基于RBF 神經網絡的壓電位移臺遲滯非線性建模研究?

周 哲楊曉京

(昆明理工大學機電工程學院，云南 昆明650500)

近年來，隨著超精密制造業的發展，微納米驅動定位技術受到了廣泛的重視[1]。 壓電陶瓷作動器具有能量密度大、響應速度快、精度高等優點，被作為理想的微位移驅動器，在超精密加工，微機電系統，納米生物工程，航空航天等領域得到了廣泛的應用[2]。 但由于壓電陶瓷材料其本身所固有的遲滯非線性特性對其定位精度的影響，使得由壓電陶瓷作動器驅動的微位移平臺的應用和推廣受到了極大的限制[3]。 因此，消除壓電陶瓷的遲滯非線性對其定位精度的影響，以實現高精度的定位，是目前研究的關鍵和熱點問題[4-5]。

針對壓電陶瓷位移臺的遲滯非線性對壓電微定位臺定位精度的影響這一問題，目前的主要研究方向是通過建立各種遲滯非線性的系統數學模型，來模擬壓電陶瓷輸入電壓和位移之間的遲滯關系[6]。當前國內外比較常見的有Preisach 模型[7]、Prandtl-Islinksii 模型[8-9]、Jiles-Atherton 模型[10]、Bouc-Wen模型[11]等。 但由于他們的逼近精度受到模型遲滯單元的描述能力的影響，在大功率的輸入條件下，建立的動態遲滯非線性模型穩健性會變差[12]。 近年來，越來越多的學者選擇將神經網絡運用到壓電作動器的遲滯建模中。 Tai N 等人基于Kuhnen 的動態遲滯結構，利用遲滯算子對輸入的映射關系進行轉換，建立了壓電陶瓷的遲滯神經網絡模型[13]，張新良[14]和趙新龍[15]利用擴展遲滯輸入空間的方法，建立了具有速率依賴性的遲滯算子的神經網絡模型。

本文采用基于play 算子的改進的PI 模型和RBF神經網絡模型來構建壓電陶瓷微位移臺的遲滯模型。通過與實驗結果的對比表明，該模型能夠以較小的誤差準確有效的描述壓電陶瓷的遲滯特性，而且具有較好的頻率泛化能力，易于工程實現。

1 遲滯模型的建立

當壓電陶瓷位移臺的輸入電壓頻率變化較大時，其輸入和輸出關系變化較大，表現出和輸入電壓頻率相關的遲滯特性，如下圖1 所示。 徑向基函數神經網絡(Radial Basis Function，RBF)結構簡單、收斂速度快、是一種具有三層結構的前向神經網絡，對非線性網絡具有一致逼近的性能，因此用來辨識遲滯非線性特性具有獨特的優勢，可以減少傳統模型因受限于單元描述能力而造成的誤差。

圖1 壓電陶瓷位移臺的率相關特性

1.1 遲滯算子

由于前向神經網絡只能逼近一對一的映射關系，而壓電陶瓷的遲滯特性表明，在不同時刻相同的輸入下，存在不同的遲滯輸出與之對應，即為多對一的映射關系。 為了將前向神經網絡用于多值映射的辨識，因此需要引入一個遲滯算子來拓展神經網絡的輸入空間，將遲滯過程中多對一的映射轉化為一對一的映射關系，如圖2。

本文選用PI 模型的play 算子來構造神經網絡的遲滯算子，如圖3。

圖2 拓展輸入空間

圖3 play 算子示意圖

單個play 算子的數學表達式如下:

式中:r為play 算子的閾值；x(k)為算子輸入；y(k)為算子輸出。 由于電壓值恒為正，因此只用到完整play 算子的第一象限部分。

在升壓過程中，當x(k)≤r時，算子輸出y(k)保持為零；當r≤x(k)≤xmax時，y(k)的輸出為x(k)-r；在降壓過程中，當輸入電壓從xmax降到xmax-2r的過程中，y(k)的輸出保持為xmax-r；在輸入電壓從xmax-2r降到零的過程中，遲滯輸出為y(k)＝x(k)＋r。

因為Play 算子具有和壓電陶瓷相似的遲滯現象，將多個Play 算子與各自的權值相乘之后疊加，即可得到模擬壓電陶瓷的PI 遲滯算子模型，其數學表達式為

式中:n為疊加的Play 算子的個數；Y(k)為k時刻PI 遲滯算子的輸出；ωi為第i個Play 算子的權值；ri為第i個算子的閾值。

可將上式寫為向量形式:

1.2 RBF 神經網絡

徑向基函數神經網絡(Radial Basis Function，RBF)結構簡單、收斂速度快、是一種具有三層結構的前向神經網絡，對非線性網絡具有一致逼近的性能，因此用來辨識遲滯非線性特性具有獨特的優勢，可以減少傳統模型因受限于單元描述能力而造成的誤差。

在徑向基(RBF)網絡中，輸入層把輸入向量輸到隱含層，隱含層神經元一般由徑向基函數組成，而輸出層則根據線性最優策略進行調整。 隱含層的激勵函數會對輸入量產生局部調整，距離基函數中心區域越近，其調整響應就越劇烈，所以RBF 神經網絡具有強大的逼近能力。 其結構如圖4 所示。

圖4 RBF 神經網絡結構

由于高斯函數的差值結果和網絡結構最為接近，本文選取高斯函數作為RBF 神經網絡的基函數，其學習過程如下:

確定中心以后，高斯基函數的標準差按照以下公式選取:

式中:dmax為所選取中心之間的最大距離，n，m為輸入層，隱含層個數；神經網絡的輸入為x＝[x1，x2，…xn]，φj為隱含層第j個神經元的輸出，如下式:

上式中，cj＝[cj1，cj2，…，cjn]為隱含層第j個神經元中心點的向量值。 輸出層的權值為ω＝[ω1，ω2，…，ωm]T，由上可得，RBF 網絡的輸出為:

本文采用均方根誤差(Root mean square error，RMSE)和相對誤差(Relative error，RE)來作為檢測誤差的標準，描述所建立的仿真模型的擬合效果。計算公式如下:

式中:N為采集樣本數據的個數；y′(i)為采集到的壓電陶瓷作動器的實際位移輸出；ym(i)為建立的RBF 神經網絡模型的輸出，由式(6)得到。

2 仿真結果和實驗驗證

采用如圖5 所示的實驗設備進行壓電位移數據的采集。 其中壓電微微位移定位臺采用哈爾濱芯明天公司生產的三維壓電定位臺XP-611.XYZ，其內部裝有lvdt 位移傳感器以測量定位臺的位移，其分辨率可達0.02 μm。 壓電陶瓷控制器采用XE-500/501D 系列控制器，由功率放大器、傳感器控制模塊和顯示接口模塊組成。 實驗過程如下:首先由計算機發出信號，經控制器進行D/A 轉換變為模擬信號，經過控制器內部的功率放大模塊放大，作用于微位移臺上，產生位移并實時檢測傳回計算機控制系統。

圖5 實驗裝置

本文使用輸入信號頻率為2 Hz，幅值為70 V 時的正弦電壓，輸入電壓信號為U＝30sin(4πt-/π/2)＋40，確定相應的遲滯算子信號以及輸出信號，通過使用MATLAB 神經網絡工具箱，調用newrb 函數構建標準的三層RBF 神經網絡。 隱含層使用高斯徑向基函數，輸出層為隱含層輸出的線性加權和，如式(6)所示。

為了驗證模型的率相關性，將頻率為10 Hz，電壓幅值為70 V 時的正弦電壓作為輸入信號輸入到建立的RBF 神經網絡仿真模型中，得到10 Hz 時輸出的仿真位移數據，并與頻率為10 Hz 時的壓電陶瓷作動器輸入輸出數據進行比較，計算一個周期內的誤差，結果如圖6。

從圖6(a)可以看出，RBF 神經網絡模型的仿真曲線和壓電陶瓷位移臺的實驗遲滯曲線基本上重合。由圖6(b)中的誤差曲線可以得到，在頻率為10 Hz時，仿真模型輸出位移的最大誤差為0.399 0 μm，計算可得模型的平均誤差為0.259 4 μm，均方根誤差為0.138 3 μm，相對誤差為0.95%，說明構建的RBF 神經網絡仿真模型能夠比較精確的描述壓電陶瓷微定位臺的遲滯非線性特性。

為了更好的驗證壓電陶瓷的遲滯現象的率相關性，使模型具有更優的頻率泛化能力，本文使用電壓幅值為70 V，頻率分別為30 Hz，60 Hz，90 Hz 的正弦信號作為輸入信號，輸入至構建的RBF 神經網絡仿真模型中，得到相應的仿真輸出位移，并與實驗所采集的位移數據進行比較，得到如圖7～圖9 所示的遲滯曲線和誤差曲線:

圖6 頻率為10 Hz 時，仿真結果與實驗數據對比

圖7 頻率為30 Hz 時，仿真結果與實驗數據對比

圖8 頻率為60 Hz 時，仿真結果與實驗數據對比

圖9 頻率為90 Hz 時，仿真結果與實驗數據對比

由于誤差相對于整體位移來說量級過小，在遲滯曲線中無法直接觀測出明顯差別，可從誤差曲線中分析得到，在輸入電壓頻率從30 Hz 升至90 Hz時，相對與10 Hz 時的仿真結果而言，最大誤差，均方根誤差和相對誤差均有不同程度的小范圍上升，這是由于壓電陶瓷自身的動態特性造成的。 分析整理圖6～圖9，可列出表1。 由表1 可以看出，隨著輸入電壓頻率的升高，RBF 神經網絡模型輸出的平均位移誤差出現持續的減小趨勢，說明RBF 神經網絡模型在搜索逼近過程中迭代均勻，并未陷入局部最優。 由圖6～圖9 和表1 可以看出，在輸入電壓頻率為10 Hz～ 90 Hz 時，仿真模型的最大誤差僅為0.399 0 μm～0.932 1 μm，均方根誤差僅為0.259 4 μm～0.565 2 μm，相對誤差為0.95%～2.48%，表明本文構建的RBF 神經網絡模型在10 Hz 至90 Hz 的輸入電壓范圍內，具有較好的頻率泛化能力，能夠在整體上以較高的精度擬合壓電陶瓷的遲滯非線性特性。

表1 RBF 神經網絡模型誤差分析

3 結論

本文構建了一種描述壓電微位移平臺輸入電壓和輸出位移之間遲滯非線性關系的仿真模型，并給出了模型的原理和計算過程。 該模型是由遲滯算子模型和RBF 神經網絡模型共同構成的。 模型輸出結果和實驗結果對比可以看出，其輸出位移的最大誤差僅為90 Hz 時的0.932 1 μm，最大均方誤差為0.565 2 μm，最大相對誤差為2.48%，表明模型的頻率泛化能力較好，能夠準確有效的描述壓電陶瓷在10 Hz～90 Hz 的輸入電壓頻率變化過程中的遲滯現象。 對于不同的壓電作動器，只需要在模型中輸入對應的壓電數據，即可得到一種與之相對應的能準確有效的描述壓電位移遲滯現象的模型，無需重新構建新的模型，而且在工程上易于實現，具有廣泛的適用性，對非線性模型的建模具有一定的價值，也為下一步構建整體的控制系統奠定了基礎。