追根溯源，尋找中考題中的“似曾相識(shí)”

呂雯

課堂是我們學(xué)習(xí)的主要陣地，教材是我們學(xué)習(xí)的主要工具。老師在課堂上講解的例題，為我們提供了解決問題的范例，揭示了數(shù)學(xué)方法，規(guī)范了思考過程，更是數(shù)學(xué)體系構(gòu)建最基礎(chǔ)、極重要的一個(gè)環(huán)節(jié)。同學(xué)們要理解和掌握課堂上學(xué)到的知識(shí)，并將知識(shí)轉(zhuǎn)化為解決實(shí)際問題的能力。

一、沖破迷霧尋原題

（蘇科版數(shù)學(xué)教材八年級(jí)上冊(cè)第146頁(yè)例2）在彈性限度內(nèi)，彈簧長(zhǎng)度y（cm）是所掛物體的質(zhì)量x（g）的一次函數(shù)。已知一根彈簧掛10g物體時(shí)的長(zhǎng)度為11cm，掛30g物體時(shí)的長(zhǎng)度為15cm，試求y與x的函數(shù)表達(dá)式。

解：根據(jù)題意，設(shè)y與x的函數(shù)表達(dá)式為y=kx+b（k≠0），

由x=10時(shí)，y=11，得11=10k+b。

由x=30時(shí)，y=15，得15=30k+b。

解方程組[10k+b=11，30k+b=15，]

得[k=15，b=9。]

所求函數(shù)表達(dá)式為y=[15]x+9。

二、一針見血破變形

一次函數(shù)與方程有著密不可分的聯(lián)系，在中考試題中，常常將一次函數(shù)與二元一次方程組相結(jié)合，先用待定系數(shù)法求出一次函數(shù)表達(dá)式，再利用一次函數(shù)的圖像，結(jié)合增減性，找到突破口，求出函數(shù)的最值。

【基礎(chǔ)變式】（2020·山東煙臺(tái)）新冠疫情期間，口罩成為人們出行必備的防護(hù)工具。某藥店三月份共銷售A、B兩種型號(hào)的口罩9000只，共獲利潤(rùn)5000元，其中A、B兩種型號(hào)口罩所獲利潤(rùn)之比為2∶3。已知每只B型口罩的銷售利潤(rùn)是A型口罩的1.2倍。

（1）求每只A型口罩和B型口罩的銷售利潤(rùn)。

（2）該藥店四月份計(jì)劃一次性購(gòu)進(jìn)兩種型號(hào)的口罩共10000只，其中B型口罩的進(jìn)貨量不超過A型口罩的1.5倍。設(shè)購(gòu)進(jìn)A型口罩m只，這10000只口罩的銷售總利潤(rùn)為W元。該藥店如何進(jìn)貨，才能使銷售總利潤(rùn)最大？

解：（1）設(shè)每只A型口罩的銷售利潤(rùn)為x元，則每只B型口罩的銷售利潤(rùn)為1.2x元，故[2000x+30001.2x]=9000，解得x=0.5。

答：每只A型口罩和B型口罩的銷售利潤(rùn)分別為0.5元，0.6元。

（2）根據(jù)題意，得W=0.5m+0.6（10000-m）=-0.1m+6000。

由10000-m≤1.5m，解得m≥4000。

∵-0.1<0，∴W隨m的增大而減小。

∵m為正整數(shù)，∴當(dāng)m=4000時(shí)，W取最大值，則-0.1×4000+6000=5600（元）。

答：該藥店購(gòu)進(jìn)A型口罩4000只、B型口罩6000只，才能使銷售總利潤(rùn)最大。最大利潤(rùn)為5600元。

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是一次函數(shù)的求法和性質(zhì)，二元一次方程組及一元一次不等式的綜合應(yīng)用。根據(jù)題意建立一次函數(shù)關(guān)系，結(jié)合一次函數(shù)的增減性發(fā)現(xiàn)W隨m的增大而減小，從而確定自變量x的值，最終得出W的最大值。

三、撥云見日探本質(zhì)

二次函數(shù)的考查常以應(yīng)用題的形式出現(xiàn)在中考試卷上，我們只要理解題意，層層剖析，把每一個(gè)變量都表示出來(lái)，就能將復(fù)雜的文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)潔的數(shù)學(xué)語(yǔ)言，列出函數(shù)表達(dá)式解決問題。

【升級(jí)變式】（2020·內(nèi)蒙古呼倫貝爾）某商店銷售一種銷售成本為每件40元的玩具，若按每件50元銷售，一個(gè)月可售出500件，銷售價(jià)每漲1元，月銷量就減少10件。設(shè)銷售價(jià)為每件x元（x≥50），月銷量為y件，月銷售利潤(rùn)為w元。

（1）寫出y與x的函數(shù)表達(dá)式，w與x的函數(shù)表達(dá)式;

（2）商店要在月銷售成本不超過10000的情況下，使月銷售利潤(rùn)達(dá)到8000元，銷售價(jià)應(yīng)定為每件多少元？

（3）當(dāng)銷售價(jià)定為每件多少元時(shí)會(huì)獲得最大利潤(rùn)？求出最大利潤(rùn)。

解：（1）根據(jù)題意，得y=500-10（x-50）=1000-10x，x≥50。

w=（x-40）（1000-10x）=-10x2+1400x-40000，x≥50。

（2）根據(jù)題意，得-10x2+1400x-40000=8000，解得x1=60，x2=80。

當(dāng)x=60時(shí)，成本=40×[500-10（60-50）]=16000>10000，不符合要求，舍去;

當(dāng)x=80時(shí)，成本=40×[500-10（80-50）]=8000<10000，符合要求。

∴銷售價(jià)應(yīng)定為每件80元。

（3）∵w=-10x2+1400x-40000

=-10（x-70）2+9000，x≥50，

又∵-10<0，

∴當(dāng)x=70時(shí)，w取最大值9000。

答：銷售價(jià)定為每件70元時(shí)會(huì)獲得最大利潤(rùn)。最大利潤(rùn)為9000元。

【點(diǎn)評(píng)】此題是二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，需準(zhǔn)確分析題意，求出二次函數(shù)表達(dá)式。第（2）問是要將二次函數(shù)轉(zhuǎn)化成一元二次方程求解;第（3）問應(yīng)利用配方法將二次函數(shù)一般式寫成頂點(diǎn)式，再結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)求出二次函數(shù)最大值。

（作者單位：江蘇省無(wú)錫市梅里中學(xué)）