抓住“三類角”　解題任逍遙

顏哲宇

學習了第七章“平面圖形的認識（二）”之后，我覺得最主要的還是要抓住角與角之間的關系。怎樣抓住角與角之間的關系呢？讓我們一起來看兩道例題。

例1 如圖1，已知AB∥DE，∠ABC=80°，∠CDE=140°，求∠BCD的度數。

【解析】從表面上看∠ABC、∠CDE、∠BCD這三個角很難有聯系，但是，已知條件中有平行，立刻聯想到“三類角”（同位角、內錯角和同旁內角）。可是圖中沒有“三類角”，為了出現“三類角”，我們可以嘗試過點C作CF∥DE，如圖2。這樣，原來沒有聯系的三個角，就會分別構成內錯角、同旁內角，問題就迎刃而解了。過點C作CF∥DE，則∠EDC+∠DCF=180°，所以∠DCF=40°;由CF∥AB可得∠ABC=∠BCF=80°，∴∠BCD=40°。這里，要提醒同學們注意，思路理順后，就要用規范的表達有條理地書寫，別忘記根據CF∥DE、AB∥DE，說明CF∥AB。我在第一次碰到這種類型的題目時，就沒有注意。后來在老師的提醒下才明白所作的CF只是平行于DE，它與AB平行不是已知的，要進行說明。當然過點C往左作平行線、延長ED等都可以解決問題，構造平行線是通用方法。

【感悟】解決此題的關鍵是已知角和要求角之間的關系，平行的最大作用就是提供了“三類角”之間的關系。本題通過添加輔助線——平行線，提供了內錯角、同旁內角之間的關系，建立了已知角和要求角之間的關系。

例2 如圖3，已知∠BFM=∠1+∠2，求證：AB∥CD。

【解析】已知條件提供了∠1、∠2、∠BFM之間的數量關系，圖形位置上卻看似毫無關系，怎樣和平行聯系上呢？老師告訴我們，平行的判定本質上是“三類角”的數量關系決定兩條被截線的位置關系;平行的性質本質上是兩條被截線的位置關系決定“三類角”的數量關系。要證平行，就要找某類角。與已知條件中∠BFM構成內錯角的是∠FGN（也可以找其同位角∠DGM），而∠FGN恰好等于∠1+∠2。再結合已知條件，就可以得到一對內錯角（同位角）相等，兩直線平行，得證。當然，也可以找∠BFM的同旁內角∠FGD，利用“三角形內角和為180°”證明。

【感悟】“三類角”的數量關系與被截線的位置關系相互決定，“數”與“形”就這樣緊密地聯系在一起。就像老師所說：“數形結合既是本章的重要知識，也是本章的重要思想方法。”例1通過添加輔助線構造三類角，由平行得到三類角之間的關系;例2通過選擇恰當的三類角，結合已知條件推斷其數量關系，從而判定兩條直線的位置關系。

有的同學說本章難學，其實不然。靜下心來，細心觀察，把觀察到的特征與題目的條件結合起來，作為大腦聯想和思維運行的線索，抓住“三類角”的數量關系與被截線的位置關系的根本聯系，靈活轉化，在解決本章問題時就能夠游刃有余、任意逍遙。同學們，你們學會了嗎？

教師點評

“數形結合既是本章的重要知識，也是本章的重要思想方法。”小作者在學習中深刻地領悟了這一內容的精髓，形成了自己的獨到認識，認識到平行知識的本質，洞察了數學不難的秘密，享受了解題順暢的愜意。他的這種學習，一方面深入到知識的本質，另一方面悟到了學習的方法，值得同學們借鑒。

（指導教師：鐘 鳴）