 的兩個不變子群，故，所以

例2：設H，N 是群G 的兩個子群，證明：

（1）如果H，N 中有一個是不變子群，則HN 是群G 的一個子群；

（2）如果H，N 都是G 的不變子群，則HN 是群G 的一個不變子群。

證明：（1）若H，N 中有一個是不變子群，假如N 是群G 的一個不變子群，則在乘積HN 中任取兩個元素a，b，并令

則由于H 是G 的子群，而N 是群G 的一個不變子群，所以

從而HN 是群G 的一個子群。

（3）設H，N 都是G 的不變子群，由（1）可知，HN 是群G 的一個子群，

所以HN 是群G 的一個不變子群。

例3 指數是2 的子群一定是不變子群。

證明：方法一：

令N 是群G 的一個指數是2 的子群，并且

二、不變子群與商群

定義：群G 的不變子群N 的全體陪集對于陪集的乘法作成一個群，稱G 是關于N 的商群，用符號來表示。

商群的階數是N 在G 中的指數，若G是有限群，則

例4：證明：如果群G 只有一個n 階子群，那么這個n 階子群一定是G 的不變子群。

證明：設H 是群G 的一個n 階子群，則對于G 中任意元素a，也是群G 的一個n 階子群。

綜上所述，H 為群G 的不變子群。

例5：置換群S4的不變子群N={E,(12)(34),(13)(24),(14)(23)}，求它的陪集組成的商群

以上的K1， K2， …， K6已經包含了S4中的所有元，現用S4的其他元素對N 作陪集，得到的結果與上面所得到結果相同。例如：

由上可制作如表一的商群的群表，例如：