基于學(xué)情，推動概念教學(xué)

祁榮圣

數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的起點(diǎn)，是進(jìn)行數(shù)學(xué)推理、判斷的依據(jù)，是建立定理、法則、公式的基礎(chǔ)，也是形成數(shù)學(xué)思想方法的出發(fā)點(diǎn)。如果對學(xué)習(xí)概念重視不夠，或是學(xué)習(xí)方法不當(dāng)，既影響對概念的理解和運(yùn)用，也直接影響思維能力的發(fā)展。有些學(xué)生不能靈活解決問題，歸根結(jié)底還是沒有真正掌握好概念。因此，概念教學(xué)需要從知識內(nèi)部結(jié)構(gòu)和學(xué)生認(rèn)知的實(shí)際出發(fā)，充分展示概念的自然生長過程，引導(dǎo)學(xué)生從概念學(xué)習(xí)中領(lǐng)悟隱含于數(shù)學(xué)問題探索中的思想方法，并在“知識消化”過程中形成主動研究問題、解決問題的方式方法。筆者以蘇科版數(shù)學(xué)八年級上冊第四章“平方根”第一課時(shí)為例，通過“感知概念→生成概念→構(gòu)建概念→深化概念”的教學(xué)模型，談?wù)勅绾斡行苿痈拍罱虒W(xué)。

一、概念教學(xué)案例

（一）引入部分

1.問題：直角三角形兩邊長為3、4，則第三邊長為? ? ? ? ? ? ? 。

【設(shè)計(jì)說明】承接數(shù)學(xué)教材內(nèi)部的序，由學(xué)生熟知的易錯題出發(fā)，克服勾3股4弦5的思維定式，利用學(xué)生生成的錯誤資源感受分類思想。

2.數(shù)學(xué)運(yùn)算的發(fā)展史。

算術(shù)數(shù)→引進(jìn)負(fù)數(shù)：代數(shù)三次飛躍中的第一次飛躍→產(chǎn)生有理數(shù)→引進(jìn)無理數(shù)：數(shù)學(xué)發(fā)展史上三次危機(jī)中的第一次危機(jī)→產(chǎn)生什么數(shù)？

【設(shè)計(jì)說明】充分考慮學(xué)段內(nèi)知識的發(fā)生、發(fā)展和關(guān)聯(lián)，突出章節(jié)起始課教學(xué)的大范疇。

3.從知識完備性來看數(shù)的運(yùn)算。

有理數(shù)的減法與除法是如何運(yùn)算的？乘方對應(yīng)產(chǎn)生什么運(yùn)算？

【設(shè)計(jì)說明】借助減法與除法轉(zhuǎn)化成加法和乘法的思想方法，啟發(fā)學(xué)生思考乘方對應(yīng)的運(yùn)算，感受本節(jié)課所學(xué)知識的內(nèi)在價(jià)值。

（二）展開部分

1.生活數(shù)學(xué)緊相連，瞻前顧后想關(guān)聯(lián)。

（1）【生活問題】已知一塊正方形木板的邊長是2米，那么這塊正方形木板的面積是多少平方米？

【數(shù)學(xué)問題】計(jì)算：42，（[13]）2，（-0.3）2。

【基本結(jié)論】兩類問題都是已知底數(shù)和指數(shù)，根據(jù)乘方定義求出冪。用符號語言表述為“在a2=x中，已知a，利用乘方，可以求出x”。

現(xiàn)在把上述問題反過來，逆向思考新問題，你會編題求解嗎？

（2）【生活問題】已知一塊正方形木板的面積是4平方米，那么這塊正方形木板的邊長是多少米？

【數(shù)學(xué)問題】已知一個(gè)數(shù)的平方等于16（或者[19]、0.09），這個(gè)數(shù)是多少？

【數(shù)學(xué)問題】設(shè)圖1中的小方格的邊長為1，你能分別算出兩個(gè)長方形的對角線AB、A′B′的長嗎？

【設(shè)計(jì)說明】從熟悉的生活和數(shù)學(xué)中的乘方入手，起點(diǎn)低，坡度小。逆向編題并解題能為平方根概念的自然生成夯實(shí)基礎(chǔ)，同時(shí)，概念學(xué)習(xí)的同化和異化作用得以體現(xiàn)，彰顯思維的完備性。

2.特殊一般來歸納，合情合理下定義。

【共性歸納】這兩類問題相當(dāng)于已知乘方的結(jié)果（冪）和指數(shù)（2），反過來求底數(shù)。用符號語言表述為“在x2=a中，已知a，如何求出x”。

【思考發(fā)現(xiàn)】上述問題應(yīng)該是乘方運(yùn)算的逆向問題。

【嘗試解決】

（1）當(dāng)x2=4時(shí)，因?yàn)?2=4，（-2）2=4，所以x=±2。因?yàn)閤代表邊長，所以x=2。

（2）當(dāng)x2=16時(shí)，因?yàn)?2=16，（-4）2=16，所以x=±4。

（3）①當(dāng)x2=169時(shí)，因?yàn)?32=169，（-13）2=169，所以x=±13。因?yàn)閤代表線段長，所以x=13。

②當(dāng)x2=5時(shí)，因?yàn)椋? ? ? ）2=5，（-? ? ?）2=5，所以x=±（? ? ? ?）。因?yàn)閤代表線段長，所以x=（? ? ? ?）。

【設(shè)計(jì)說明】利用題組和符號表示，方便辨析異同，利于學(xué)生區(qū)分?jǐn)?shù)學(xué)與生活的同與不同，也為算術(shù)平方根的學(xué)習(xí)做好鋪墊。

【基本結(jié)論】使x2=a（a≥0）成立的數(shù)有兩個(gè)，它們互為相反數(shù)。

【文字表達(dá)】如果一個(gè)數(shù)的平方等于a（a≥0），那么這個(gè)數(shù)叫作a的平方根，也稱為二次方根。

【符號表達(dá)】如果x2=a（a≥0），那么x叫作a的平方根。

一個(gè)正數(shù)a的正的平方根，記作“[a]”;一個(gè)正數(shù)a的負(fù)的平方根，記作“-[a]”。

正數(shù)a的兩個(gè)平方根記作“±[a]”，讀作“正、負(fù)根號a”。

3.以點(diǎn)帶面理解透，規(guī)范表達(dá)很重要。

【學(xué)生交流】下列各數(shù)有平方根嗎？如果有，請寫出來;如果沒有，請說明理由。

9，5，[925]，0.16，0，-36，-0.01，-8，-2017。

【學(xué)生歸納】一個(gè)正數(shù)有兩個(gè)平方根，它們互為相反數(shù);0的平方根是0;負(fù)數(shù)沒有平方根。

【給出定義】求一個(gè)數(shù)的平方根的運(yùn)算叫作開平方。

例1 求下列各數(shù)的平方根。

（1）25;（2）[1681];（3）15;（4）0.09;（5）你會算（-0.3）2的平方根嗎？

【設(shè)計(jì)說明】在討論的過程中，不同層次的學(xué)生可能會遇到不同的困難，教師要給予適當(dāng)?shù)膸椭凸膭?，同時(shí)板書示范（1）和（5）的解題過程，其余由學(xué)生板演，講練結(jié)合，強(qiáng)化書寫訓(xùn)練，突出文字與符號的轉(zhuǎn)化意識。

例2 求下列各式中的x。

（1）x2=169;（2）4x2=169;

（3）（x2+y2）2=[1694]，你會求出x2+y2嗎？[對比第（1）題找出相同點(diǎn)與不同點(diǎn)。]

【設(shè)計(jì)說明】循“實(shí)例感知→抽象概念→運(yùn)用概念→辨析概念”的順序，充分發(fā)揮學(xué)生的探究主動性，從不同維度厘清平方根的概念和運(yùn)用，為下一節(jié)課辨清算術(shù)平方根夯實(shí)基礎(chǔ)。

4.回顧過程勤反思，拓展延伸再探究。

（1）所學(xué)知識：開平方的定義;平方根的定義。

（2）思想方法：從特殊到一般的歸納;數(shù)學(xué)抽象。

（3）解決疑惑：數(shù)的發(fā)展完善;數(shù)的運(yùn)算完備。

（4）產(chǎn)生問題：

①數(shù)學(xué)中平方根往往有2個(gè)，而生活中往往只取其中的正數(shù)。你能給出實(shí)例嗎？

②平方是乘方的特殊情形，開平方得平方根是開方的特殊情形。你能舉例嗎？

③我們發(fā)現(xiàn)下列計(jì)算，a+b-b=? ? ? ? ? ?;a÷b×b（b≠0）=? ? ? ? ? ?。

類似加減、乘除，乘方與開方也互逆。你還能提出什么運(yùn)算？猜想怎么算。

【設(shè)計(jì)說明】區(qū)別于一般的“你有什么收獲”的自主總結(jié)，規(guī)定問題的反思小結(jié)能讓學(xué)生更具象地理解核心概念，促使學(xué)生在舉例中學(xué)會類比發(fā)問，形成概括化的學(xué)科方法。

二、教學(xué)反思

（一）現(xiàn)實(shí)需要促進(jìn)知識理性生長

初中數(shù)學(xué)概念教學(xué)既要靈活地把握好感性的課堂和學(xué)生，又要教會學(xué)生理性思考。本節(jié)課從學(xué)生熟悉的問題情境中挖掘生成的錯誤資源，產(chǎn)生現(xiàn)有運(yùn)算儲備不能完全解決問題的困惑，結(jié)合數(shù)學(xué)運(yùn)算發(fā)展史，充分認(rèn)識運(yùn)算需要擴(kuò)充，需要完備，對呼之欲出的概念產(chǎn)生迫切需求，充分考慮學(xué)段內(nèi)知識的發(fā)生、發(fā)展與關(guān)聯(lián)，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣。學(xué)生感受到所學(xué)知識來源于生活，數(shù)學(xué)概念是反映數(shù)學(xué)對象本質(zhì)的思維形式，是形成數(shù)學(xué)知識體系的基礎(chǔ)，是數(shù)學(xué)思想方法的重要載體。同時(shí)，教師把實(shí)際問題抽象成數(shù)學(xué)問題，通過一個(gè)個(gè)“為什么”引導(dǎo)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維得到理性生長。

（二）生成概念促進(jìn)知識繼續(xù)生長

知識發(fā)生發(fā)展的過程，就是展示數(shù)學(xué)概念形成和深化的過程，展示數(shù)學(xué)規(guī)律發(fā)現(xiàn)的過程，展示數(shù)學(xué)知識拓展和運(yùn)用的過程。

教者通過比較、分析、歸納、類比等形式引出開方，從而建立新的概念，推動學(xué)生數(shù)學(xué)知識的生長，而復(fù)原知識產(chǎn)生的過程正是學(xué)生知識生長的基礎(chǔ)。遵循數(shù)學(xué)教材體系和學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)的概念探究過程，水到渠成地生成開方和平方根的概念，學(xué)生收獲的不僅是知識，還有思維延伸的活動過程。學(xué)生會感悟到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)就是“玩概念”，理解概念不僅要記住概念的定義形式，還要理解概念的內(nèi)涵和外延。

（三）建構(gòu)概念促進(jìn)學(xué)生抽象歸納能力的發(fā)展

“概念是人腦的高級產(chǎn)物”，哪里有數(shù)學(xué)思維活動，哪里就有數(shù)學(xué)概念的出現(xiàn)和運(yùn)用。建立概念必須對已有的知識結(jié)構(gòu)有充分的了解，再借助教師呈現(xiàn)的變式材料和佐證，明確概念的外延。概念的形成是經(jīng)歷對具體實(shí)例的特征的歸納、類比、檢驗(yàn)后明確的本質(zhì)屬性。給出定義并用符號表示概念，經(jīng)歷概念的抽象過程，能發(fā)展學(xué)生的抽象能力、推理能力、符號意識、模型思想等，使他們逐步形成數(shù)學(xué)的學(xué)科觀念。

（四）深化概念促進(jìn)學(xué)生解決問題能力的發(fā)展

學(xué)生通過綜合訓(xùn)練，不但能強(qiáng)化知識的理解，增強(qiáng)運(yùn)用知識解決問題的能力，而且能發(fā)散思維，達(dá)到概念內(nèi)化的效果。當(dāng)學(xué)生熟練掌握開平方及其性質(zhì)后，再遷移運(yùn)用到開立方等，這些就是自覺的行為。

通過“感知概念→生成概念→構(gòu)建概念→深化概念”的教學(xué)模型，最終讓學(xué)生不僅學(xué)會概念，更重要的是讓學(xué)生學(xué)會如何學(xué)習(xí)一個(gè)新的知識，并且學(xué)會把新知識與舊知識進(jìn)行聯(lián)系，從而豐富知識體系，提升自學(xué)的能力。這也正是課標(biāo)提出的讓不同的人得到不同的發(fā)展，培養(yǎng)學(xué)生提出問題和發(fā)現(xiàn)問題的能力。

（作者單位：江蘇省揚(yáng)州市江都區(qū)浦頭中學(xué)）

本文系江蘇省教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃初中專項(xiàng)重點(diǎn)自籌課題“借助數(shù)學(xué)建模培養(yǎng)初中生創(chuàng)造性思維能力的教學(xué)策略研究”（課題立項(xiàng)編號：E-b/2018/07）階段性研究成果。

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