一個新四維超混沌系統及其在圖像加密中的應用*

黃迎久

(內蒙古科技大學 工程訓練中心，內蒙古 包頭 014010)

隨著互聯網技術的快速發展，圖像、視頻等多媒體信息已成為網絡傳輸的主要信息載體，同時其安全問題也成為網絡安全方面的熱點課題.由于混沌系統具有初值敏感、偽隨機數離散度高等優點，目前已被廣泛應用于信息安全領域，尤其在圖像加密[1-5]方面.但是低維的混沌系統由于具有較低的Lyapunov指數和狹小的混沌區間等缺陷，使得在圖像加密算法中容易導致密鑰空間偏小和離散度偏低等漏洞，因此，運用低維混沌系統的圖像加密算法極有可能被成功破解[6-9].近幾年的研究表明，基于混沌系統的圖像加密算法，其安全性很大程度依賴于混沌系統動力學行為的復雜性，而四維以上的超混沌系統其動力學行為更為復雜，是目前圖像加密算法的主要應用系統[10-13].

文中新構建了1個四維的超混沌系統，具有較高的Lyapunov指數，更為寬廣的混沌區間，能夠克服密鑰空間偏小等缺陷.文中的圖像加密算法結合了與明文相關聯的方法，將圖像分塊分解，并采用了兩輪次不同的置亂和擴散過程.

1 新構建的四維超混沌系統

(1)

式中：當a=14，b=36，c=7,m=4，p=-1，k=-10時，式(1)處于超混沌狀態，部分相圖如圖1所示.

2 基本動力學行為分析

2.1 耗散性

對于式(1)，有

(2)

根據耗散性理論可知，式(1)將以e△t指數速度收斂，當t→∞時，系統的體積元V會以e△t的速率趨近于零，所以式(1)為耗散性系統，因此確定式(1)存在混沌吸引子.

圖1 系統相圖(a)x-y-z方向；(b)x-y-w方向；(c)x-z方向；(d)y-z方向

2.2 平衡點

(3)

得(0,0,0,0)為式(3)的唯一解，因此，P(0,0,0,0)為式(1)僅有的1個平衡點，則在平衡點P的雅可比(Jacobian)矩陣為：

(4)

設λ為特征根，I為四階單位矩陣，求解行列式|λI-J|=0，得到4個特征根：λ1=-18.465 2，λ2=1.732 6+8.659 3i，λ3=1.732 6-8.659 3i，λ4=-9.其中，λ2和λ3均具有正的實數部分，根據Routh-hurwitz判斷條件，確定平衡點P(0,0,0,0)為不穩定的鞍點.因此，系統存在混沌吸引子.

2.3 Lyapunov指數

Lyapunov指數是衡量非線性動力系統混沌狀態的1個重要的指標系數.當具有1個正的Lyapunov指數時，為混沌狀態；當具有2個或以上正的Lyapunov指數時，為超混沌狀態.

圖2 Lyapunov指數譜圖

2.4 龐加萊截面分析

龐加萊截面上的截點分布形狀，可以驗證非線性動力系統的混沌狀態.若截面上出現大量截點，并且呈現片狀且具有分形的結構時，則系統處于混沌狀態.

圖3為x-z和y-z方向上的龐加萊截面圖.圖中的大量截點呈現分支形狀，因此確定式(1)處于混沌狀態.

圖3 龐加萊截面圖(a)x-z方向；(b)y-z方向

3 圖像加密算法

圖像加密流程如圖4所示.測試圖像選用分辨率為256×256的灰度圖Airport，Lena和Peppers，圖像加密效果如圖5所示.

圖4 圖像加密流程圖

圖像加密算法具體過程如下：

(1)將明文圖像P平均分解為4個分塊P1，P2，P3，P4.

(2)第一次置亂.將P1，P2，P3，P4對應的像素點按以下方法進行對換位置.

取P1中的像素點P1(i1,j1)：

若(i1+j1)mod4=1，則P1(i1,j1)與P2(i1,j1)進行對換；若(i1+j1)mod4=2，則P1(i1,j1)與P3(i1,j1)進行對換；若(i1+j1)mod4=3，則P1(i1,j1)與P4(i1,j1)進行對換.

取P2中的像素點P2(i2,j2)：

若(i2+j2)mod4=2，則P2(i2,j2)與P4(i2,j2)進行對換；若(i2+j2)mod4=3，則P2(i2,j2)與P3(i2,j2)進行對換.

取P3中的像素點P3(i3,j3)：

若(i3+j3)mod4=0，則P3(i3,j3)與P4(i3,j3)進行對換.

(3)任取超混沌系統的一組初始值，如(x0=0.1,y0=0.1,z0=0.1,w0=0.1)，帶入式(1)，采用四階龍格-庫塔迭代法，迭代N次(N>500)，取出一組迭代的值{x(N-100),y(N-100),z(N-100),w(N-100)}，根據以下公式分別將其轉換為整數：

i(x(N-100)×264+w(N-100)×264)mod128 ，

(5)

j(y(N-100)×264+z(N-100)×264)mod128 .

(6)

(4)從P1，P2，P3，P4中各自1個像素點Pm(i,j)，m=1,2,3,4.根據以下公式生成4個值k1，k2，k3，k4.

(7)

得到一組密鑰key={x0+k1,y0+k2,z0+k3,w0+k4}.

獲取明文圖像P的高度H與寬度W，利用密鑰key結合根據四階龍格-庫塔迭代法，迭代式(1)20 000次，獲取4個長度均為H×W的偽隨機序列S1，S2，S3，S4.

利用以下公式將4個偽隨機序列轉換為4個H×W的二維矩陣M1，M2，M3，M4.

Mi=(|Si|×264)mod256，i=1,2,3,4 .

(8)

(5)按照明文圖像分解的方法，將M1和M2分別分解為與P1，P2，P3，P4同樣大小的4個矩陣M11，M12，M13，M14；M21，M22，M23，M24.

共享云。包含外文期刊數據庫元數據、外文期刊（含紙本）元數據、外文期刊論文元數據、外文期刊核心目錄元數據、外文期刊論文引文元數據等若干元數據，主題規范詞表、學科規范詞表、機構規范詞表以及管理統計分析指標體系、管理統計分析系統。

(6)第一次擴散.根據下列公式將P1，P2，P3，P4中每一個像素點的值進行變換.

C1=(P1⊕M11)mod256⊕M21

C2=(P2⊕M12)mod256⊕M22

C3=(P3⊕M13)mod256⊕M23

C4=(P4⊕M14)mod256⊕M24.

(9)

(7)第二次擴散.將M3和M4分別分解為與C1，C2，C3，C4同樣大小的4個矩陣M31，M32，M33，M34；M41，M42，M43，M44.根據下列公式將C1，C2，C3，C4中每1個像素點的值進行變換.

Q1=((C1⊕M31)+M41)mod256

Q2=((C2⊕M32)+M42)mod256

Q3=((C3⊕M33)+M43)mod256

Q4=((C1⊕M34)+M44)mod256 .

(10)

(8)第二次置亂.按Q1，Q3，Q2，Q4的順序合并成為1個H×W的矩陣T，順時針旋轉90°；而后采用根據文獻[14]改進的Z字形變換，對矩陣T進行置亂，如圖6所示.

圖5 Airport加密與解密效果圖(a)明文圖像；(b)加密圖像；(c)還原圖像

圖6 Z字形變換圖

最終得到的T矩陣就是加密圖像的像素矩陣.

加密圖像的解密過程為圖像加密的逆過程，這里就不重復敘述.

4 仿真測試

4.1 密鑰空間分析

若式(1)的密鑰K={k1,k2,k3,k4}.其中k1，k2，k3，k4是由明文分塊P1，P2，P3，P4中各取1個像素點計算而生，若明文圖像分辨率為256×256，各分塊大小均為128×128，按64位CPU的計算能力來估算，密鑰K的每一個分量的浮點數運算精度均可達到1064，其則密鑰K的取值空間至少可達到232×10256，可見密鑰空間足夠大，完全可以抵御針對密鑰的暴力破解.

4.2 直方圖分析

由于明文圖像的相鄰像素點之間具有一定的關聯關系，所以其直方圖一般表現為波浪形狀，而加密圖像的相鄰像素點間的相鄰關系已被徹底打亂，因而其像素點均勻而密集分布在1個矩形區域內.

圖7為測試圖像Lena的明文圖像直方圖與加密圖像直方圖.

圖7 Lena直方圖(a)明文圖像直方圖；(b)加密圖像直方圖

4.3 相關系數分析

相關系數是衡量相鄰像素之間關聯性的1個指標系數.相關系數越趨近于1，相鄰像素點之間的相關性越高；相關系數的值越趨近于0，相鄰像素點之間的相關性越低.加密圖像的相關系數越低，就表明加密算法的安全性越高.相關系數的計算公式如下：

(11)

(12)

(13)

(14)

式(12)～(14)中：xi和yi為2個相鄰像素點的灰度值，N(N≥4000)為選取像素點的樣本數.

表1 相關系數測試結果表

從表1的測試結果可以確定：加密圖像的相關系數都趨近于0，表明加密算法已徹底破壞了相鄰像素點之間的關聯關系，使得加密圖像中很難直接獲取明文圖像的原始像素，可見文中加密算法的性能優于文獻[15]，[16]，[17]的加密算法.

圖8，9為測試圖像Peppers的明文圖像和加密圖像的相鄰像素相圖，其中橫、縱坐標均代表像素點的灰度值.

圖8 Peppers明文圖像相鄰像素方向相圖(a)水平方向；(b)垂直方向；(c)對角方向

圖9 Peppers加密圖像相鄰像素方向相圖(a)水平方向；(b)垂直方向；(c)對角方向

圖8中，像素點都密集地聚集在1條線段上，也證實了明文圖像的相鄰像素點之間具有密切的關聯性；圖9中，加密圖像的像素點都散布在1個矩形區域內，也證實了加密圖像的相鄰像素點已完全不具備關聯性.

4.4 明文圖像敏感性分析

明文圖像敏感性是指當明文圖像的一些像素點的灰度值被改變后，用同一密鑰加密后，不同加密圖像之間的差異程度.加密圖像之間的差異越大，加密的效果越好，抵御差分攻擊能力越強.通常用像素改變率(number of pixels change rate,NPCR)和歸一化平均改變幅度(unified average changing intensity,UACI)2個指標系數來進行評測.NPCR和UACI的計算公式如下：

(15)

(16)

(17)

式(15)～(17)中：H和W為圖像的高和寬，C1(i,j)、C2(i,j)為2個不同加密圖像的像素點的灰度值.其中，NPCR的理論最佳值為99.605 4%，UACI的理論最佳值為33.463 5%.

表2 NPCR和UACI測試結果表

表2的測試結果顯示，NPCR和UACI的測試結果非常接近于理論最佳值，優于文獻[15]，[16]，[17]的測試結果.

4.5 密鑰敏感性分析

密鑰的敏感性是指當密鑰發生極其微小的改變后，2個加密圖像之間產生的差異程度.密鑰敏感性越強，加密圖像所產生的差異程度越大，表明加密算法的安全性越高.

令密鑰Key={0.1,0.01,0.001,0.000 1}，將其4個分量分別進行微小的擾動，產生4個不同的密鑰，Key1={0.1+10-10,0.01,0.001,0.000 1}，Key2={0.1,0.01+10-10,0.001,0.000 1}，Key3={0.1,0.01,0.001+10-10,0.000 1}，Key4={0.1,0.01,0.001,0.000 1+10-10}.用密鑰Key對明文圖像Lena進行加密，再分別用密鑰Key1，Key2，Key3，Key4對加密圖像進行解密，解密效果如圖10所示.

從圖10看出，4個密鑰均無法正確還原出明文圖像，表明圖像加密算法的密鑰敏感性極強，完全有能力抵御針對密鑰的暴力攻擊.

圖10 密鑰敏感性測試效果圖(a)使用密鑰Key加密的圖像；(b)使用密鑰Key1解密的圖像；(c)使用密鑰Key2解密的圖像；(d)使用密鑰Key3解密的圖像；(e)使用密鑰Key4解密的圖像

4.6 信息熵分析

信息熵是香農(Claude E.Shannon)提出來的1個度量信息不確定性的量.1個系統越是混亂，信息熵就越高.在圖像加密中，信息熵可以用來度量像素分布的離散度，像素排列得越混亂、越離散，信息熵就越高.信息熵的計算公式如下：

(20)

式中：p(xi)為像素點xi在圖像中出現的概率值，八位灰度圖的信息熵理論最佳值為8，表3為加密圖像信息熵的測試結果.

表3的測試數據顯示，加密圖像的信息熵都非常趨近于理論最佳值，表明文中加密圖像像素點的排列雜亂無序，離散度高，加密算法的可靠性高.

表3 信息熵測試結果

5 總結

通過仿真與測試，確定新構建的超混沌系統具有更為復雜的動力學行為和混沌屬性.在圖像加密的應用中，其相關系數、信息熵等指標系數均非常接近于理論最佳值，可以確定圖像加密算法具有更強的魯棒性和安全性，完全能夠抵御各種相關的攻擊，充分體現了其獨特的混沌特性在信息安全和信號處理等領域具有更為廣闊的應用前景.