三角形中線再認識

余芳

一、三角形中線再認識

例1 三角形的下列線段中能將三角形的面積分成相等的兩部分的是（）。

A.中線 B.角平分線

C.高D.中位線

【解析】如圖1，AD是△ABC的中線，根據(jù)三角形中線的定義我們可以得到BD=CD，進而得到S△ABD=S△ADC=[12]S△ABC（等底同高）。故選A。

二、三角形中線性質的應用

例2 如圖2，在△ABC中，將△ABC沿射線BC方向平移，使點B移動到點C，得到△DCF，連接AF，若△ABC的面積為4，則△ACF的面積為。

【解析】通過平移，我們可以得到BC=CF，從而發(fā)現(xiàn)AC是△ABF的中線，考查的還是三角形中線的性質，S△ACF=S△ABC=4。故填4。

例3 如圖3，D是△ABC的邊BC上任意一點，E、F分別是線段AD、CE的中點，且△ABC的面積為20cm2，則△BEF的面積是cm2。

【解析】審題找到解題突破信息：E、F分別是線段AD、CE的中點，遵循點—線—圖形的發(fā)現(xiàn)軌跡，從而發(fā)現(xiàn)BE是△ABD的中線，CE是△ADC的中線，BF是△BCE的中線，題目所求又與三角形面積有關，所以我們自然想到三角形中線平分面積的性質。

解：∵E是AD的中點，

∴S△BDE=[12]S△ABD，S△CDE=[12]S△ACD，

∴S△BCE=[12]S△ABD[+12]S△ACD=[12]S△ABC=10。

∵F是CE的中點，

∴S△BEF=[12]S△BEC=5（cm2）。

三、三角形中線性質的拓展

例4 如圖4，在△ABC中E是BC上一點，EC=2BE，點D是AC的中點，BD與AE交點于F，設△ABC、△ADF、△BEF的面積分別為S△ABC、S△ADF、S△BEF，且S△ABC=12，則S△ADF-S△BEF=（）。

A.1B.2C.3D.4

【解析】我們知道三角形中線平分面積是因為被中線分得的兩個三角形是等底同高，由此拓展就可以得到：同高的兩個三角形的面積之比等于其底之比。審題后，我們第一直覺是想把S△ADF和S△BEF的面積求出來，但發(fā)現(xiàn)能利用點D是AC的中點求得S△ABD=S△BCD=6，再利用EC=2BE可得S△ABE=[13]S△ABC=4，S△ACE=[23]S△ABC=8。

距題目所求還有距離。此時我們需要做的是再次審題，把已經(jīng)求得的和圖形特點相結合，發(fā)現(xiàn)S△ADF和S△BEF的面積同時加上四邊形CEFD的面積就成了△ACE和△BCD的面積，即S△ADF-S△BEF=S△ACE-S△BCD=8-6=2。故選B。

同學們，三角形的中線平分三角形面積是一個重要的性質，其拓展后的一般結論是“同高的兩個三角形的面積之比等于其底邊之比”，這往往也是中考命題的原型，值得深入理解和掌握。

（作者單位：江蘇省無錫市西漳中學）