間接論證：神奇的反證法

鐘鳴

同學們，這里有一個有趣的問題：請證明“神不是萬能的”。

直接證明很困難，間接證明試一試。反證法是間接論證的方法之一，是拉丁語中的“轉化為不可能”（Reductio ad absurdum），阿基米德經常使用它，亦稱“逆證”。

對于反證法，我們應該不陌生。在七年級數學教材下冊第16頁讀一讀“怎樣證實‘兩直線平行，同位角相等”部分，就是用反證法進行的論證，同學們不妨先回到課本去讀一讀。這里，我們模仿著試一試。

假設“神是萬能的”，那么“神就一定能夠造出一塊連自己都搬不動的石頭”。而這與假設“神是萬能的”相矛盾。所以，“神不是萬能的”。

可見，反證法的一般步驟是：①假設要證明的結論的反面是成立的;②依據推理規則進行推演，得出與已有假設或事實矛盾的結論;③否定假設的成立，肯定要證明的結論。特別是在進行正面的直接證明或反駁比較困難時，用反證法往往會收到神奇的效果。

在我們學習過的幾何內容中，并不缺乏這樣的例子：

例1 如圖1，直線a∥b，直線b與直線c相交于點A，直線c與直線a平行嗎？為什么？

【解析】正面直接論證怎么進行呢？延長直線c，直觀上會和直線a相交，難道依靠直觀就解釋了直線c與直線a不平行嗎？有沒有更有力的論證呢？假設“直線c與直線a平行”，又因為“a∥b”，那么過直線a外一點A有兩條直線c和b都與直線a平行。這與基本事實“過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行”矛盾。所以假設不成立，則直線c與直線a不平行。

類似地，同學們不妨試試下題。

【練習】如圖2，直線a、b、c，a⊥b，直線c與直線b相交于點A，直線c與直線a垂直嗎？為什么？

例2 一個四邊形最多只有3個鈍角，為什么？

【解析】畫圖可以幫我們確認這個事實，但是無法給出有力的解釋。正難則反，我們用反證法試一試。假設“一個四邊形有4個鈍角”，那么這4個鈍角的和大于360°，這與“四邊形內角和是360°”相矛盾，所以“一個四邊形最多只有3個鈍角”。論證清晰、簡潔、有力。

牛頓曾經說過：“反證法是數學家最精當的武器之一。”一般來講，反證法常用來證明正面直接證明有困難、情況多或復雜，而命題的否定比較簡單的題目。對于反證法，同學們可以通過網絡多些了解，也可以提前閱讀數學教材八年級下冊第71頁《趣談“反證法”》。這樣，我們的論證思路就會更加廣闊。在后繼的學習中，我們還會接觸到另外一種間接論證的方法——肯定存在、構造目標的同一法。同學們，期待嗎？

（作者單位：江蘇省無錫市西漳中學）