等腰三角形中的易錯點分類

李青

在初中數學中，三角形一直是重要的學習內容，等腰三角形更是重中之重。等腰三角形的許多問題需要用分類討論的方法去解決，同學們往往會在解題過程中，由于審題不清、知識點掌握不牢或考慮不全面等原因造成“錯解”。為避免同學們再次出現此類問題，下面老師對于常出現的一些易錯點進行分析，希望對同學們有所幫助。

一、等腰三角形上的高

例1 在等腰三角形ABC中，AD⊥BC，交直線BC于點D，若AD=[12]BC，求△ABC的頂角的度數。

【分析】解決此類問題應關注兩點：①沒有明確是腰上的高還是底邊上的高，應分類討論;②對于等腰三角形腰上的高，還應按形內和形外分類。此題中我們應該把BC分為腰和底兩種情況來討論：當BC為底邊時，其高AD始終在三角形的內部;但當BC為腰時，應按高在三角形內和三角形外兩種情況來討論。

解：（1）當BC為底時，如圖1。

∵AB=AC，AD⊥BC，AD=[12]BC，

∴AD=BD=CD，

∴∠B=∠BAD，∠C=∠CAD，

∴∠BAD+∠CAD=∠B+∠C=90°，

∴頂角∠BAC=90°。

（2）當BC為腰時。

①如圖2，AD在△ABC內部時，

∵AD⊥BC，AD=[12]BC=[12]AC，

∴頂角∠C=30°;

②如圖3，AD在△ABC外部時，

∵AD⊥BC，AD=[12]BC=[12]AC，

∴∠ACD=30°，

∴頂角∠ACB=180°-30°=150°。

所以△ABC的頂角的度數為30°或90°或150°。

二、等腰三角形腰上的垂直平分線

例2 在△ABC中，AB=AC，AB邊上的垂直平分線與AC所在的直線相交所得的銳角為50°，則底角∠B=。

【分析】求解本題時，由于不確定△ABC的形狀，于是需要分∠A為銳角和鈍角兩種情況進行分析。畫出圖形，利用數形結合的方法，易求出底角∠B的度數為70°或20°。

【正確答案】70°或20°。

三、等腰三角形腰上的中線

例3 等腰三角形一腰上的中線把等腰三角形的周長分成15和6兩部分，求這個等腰三角形的腰長及底邊長。

【分析】等腰三角形的中線把三角形的周長分成了15和6兩個部分，它們的差值是由于腰和底的長不同而產生的，但不能確定腰和底誰長誰短，所以要分情況討論。解決這類問題時，一般用設未知數的方法會比較簡單，但一定要注意檢驗其結果是否符合三角形的三邊關系。

解：設腰長為x，底邊長為y。

（1）若腰比底長，由題意，

得[x-y=15-6，2x+y=15+6，]解得[x=10，y=1。]

（2）若底比腰長，由題意，

得[y-x=15-6，2x+y=15+6，]解得[x=4，y=13。]

而4+4<13，故舍去，所以這個三角形的腰長為10，底邊長為1。

（作者單位：江蘇省宿遷市宿豫區第一初級中學）