“技”由“道”生　學在悟“道”

錢德春

摘要

“道”是事物的根本，“技”是“道”的外在表現。數學中的“道”就是數學的本質、基本原理、通性通法。數學學習離不開技能與技巧，但關鍵在于悟“道”。“道”能生技，也能生巧，否則“技”就是無本之源。“道”需要教師的點撥引導，需要學習者主動感悟與反思、完善與升華。掌握了數學本質，“技”自然而生，從而達到“大道于心”的境界。

關鍵詞

技 道 規律 基本原理 通性通法

一、問題提出

最近看到一段關于“分母有理化”的教學短視頻，內容是如何將[432+3+7]分母有理化。大致過程如下：

師：（一段精彩的開場白）我們來看，4[3]=2×2×[3]，而22+（[3]）2=（[7]）2，因此，原式=[22+（3）2+43-（7）22+3+7=（2+3）2-（7）22+3+7]=[（2+3+7）（2+3-7）2+3+7=2+3-7]。

教者根據[43]與分母的特殊關系，利用逆向思維順利解題，看上去方法非常巧妙。最后，教者畫龍點睛：“拿到題目不要輕言放棄。有的人動不動就抱怨自己不行，或者沒有靠山。我們應該自信——自己就是靠山。”視頻中，教者眉飛色舞、表情豐富，語言幽默詼諧，讓人看了大呼過癮，相信聽者一定會被這位教師夸張的表演深深吸引。

看完視頻后，筆者不禁產生幾個疑問：分母[2+3+7]中22+（[3]）2恰好等于[（7）2]，這個問題的設置是不是巧合？由此得到的解法是偶然的還是具有一般性的？若利用加法交換律、結合律將[2+3+7]變為[2+（3+7）]或[3+（2+7）]，該方法還行得通嗎？如果將[432+3+7]換成形如[13+5-1]的式子，教者的方法還同樣有效嗎？初中數學中對分母有理化的教學要求如何？

顯然，該題本身具有特殊性。一是分母中各項之間具有（[a]）2+（[b]）2=（[c]）2的關系;二是解題方法不具有一般性，運用了特殊的技巧。筆者覺得這種視頻中看不中用，如此講課可能會將學生引入歧途。誠然，數學解題需要一定的技能與技巧，但教師教學要“授之以漁”，而不是“授之以魚”，要引導學生回到概念、回到源頭，回到最基本、最一般、最本質的思路與方法上來。另外，該內容明顯超出義務教育課程標準要求。分母有理化問題在2011年版《義務教育數學課程標準》中已有所淡化，幾種版本的教材也將此內容作為數學閱讀供學生了解，如蘇科版數學教材（下同）八年級下冊第166頁的“閱讀”，所舉例子的分母中最多也只涉及兩項的分母有理化。

二、方法探究

分母有理化有沒有最基本、最一般的方法呢？我們知道，分母有理化的復雜程度由分母中項的個數決定，解題的關鍵是如何尋找分母的有理化因式。如[1a]（a為正整數）分母只含有一項，其分母有理化比較簡單。這里重點研究形如[1a±b]、[1a±b±c]、[1a±b±c±d]這3類代數式的分母有理化。

1.[1a±b]型（其中a、b為正整數）。

以[1a+b]為例。若a=b，則[1a+b]=[12a]= [a2a];若a[≠]b，因為[a+b]與[a-b]的積為a-b，故將分子、分母同乘[a-b]，有[1a+b]=[a-b（a+b）（a-b）]=[a-ba-b]。這里，“兩個含有二次根式的代數式相乘，積不含有二次根式，則稱這兩個代數式互為有理化因式”，如[a+b]與[a-b]叫作互為有理化因式，也叫作互為共軛因式。

2.[1a±b±c]型（其中a、b、c為正整數）。

以[1a+b+c]為例，此類問題一般不能將分母有理化一步到位，可分步實施，先轉化為[1a±b]型即可。將[a]、[b]、[c]任意兩項結合，如[1a+b+c]=[1（a+b）+c]，分子、分母同乘[a+b-c]，得[1a+b+c]

=[a+b-c[（a+b）+c][（a+b）-c]

=[（a+b）-c（a+b-c）+2ab]，這樣分母轉化為兩項和的形式。

3.[1a±b±c±d]型（其中a、b、c、d為正整數）。

以[1a+b+c+d]為例，分母各項任意結合。分子、分母同乘（[a+b]）-[（c+d）]，得[1a+b+c+d]=[（a+b）-（c+d）[（a+b）+（c+d][（a+b）-（c+d）]]=[（a+b）-（c+d）（a+b-c-d）+2ab-2cd]，從而將代數式轉化為形如[1a±b±c]的形式。

三、談“技”論“道”

與短視頻中授課教師的方法相比，上述方法雖然比較煩瑣，但更具一般性。我們將特殊的技能、技巧稱為“技”，將事物一般性、本質性的規律、方法稱為“道”。那么“技”和“道”究竟是什么關系呢？顯然，“道”是事物的根本，“技”是“道”的外在表現。數學中的“道”就是數學的本質、基本原理、通性通法。數學教學也好，解題也罷，一定離不開“技”，但沒有“道”，“技”就成了無本之源。

1.學在悟“道”。

數學之“道”的形成是一個生長過程，需要教師的引導與點撥，需要學習者的領悟與建構、不斷完善與升華。因此，數學學習的關鍵在于悟“道”。

（1）“道”的形成是一個生長過程。

數學之“道”是生長出來的，“道”的形成過程是學習與理解、運用與體驗的生長過程，是經歷從低級到高級、從特殊到一般、從具體到抽象的過程。如在“分母有理化”問題的學習中，學生必須弄清這樣幾個問題：分母為什么會出現根式、什么叫作分母有理化、為什么要分母有理化、分母如何有理化。在這個過程中，學生不斷增長數學知識、深化數學理解、掌握數學方法、感悟數學本質，從而明晰數學之“道”。

①分母為什么會出現根式？

分母出現二次根式的主要原因是除法運算中除數含有二次根式。如八下教材P155：已知平行四邊形的面積為[10]，一邊的長為[5]，求這邊上的高。根據面積公式得到所求邊上的高為[105]，這就出現了形如[1a]的形式，其中分母含有二次根式。又如：“△ABC中，∠C=90°，AC=6，∠A=15°，求△ABC的面積。”欲求△ABC的面積，只要求BC的長，由于AC長及∠A=15°已知，關鍵是如何利用15°的條件，由此聯想到30°，構造特殊三角形：在AC上取一點D，使∠BDC=30°（如圖1），設BC=x，則BD=AD=2x，CD=[3x]，所以AC=2x+[3x]=（2+[3]）x。因為AC=6，所以（2+[3]）x=6，則x=[62+3]，此時出現了形如[1a+b]的式子。

②什么叫作分母有理化？

像[105]、[62+3]這種分母含有二次根式的代數式，通過適當的變形化去分母中根號的運算，就叫作分母有理化。

③為什么要分母有理化？

這是源于數學“最簡”原則。簡潔是數學的特征之一，也是現實的需要。數學總是追求“最簡”，如思路與方法、運算過程、形式與結果的“最簡”;如能用簡便方法的不用復雜方法，能用整式表示的不用分式表示，能化為積的形式的不用除法表示。就分母含有二次根式的運算而言，乘法運算比除法運算簡便，無理數除以有理數比一個數除以無理數運算更方便。分母有理化（即化去分母中的二次根式）后，數學運算及實際問題中取近似值會更加方便。如求[105]的近似值，如果直接計算則要將[10]與[5]的近似值代入計算，此時分母出現小數，計算會比較復雜。但分母有理化后結果為[2]，因此，只要知道[2]的近似值即可。再如求[62+3]的近似值，如果取[3]≈1.732，那么[62+3]≈[62+1.732]，這樣的計算也比較煩瑣，而分母有理化后結果為6（2-[3]），其近似值為6×（2-1.732），轉化為求兩數積的運算，過程就顯得簡便。

④分母如何有理化？

在[105]中，分母如何有理化呢？（法一）觀察式子，發現分子[10]=[5]×[2]，所以[105]=[5×25]=[2]。（法二）思考的關鍵是如何將分母中的[5] 變為有理數。聯想到二次根式產生的原因是開平方，“解鈴還須系鈴人”，故平方可以解鎖，即（[5]）2=5=[5×5]。要將分母變為5，可以乘[5]，根據分式的基本性質，分子必須同時乘[5]，這樣就有：[105]=[5×25]=[2]。比較兩種方法發現：方法一巧妙地利用了分子、分母都含有[5]這個“因數”的特征，“約簡”即可，方法優美、過程簡潔，這就是“技”。但問題是，不是所有的式子分子、分母都可以約簡，該方法不具有一般性。方法二則“放之四海而皆準”。

如何將[33-2]分母有理化？基本方法就是“平方”，即出現（[3]）2和（[2]）2，然后聯想到平方差公式，則（[3-2]）（[3+2）]=（[3]）2-（[2]）2=1（具體過程略）。

至于分母超過3項的二次根式和（差）、根號內含字母的分母有理化方法，見本文“二、方法探究”。

（2）“道”需要教師的點撥與引導。

2011年版《義務教育數學課程標準》指出：“教學活動是師生積極參與、交往互動、共同發展的過程。有效的教學活動是學生學與教師教的統一，學生是學習的主體，教師是學習的組織者、引導者與合作者。” 這說明教學中教師的啟發、引導不可或缺。教師要設計恰當的數學情境，讓學生感受為什么分母出現二次根式，為什么要化去分母中的根式，什么叫作分母有理化。教師通過具體案例的教學，讓學生思考分母有理化的關鍵是什么、如何分母有理化。同時，在探究過程中自然會出現分母為單個根式、兩個二次根式的和與差、三個根式的和與差如何處理的問題。教師引導學生思考：這樣處理的思維源頭在哪里？其中蘊含了哪些數學思想方法？從而達到啟思與點撥的目的。

（3）“道”需要學習者體會與感悟。

老子言：“道可道，非常道。名可名，非常名。”意即能夠言明的就不成為“道”，可見“道”需要體驗與感悟。學生“掌握知識，既不像照相機、錄音機那樣僅僅對外界信息消極地接受和儲存，也不像容器那樣被動地‘填裝，而是一種能動的認識過程”。教師的啟發、引導與點撥，只有通過學習者主動積極的思考、領悟、建構、反思，才能轉化為學生自己的知識、智慧和能力。

比如，學生可結合實例自主思考：分母有理化的本質就是追求形式與結果的“最簡”，基本方法是轉化——將“除法運算”轉化為“乘法運算”;理論依據是分數（式）的基本性質;被開方數含字母的分母有理化可類比具體數的分母有理化。在掌握這個數學本質的前提下，適當歸納、梳理分母有理化的特點、類型，從而建構相關知識、方法體系，體驗類比、轉化、特殊到一般等數學思想方法。這正是數學之“道”。悟“道”的過程就是學生主動建構、自主感悟、獨立思考的過程，而不是他人的給予、灌輸和牽引。正如《學記》所言：“君子之教，喻也：道而弗牽，強而弗抑，開而弗達。”

（4）“道”需要自我的反思與完善。

從哲學角度來說，數學之“道”是數學內在的發展規律與人類對數學的認知規律。數學總是在發現矛盾、遭遇危機后，經過數學家的艱苦努力，從而克服危機，取得了新的突破，得到新的發展，正所謂“逢山開路、遇水架橋”，這就是數學的發展之“道”。

以數系的發展為例。遠古時代人們在分配物品的過程中出現了分數，小數由此誕生了;人們發現了數的“不可公度性”，無理數應運而生，從而出現實數系;“實數時代”默認負數不能開平方，但出現了負數開方的問題，人們將[-1]記為i，稱為虛數，復平面的發明給復數以幾何解釋，使虛數有了現實意義，從而使數學向前邁了一大步。這就是不斷反思、不斷完善的過程。

再比如，幾何圖形的研究一般按照“定義→表示→分類→性質（判定）”的“套路”進行。這個“套路”的形成是一個循序漸進、逐步完善的過程。在幾何學習初始階段，如在七年級“直線、射線、線段”和“角”“相交線與平行線”的學習中，教師引導學生初步感知幾何研究的“套路”，積累幾何研究活動經驗;在八年級“三角形”“四邊形”的學習中借鑒七年級的幾何研究活動經驗，并將這種經驗提升為一種策略;到了九年級“圓”和“相似三角形”的學習時，學生通過自主反思，不斷完善這種策略，使之升華為幾何研究的“套路”。

這些數學發展的規律、問題研究的方法與路徑，有時教材難以直接呈現，也難以通過一兩個具體問題的解決加以歸納，需要學習者在學習過程中慢慢思考、感悟，經歷從特殊到一般、從低級到高級的過程，逐步認識、理解與完善數學發展規律，并升華為數學認識的一種策略、方法和觀念，從而達到積“小技”為“大能”、變“小道”為“大道”的目的，為更高層次的數學學習奠定基礎，這才是數學的學習之“道”。

2.“技”由“道”生。

“熟能生巧”或許有一定道理，卻是數學學習的大忌。不少學生平時測試成績較好，但在比較正式的考試中卻成績平平。這是什么原因呢？由于平時有的測試中原創題較少，大多是教師講過或反復訓練過的“熟題”，學生不需動腦筋，憑記憶就能得高分。但中考、高考等測試中的試題以原創題為主，試題的背景、形式、結構新穎，不少學生面對新題型、新面孔只能望“題”興嘆。

因此，學習的重點在于悟“道”，掌握了數學基本原理、基本方法等最本質的東西之后，“技”自然而生，就能應對形形色色的數學問題。

如分母有理化[16-3+2-1]。

我們可以按照第3種類型的方法進行計算，但仔細觀察可以發現，分母可以變形為（[2-1]）（[3+1）]，即[16-3+2-1]=[12-1]·[13+1]，因此，只要將[12-1]與[13+1]分別分母有理化即可（具體過程略）。

再比如，比較 [3]-[2]與[6]-[5]的大小。

一般用作差法：因為[3]-[2]-（[6]-[5]）=[3]+[5]-（[2]+[6]），所以比較[3]+[5]與[2]+[6]兩數平方的大小。（[3]+[5]）2-（[2]+[6]）2=8+2[15]-（8+4[3]）=2[15]-4[3]=2（[15]-[23]），再比較[15]與2[3]兩數的平方大小，顯然（[15]）2-（2[3]）2=15-12[>]0。

但觀察兩個代數式的特征，還可以想到用有理化因式：因為[3]-[2]=[13+2]，[6]-[5]=[16+5]，而[3]+[2]<[6]+[5]，所以[3]-[2][>][6]-[5]。這種方法簡便快捷，讓人有暢快淋漓的感覺，這就是由“道”生“技”的魅力所在。

這兩個例子說明：悟出分母有理化之“道”，任你問題千變萬化，都能以“道”化之;觀察代數式的不同特點，還可以根據具體問題思考不同的分母有理化策略和技能，由“道”生“技”。

由此可見，“技”不足“道”，“技”由“道”生。數學學習的根本任務在于悟“道”，即經歷知識產生的過程，感悟、思考、歸納數學的基本原理、通性通法。只有這樣，在面對具體問題時才能以不變應萬變，達到“大道于心”的境界。

（作者單位：江蘇省泰州市教育局教研室）