步步有據　分分有理

孫偉剛

同學們，函數是初中數學中的核心內容，它除了包括函數的概念、正比例函數、一次函數、反比例函數及二次函數等具體知識外，還蘊含著方程與不等式的思想方法。在歷年各地的中考試卷中，函數內容一直是命題的重頭戲，其中尤以考查一次函數的應用為甚。如何規范而完美地解答一次函數的應用問題呢？下面老師通過幾個例題予以說明，希望對同學們有所幫助。

一、圖像型一次函數的應用問題

例1 （2020·陜西）（本題滿分7分）某農科所為定點幫扶村免費提供一種優質瓜苗及大棚栽培技術。這種瓜苗早期在農科所的溫室中生長，長到大約20cm時，移至該村的大棚內，沿插桿繼續向上生長。研究表明，60天內，這種瓜苗生長的高度y（cm）與生長時間x（天）之間的關系大致如圖所示。

（1）求y與x之間的函數表達式;

（2）當這種瓜苗長到大約80cm時，開始開花結果，試求這種瓜苗移至大棚后，繼續生長大約多少天，開始開花結果。

【考點】求一次函數表達式、二元一次方程組的應用、一元一次方程的應用。

解：（1）當0≤x≤15時，設y=kx（k≠0）。由圖像可知當x=15時，y=20，因此20=15k，解得k=[43]，∴y=[43x]。（1分）

當15

因此[15m+b=20，60m+b=170，]

解得[m=103，b=-30，]

∴y=[103x]-30。（3分）

∴y=[43x（0≤x≤15），103x-30（15<x≤60）。]（4分）

（2）當y=80時，得80=[103x]-30，解得x=33。（5分）

33-15=18（天）。（6分）

答：這種瓜苗移至大棚后，繼續生長大約18天，開始開花結果。（7分）

【點評】本題以圖像形式考查了一次函數的應用，題意簡明，但同學們想得滿分卻不那么容易，還得看解題過程是否規范。由于圖像給出的是一條折線段，因此解答第（1）問時應注意分段，“設出y與x之間的函數表達式并說明x的取值范圍”“列出方程（組）求解”“確定表達式”“作答”等解題環節缺一不可，這些都是得分要點。對于第（2）問，審題細致的同學就有優勢，因為他們會發現題中的關鍵字眼“繼續”兩字，從而注意到x=33不是所求的天數，還需多一步，即33-15=18（天）才是最后的答案。對于審題粗枝大葉的同學，最后2分很可能會白白扣掉，會而不對，令人惋惜。

二、表格型一次函數的應用問題

例2 （2020·四川樂山）（本題滿分10分）某汽車運輸公司為了滿足市場需要，推出商務車和轎車對外租賃業務。下面是樂山到成都兩種車型的限載人數和單程租賃價格表：

[車型 每車限載人數（人） 租金（元/輛） 商務車 6 300 轎車 4 ]

（1）如果單程租賃2輛商務車和3輛轎車共需付租金1320元，求一輛轎車的單程租金為多少元。

（2）某公司準備組織34名職工從樂山赴成都參加業務培訓，擬單程租用商務車或轎車前往。在不超載的情況下，怎樣設計租車方案才能使所付租金最少？

【考點】一元一次方程的應用、一元一次不等式的應用、一次函數的應用。

解：（1）設租用一輛轎車的單程租金為x元。

根據題意，得300×2+3x=1320，（1分）

解得x=240。（2分）

答：租用一輛轎車的單程租金為240元。（3分）

（2）①若只租用商務車，∵[346]=[523]，

∴只租用商務車，應租6輛，所付租金為300×6=1800（元）。（4分）

②若只租用轎車，∵[344]=8.5，

∴只租用轎車，應租9輛，所付租金為240×9=2160（元）。（5分）

③若混和租用兩種車，設租用商務車m輛，租用轎車n輛，租金為W元。

根據題意，得[6m+4n=34，W=300m+240n，]（6分）

由6m+4n=34，得4n=-6m+34，

∴W=300m+60（-6m+34）=-60m+2040。

（8分）

∵-6m+34=4n≥0，∴m≤[173]，

∴1≤m≤5，且m為整數。

∵W隨m的增大而減小，

∴當m=5時，W有最小值1740，此時n=1。（9分）

綜上，租用商務車5輛和轎車1輛時，所付租金最少，為1740元。（10分）

【點評】本題以表格形式考查了一次函數的應用，減少了許多文字的贅述，突出了題干部分，便于同學們快速理解題意，準確找到解題思路。第（1）問是基礎題，“設未知數列出方程”“解方程”“作答”三部分各1分，合乎情理，分分有理。第（2）問需分類討論，三種方案一一求解，但難易程度有所不同，此時應挑選簡單的情形先解決，也就是先踩上容易得分的點，只有得到了保底的分，才有底氣去攻克較難的情形。

（作者單位：江蘇省無錫市港下中學）