關于二次函數的變換案例分析

袁保玉 李巖 劉維全

摘要：初中數學中二次函數部分“函數的變換方式”是難點，鑒于本部分有很強的幾何代數知識的結合性，因此該部分在教學過程中需要結合科學完備的教學方式，并輔以先進有效的教學理念。本文主要針對初中數學中二次函數教學中“函數圖像的變換”這部分內容進行擴展分析，以課堂實踐案例解析的形式對該課時的教學提供教學方法和改進意見，以求優化教學方法，達到更好的教學效果。

關鍵詞：二次函數；變換；分析；教學方法

中圖分類號：G633.6文獻標識碼：A文章編號：1992-7711（2021）28-0103

二次函數是初中階段代數學中的一大難點，也是中考的一大考點和高中函數的基礎。因此，二次函數的學習在初中階段的數學中尤為重要。本文將針對滬科版九年級上冊第二十二章“二次函數與反比例函數”中擴展專題“二次函數圖像的變換”的具體案例進行分析研究，以求優化教學方法、提高教學效果。

一、教材分析

教材分析：二次函數的坐標變換建立在對二次函數圖像已經有一定的理解和掌握的基礎之上，是二次函數表達式與圖像內容的擴展和延伸，是“二次函數”相關內容考查的難點，許多考試中出現的經典題型或偏難題型的基本思路，是初中數學階段的一大重點和難點[1]。

二、教學重難點

教學重點：二次函數圖像的三種變換

教學難點：二次函數表達式的變換在二次函數圖像上的體現[2]

三、教學過程

1.課題引入

回顧二次函數的表達式y=ax2+bx+c對應圖像的畫法和大概形狀，在二次函數表達式的學習中，我們已經了解了字母a、b、c在圖像中的作用，這節課主要研究二次函數圖像的變化。

2.平移變換

拋物線在x軸上面的平移變換：給出y=2（x+2）2-1的圖像后提出問題：計算拋物線的頂點，然后在同一坐標系下給出向右平移五個單位的圖像，再計算平移后頂點的坐標，思考拋物線向右平移五個單位后，它對應的函數表達式。將拋物線的平移問題轉化為點的平移問題，更方便學生的理解和掌握。

3.軸對稱變換

給出拋物線y=2（x+2）2-1的圖像，并引導思考圖像x、y對稱后得到的圖像。給出這兩個新的圖像的頂點并與原圖像頂點坐標進行對比。交流后總結：在坐標軸中進行對稱變換時，關于x軸對稱，頂點變縱坐標，開口方向改變；關于y軸對稱，頂點變橫坐標，開口方向不變。

4.旋轉變換

給出y=2（x+2）2-1的圖像，想象拋物線繞頂點旋轉180°以后的形狀。同時給出拋物線繞頂點旋轉以后的圖像，并提出下一個問題：拋物線繞原點旋轉以后得到的圖像，通過觀察和計算給出這兩個新的圖像的頂點并與原圖像頂點坐標進行對比，探尋其中的規律：拋物線繞頂點旋轉180°，只變開口方向；繞原點旋轉180°，頂點坐標、開口方向都變。

5.課堂練習

第1題.已知拋物線C1：y=2x2+4x+5

（1）拋物線C2與C1關于y軸對稱，求拋物線C2的解析式；

（2）拋物線C1繞原點在平面內旋轉180°得到拋物線C4，求拋物線C4的解析式；

（3）拋物線C1繞頂點在平面內旋轉180°得到拋物線C5，求拋物線C5的解析式。

第2題.已知二次函數y=（x+1）2+2，將圖像繞點（0，3）旋轉180°后得到的函數圖像解析式為______________。

題目有一定的創新性，采用“四人一組、小組討論”的方法進行題目的探究，在布置題目前強調要遵照“數形結合”的思路進行分析。

6.歸納總結

本部分的主要教學任務是將所學的三種函數圖像聯系起來并分析不同種類圖像對應的函數表達式之間的區別和聯系。

四、總結分析

此種教學方案在實施過程中運用了“創設情景法”方便學生對于所學內容的理解和吸收，同時課堂的邏輯性、系統性較強，在授課過程中很有章法。

亮點在于：在進行二次函數表達式的講解時十分注重表達式與圖像的相互結合過程；而且在講課過程中大量運用“空間想象”這一教學方法，將本次授課的內容與函數圖像在表達式上的直觀變換緊密結合在一起[2]。這種授課方式很有帶動性，并且學生對于知識的理解能力也可以得到提高。課堂提問的方式，注意啟發和追問。

不足在于：授課過程中缺少合作和討論，如果把集體回答換成小組討論，會在一定程度上節省時間，同時也會活躍課堂氛圍，提高整體效率[3]。而且“圖像的平移”環節簡單而且重復性很強，占用了大量的課堂時間，布置的課堂練習基礎性較低，綜合性較強，沒有遵照“循序漸進”的原則進行布置[4]。

參考文獻：

[1]涂勝德.初中數學《二次函數》的教學案例分析及反思[J].數學學習與研究（教研版），2012（1）：25-30.

[2]張學慧.初中數學教學案例《函數與圖像》[J].新課程·中學，2014（4）：56-57.

[3]王正美.初中數學教學中“二次函數”的教學策略研究[J].教學周刊，2016（22）：15-16.

[4]譚樹標.初中數學二次函數教學中存在的問題及其策略分析[J].課程教育研究，2016（3）：38-39.

（作者單位：安徽省合肥一六八玫瑰園學校230601）