分數階微分方程組邊值問題的可解性分析

孟紅軍，徐校會，袁國軍

(1.滁州城市職業學院 教育系，安徽 滁州 239000；2.皖西學院 科技處，安徽 六安 237012)

現階段，分數階微分方程組已經被廣泛應用在非線性動力學分析中，通過構建分數階微分方程組的邊值特征分析模型，結合模糊控制律實現對分數階微分方程組的力學參數分析，實現非線性動力學系統的優化控制.采用局部區域物理量參數分析方法，進行分數階微分方程組邊值問題的可解性分析，并將分數階微分方程組邊值問題的可解性參數引入到大氣物理模型構建、力學模型構建以及生態環境預測中.通過區域化的模塊參數融合，采用非線性非局部積分擾動分析，在整體區域中實現分數階微分方程組邊值問題的可解性分析，因此在非線性控制系統設計等領域具有廣泛的應用價值[1].本文提出基于局部穩態融合控制的分數階微分方程組邊值問題的可解性分析方法.

1 分數階微分方程組構建和約束參數分析

1.1 分數階微分方程組構建

為了實現分數階微分方程組邊值問題的可解性分析，需要首先構建分數階微分方程組，根據邊值分布的非線性奇異擾動特征量f[2]，采用局部區域物理量特征分析的方法，在有限狀態空間中分數階微分方程組的時滯特征方程為

(1)

其中，a為整體區域中的數據鏈.在有界區域中，存在局部區域物理量特征t=f時，如果分數階微分方程組邊值區域分布有A>2，分數階微分方程組邊值特征分布函數為0，求得分數階微分方程組邊值的滑模面[3].

采用2n階非線性非局部積分方法，得到分數階微分方程求導得

(2)

(2)式為分數階微分方程組的凸優組合解析方程，采用一致橢圓型算子平均值作為約束參量，當A>2時有

(3)

根據線性Logistics邊值線性微分特征分解的方法，構建分數階微分方程組邊值穩定性變分時滯約束參數分析模型[4-6]，可以將分數階微分方程組邊值的空間特征映射u引入到方程的最優解析模型，則存在

(4)

(5)

利用線性相關性特征分解方法，得到分數階微分方程組邊值有限域特征解析控制函數為

(6)

其中，k為正整數.非局部奇異擾動穩態參數的初始值r,得到奇異擾動特征量滿足

F=|ET|+rσT.

(7)

1.2 分數階微分方程組特征分析

根據非線性非局部奇異特征分析，得到分數階微分方程組邊值的敏感域特征解

(8)

‖u‖r(I×Ir4)≤2η,‖u‖r+‖η0‖r(I×Ir4)<∞.

(9)

(10)

為了檢驗分數階微分方程組邊值解是否具有收斂性，得到分數階微分方程組在有限分數階微分方程組邊值解時域分布中[13]滿足

(11)

分數階微分方程組邊值解分布洛朗級數展開為

(12)

(12)式中，U為分數階微分方程組邊值解的穩態分布矩陣，且分數階微分方程組邊值測度m都為正常數.令分數階微分方程組邊值量化參數為y(t)=[y1(t),y2(t),…,ym(t)]T，那么采用Hopf分岔運維參數分析的方法，得到的w(t)為分數階微分方程組邊值非線性融合特征參數[14]，虛特征值的孤立平衡點為

θ=w(t)K-ηy(t).

(13)

在分數階微分方程組邊值平衡點處，得到α,β為憶阻器強度參數，在t→∞的條件下，得到分數階微分方程組邊值分布的相位圖如圖1所示.

圖1 分數階微分方程組邊值分布的相位圖

2 分數階微分方程組邊值穩態分析

2.1 分數階微分方程組邊值解融合

結合橢圓型算子分析方法，實現對分數階微分方程組邊值問題的可解性和收斂性分析[15]，計算約束分數階微分方程的波動算子，表示為

(14)

求得分數階微分方程組邊值稀疏矩陣z，采用收斂性判斷的方法，在收斂條件下的狀態參數

(15)

(15)式中，分數階微分方程組邊值平衡點的穩態狀態參數為s，M有唯一解，得到周期函數為

(16)

分數階微分方程組邊值量化周期解構成的集合為δ，令有界開集為h，得到解向量的模態分布陣為

(17)

重新調整變量，得到解周期列向量l，在全局穩定條件下，得到分數階微分方程組邊值特征分解模型為

Q=δ(G′+l)+lT.

(18)

2.2 分數階微分方程組邊值解的可解性

以上述分析結果為基礎，得到分數階微分方程組邊值解的漸近穩定收斂條件滿足

(19)

如果S已知，反饋控制的修正慣性融合參數為

μ=Sf+|G′|.

(20)

分數階微分方程組邊值解收斂的唯一性條件表示為

(21)

若gt-h=0，根據上述分析，得到分數階微分方程組邊值解的可解性分布為

(22)

(23)

根據擾動穩態系統的外部解的穩態特征，實現分數階微分方程組邊值問題的可解性分析，得到的分數階微分方程組邊值是穩態收斂的.

3 仿真測試

通過Matlab仿真測試分析分數階微分方程組邊值解可解析及收斂性，設定迭代步數為2000，仿真次數為1200，得到分數階微分方程組的解向量分布曲線如圖2所示.

圖2 分數階微分方程組的解向量分布曲線

對圖2的分布曲線解析結果進行擬合性分析，得到結果如圖3所示.

圖3 方程邊值解擬合結果

分析圖3得知，分數階微分方程組邊值解擬合性較好，參數融合跟蹤能力較強，說明分數階微分方程組邊值問題具有可解性和收斂性.

4 結論

主要研究了分數階微分方程組邊值問題的可解性和收斂性.提出基于局部穩態融合控制的分數階微分方程組邊值問題的可解性分析方法.根據線性Logistics邊值線性微分特征分解的方法，構建邊值穩定性變分時滯約束參數分析模型，采用Hopf分岔運維參數分析的方法，獲取分數階微分方程組邊值量化周期解構成的集合，結合橢圓型算子分析方法實現對分數階微分方程組邊值問題的可解性和收斂性分析，最后計算邊值問題的可解性的關系參數，實現分數階微分方程組邊值問題的可解性的收斂性判斷.研究得知，本文模型能有效實現對分數階微分方程組邊值問題的可解性分析，收斂性較好，穩定性較高.