一類薛定諤方程的精確解

張 娟,楊吉英

(1.昆明理工大學津橋學院 理工學院,云南 昆明 650106；2.保山學院 數學學院,云南 保山 678000)

薛定諤方程是奧地利理論物理學家薛定諤于1926年提出的,它是量子力學的基本方程.薛定諤方程是在波函數的時間演化研究中出現的偏微分方程,其中線性薛定諤方程的標準形式為[1]

vt=ivxx,i2=-1,t>0,

其初始條件為

v(x,0)=g(x),

其中，g(x)是連續且平方可積函數.而非線性薛定諤方程的標準形式為[1]

ivt+vxx+β|v|2v=0,

其初始條件為

v(x,0)=g(x).

自然分解法是自然變換法[2-4]和傳統的Adomian分解法[5-6]的結合.本文利用自然分解法得到線性及非線性薛定諤方程的精確解,并與已有的結果進行比較.

1 自然變換

定義1[2-4]設f(t)∈A,t≥0,其中

A={f(t)|?M,τ1,τ2,使得|f(t)|

則

為函數f(t)的自然變換.

若R(s,u)是f(t)的自然變換,則稱f(t)為R(s,u)的逆變換.

下面,給出自然變換的一些基本性質.

定理1[2-4]若R(s,u),F(S)分別是f(t)∈A的自然變換和Laplace變換,則

定理2[2-4]若R(s,u),G(u)分別是f(t)∈A的自然變換和Sumudu變換,則

定理5[2-4]若α,β是非零常數,f(t)與g(t)是A上的函數,則

N+[αf(t)±βg(t)]=αN+[f(t)]±βN+[g(t)].

2 自然分解法及其應用

下面介紹自然分解法[7-8].考慮下面的非線性薛定諤方程

ivt+vxx+β|v|2v=0,

(1)

其初始條件為

v(x,0)=g(x),

(2)

其中,β是常數,v(x,t)是復值的.

方程(1)式兩邊同時取自然變換,有

(3)

將方程(2)代入方程(3),得

(4)

方程(4)兩邊同時取逆變換,有

(5)

其中,G(x,t)是由源項和初始條件產生的項.

設

(6)

引入Adomian多項式來表示非線性項

(7)

其中

(8)

將(6),(7)代入方程(5),得

(9)

比較方程(9)兩邊,得

v0(x,t)=G(x,t),

以此類推,

于是,此方程的解由下面的式子給出

3 應用舉例

下面將自然分解法應用于求解線性及非線性薛定諤方程.

例1 考慮下面的線性薛定諤方程[9]

vt(x,t)+ivxx=0,

(10)

其初始條件為

v(x,0)=sinhx.

(11)

首先,方程(10)兩邊取自然變換,得

(12)

將式(11)代入方程(12),有

(13)

方程(13)兩邊同時取逆變換,得

(14)

設

(15)

結合(14),(15)得

(16)

比較(16)式兩邊,有

v0(x,t)=sinh2x,

以此類推,可以得到以下級數形式的解

于是得到原方程的精確解

v(x,t)=e-4itsinh2x.

這與文獻[9]中通過變分迭代法得到的結果是一致的.

例2 考慮下面的非線性薛定諤方程[9]

ivt(x,t)+vxx(x,t)+2|v|2v=0,

(17)

其初始條件為

v(x,0)=e-ix.

(18)

首先,方程(17)兩邊取自然變換,得

(19)

將式(18)代入方程(19),有

(20)

方程(20)兩邊同時取逆變換,得

(21)

設

(22)

結合(21),(22)得

(23)

比較(23)式兩邊,有

v0(x,t)=e-ix,

以此類推,可以得到以下級數形式的解

v(x,t)=v0(x,t)+v1(x,t)+v2(x,t)+v3(x,t)+…

=ei(t-x).

于是得到原方程的精確解

v(x,t)=ei(t-x).

這與文獻[9]中通過變分迭代法得到的結果是一致的.

4 結論

本文利用自然分解法,研究了線性及非線性薛定諤方程的精確解.通過兩個例子驗證了該方法的有效性和準確性.將致力于更一般化的模型,以供將來的研究,并將此方法應用于其他非線性偏微分方程的求解.