巧用幾何模型解決三角形的相關問題

豐志勝

在面對圖形較為復雜的幾何問題時，我們往往會采取將圖形分解的方式來求解。而一些固定結構的圖形在其中起到一定的支撐作用，我們將這些固定結構的圖形稱之為幾何模型。幾何模型的結論會對問題的解決起到關鍵作用，那么究竟如何在解題中使用幾何模型呢？我們一起來看下面這道中考題。

例題 （2020·江蘇宿遷）【感知】如圖1，在四邊形ABCD中，∠C=∠D=90°，點E在邊CD上，∠AEB=90°。求證：[AEEB]=[DECB]。

【探究】如圖2，在四邊形ABCD中，∠C=∠ADC=90°，點E在邊CD上，點F在邊AD的延長線上，∠FEG=∠AEB=90°，且[FEEG]=[AEEB]，連接BG交CD于點H。求證：BH=GH。

【拓展】如圖3，點E在四邊形ABCD內，∠AEB+∠DEC=180°，且[AEEB]=[DEEC]，過E作EF交AD于點F，使∠EFA=∠AEB，延長FE交BC于點G。求證：BG=CG。

【分析】圖1是初中階段非常典型的幾何模型，我們一般稱它為“一線三等角”或“K”型圖。它是構造相似的典型結構圖形，很容易通過相似得出結論。圖2可以進行分解，線段CD的左邊就是圖1，右邊可以過G點作CD的垂線GQ，垂足為點Q，也能構建出一個“K”型圖，所以圖2就轉化為兩個“K”型圖合并的問題，通過【感知】的結論和【探究】的條件得到BC=GQ，再構造全等三角形得出結論。圖3在圖2的基礎上經歷由特殊到一般的過程，是將直角變為一般角，“一線三等角”的結論仍然成立，利用輔助線建立模型，即可根據【探究】中的思維過程解決問題。

證明：【感知】如圖1，∵∠AEB=90°，

∴∠BEC+∠AED=90°。

∵∠D=90°，∴∠EAD+∠AED=90°，

∴∠BEC=∠EAD。

又∵∠C=∠D=90°，

∴△ADE∽△ECB，∴[AEEB]=[DECB]。

【探究】如圖4，過點G作GQ⊥CD，垂足為點Q。

由【感知】結論易知，△ADE∽△ECB，△DEF∽△QGE。

∴[AEEB]=[DECB]，[EFGE]=[DEQG]。

∵[FEEG]=[AEEB]，∴[DECB]=[DEQG]，

∴CB=QG。

∵∠C=∠GQH=90°，∠BHC=∠GHQ，

∴△BCH≌△GQH（AAS），∴BH=GH。

【拓展】如圖5，在FG上取一點M，使得∠BME=∠AEB，作CN∥BM交FG的延長線于點N。

∴∠N=∠BMG。

∵∠BMG+∠BME=180°，

∠AEB+∠DEC=180°，

∠AFE+∠DFE=180°，

且∠EFA=∠AEB=∠BME，

∴∠DFE=∠DEC=∠N。

由【感知】可得“K”型圖證出相似三角形。

由【探究】可證得BM=CN。

∵CN∥BM，可證△BGM≌△CGN，

∴BG=CG。

【點評】本題圖形分解變化的過程可以顯示為：

“一線三等角”是相似圖形中非常典型的模型。圖6是建模;圖7是模型運用與整合，同時需要作輔助線構建模型;圖8是模型拓展，由直角變成一般角。本題是幾何模型的運用探究，同時也是思維建模的過程，由淺入深、由特殊到一般，形成解決問題的一般思維模式。當然，圖8還有多種解法，在此不再一一分析，有興趣的同學可以自己嘗試一下。

（作者單位：江蘇省宿遷市宿北中學）