一類具有Dirichlet邊界條件的半正問題正解的研究

摘?要：本文利用上下解法，研究了半正問題：-Δu=λm（x）（f（u）-k）+n（u），

u=0，x∈Ω，

x∈Ω，正解的存在性問題，其中ΩRN（N1）是光滑有界的，m：Ω→R是可變號的函數(shù)，n：[0，+SymboleB@

）→（-SymboleB@

，0]，參數(shù)λ，k>0，f在無窮遠(yuǎn)處滿足次線性條件且f（0）=0，證明了對于某些范圍的λ，只要M的負(fù)部適當(dāng)?shù)男?，則該方程存在一個正解。

關(guān)鍵詞：上下解法;半正問題;正解;Dirichlet邊界

中圖分類號：O175.25??文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A

1?緒論及主要結(jié)果

本文研究了半正問題：

-Δu=λm（x）（f（u）-k）+n（u），

u=0，?x∈Ω，

x∈Ω，（1.1）

其中ΩRN（N1）是光滑有界的，參數(shù)λ，k>0，且m：Ω→R是可變號的函數(shù)，n：[0，+SymboleB@

）→（-SymboleB@

，0]，這里我們討論這種情況：f∈C（[0，+SymboleB@

）），f（0）=0，f0。

半正問題的應(yīng)用非常廣泛，見文獻(xiàn)[1—4]及其參考文獻(xiàn)，通過閱讀參考文獻(xiàn)我們發(fā)現(xiàn)證明方程（1）正解的存在性是很不容易的，由于強(qiáng)極值原理在這里是不適用的。事實(shí)上，即使是通過標(biāo)準(zhǔn)的變分法理論研究方程（1）的非負(fù)解也是不清楚的，即使要求m0。

而對于m≡1的情況，我們可以參考文獻(xiàn)[1]、[5]。另一方面，在文獻(xiàn)[6]中，U.kaufmann和H.Ramos?Quoirin利用上下解法研究了方程：

-Δu=λm（x）（f（u）-k），

u=0，?x∈Ω，

x∈Ω，（1.2）

得到了幾個比較重要的定理。本人在閱讀相關(guān)參考文獻(xiàn)的過程中，發(fā)現(xiàn)我們可以將方程（1.2）的形式推廣到方程（1.1），這在我們的實(shí)際生活背景中有著更加實(shí)際的物理背景，尤其是在物理機(jī)械系統(tǒng)，控制理論等方面，因此研究這個方程是有意義且必要的。通過對方程（1.1）的研究，我們得到了下面的定理。

記P0為C10（Ω）中正錐的內(nèi)部，即：

P0：=u∈C1（Ω）|u>0（x∈Ω），u=0且uν<0（x∈Ω）

其中ν是指向Ω的單位外法向量。

記M（x，u（x））：=m（x）+n（u（x）），M+：=max（M，0），M-：=max（-M，0）則有M=M+-M-。

下面給出我們的主要結(jié)論：

定理?1.1令M∈LSymboleB@

（Ω），f：[0，SymboleB@

）→[0，SymboleB@

）是連續(xù)函數(shù)且有f（0）=0，n：[0，SymboleB@

）→（-SymboleB@

，0]。

假設(shè)對一些0

f（s）sp=1，那么當(dāng)‖M-‖LSymboleB@

（Ω）充分小時，存在λ0>0，使得對λλ0，方程（1.1）有一個正解uλ∈P0。此外，limλ→SymboleB@

x∈Ωuλ（x）=SymboleB@

。

更具體來說，定理1.1中M-足夠小的條件應(yīng)該保持在M+上，它必須使得，對一些δ>0，方程：

-Δω=（1-δ）M+（x，u）ωp-M-（x，u）ωp，

ω=0，?x∈Ω，

x∈Ω，（1.3）

有一個解ω∈P0。值得注意的是，由橢圓正則性理論知，上述定理的解u∈W2，q（Ω）（q>N），因此u∈C1，θ（Ω）（0<θ<1）。

其次，我們要求M-足夠小，以便方程

-Δu=M（x，u），

u=0，?x∈Ω，

x∈Ω，（1.4）

有唯一解u∈P0，關(guān)于這個問題見參考文獻(xiàn)[6]備注25。

通過研究，我們發(fā)現(xiàn)找到方程（1.1）的一個正解是比較困難的，雖然已經(jīng)有了一些關(guān)于m>0的相關(guān)結(jié)論，但在本文中，我們采用了一種新的方法將m推廣到符號可改變的情形。

2?主要結(jié)果的證明

給定M（x，u）∈Lq（Ω），q>N，取u∈W2，q（Ω）∩W1，q0（Ω）是方程（1.4）的唯一正解，令T：Lq（Ω）→W2，q（Ω）是相應(yīng)的解算子，即T（M）：=u。

引理?2.1令M，h∈Lq（Ω），q>N，h0且h不恒等于0，假設(shè)對一些δ>0，方程（1.3）有一個解ω∈P0，那么存在β0>0，使得對β∈（0，β0]，方程

-Δu=M（x，u）up-βh（x），

u=0，?x∈Ω，

x∈Ω，（2.1）

存在解uβ∈P0。

證明：第一步，尋找上解。

若取φ：=T（M+）∈P0且t‖φ‖p1-pSymboleB@

，那么tφ是方程（2.1）的一個上解。的確如此，-Δ（tφ）=tM+（x，u），由于t‖φ‖p1-pSymboleB@

t1-pp‖φ‖SymboleB@

t1pt‖φ‖SymboleB@

t（t‖φ‖SymboleB@

）p，因此-Δ（tφ）（t‖φ‖SymboleB@

）pM+（x，u）M（x，u）（tφ）pM（x，u）（tφ）p-βh（x），在Ω中。

第二步，尋找下解。

另一方面，取v：=T（h）且固定δ>0，ω∈P0是方程（1.3）的一個解，那么存在β0>0，使得對β∈（0，β0]，有βv<δω，即有0<（1-δ）ωSymbolcB@

ω-βv，在Ω中。（2.2）

現(xiàn)在，對于這樣的β，我們有

-Δ（ω-βv）=（1-δ）M+（x，u）ωp-M-（x，u）ωp-βh（x）

SymbolcB@

（1-δ）pM+（x，u）ωp-M-（x，u）（ω-βv）p-βh（x）

將2.2代入，得到SymbolcB@

M+（x，u）（ω-βv）p-M-（x，u）（ω-βv）p-βh（x）=M（x，u）（ω-βv）p-βh（x）。

即，ω-βv是方程（2.1）的一個下解。因此，結(jié)合上下解理論及參考文獻(xiàn)[7]中的定理4.9，我們得到一個解u∈H10（Ω）∩LSymboleB@

（Ω）。此外，由標(biāo)準(zhǔn)的正則化理論我們可以推出u∈W2，q（Ω），q>N，又因為下解ω-βv∈P0，因此有u∈P0。

定理?2.2令M∈LSymboleB@

（Ω），f：[0，SymboleB@

）→[0，SymboleB@

）是一個連續(xù)函數(shù)，滿足lims→SymboleB@

f（s）sp=1，其中00，方程

-Δω=M（x，u）ωp-β，

ω=0，?x∈Ω，

x∈Ω，

有一個正解ω∈C（Ω），那么存在λ0>0，當(dāng)λλ0時，方程（1.1）有一個正解uλ∈W2，q（Ω），q>N。此外，我們還有l(wèi)imλ→SymboleB@

x∈Ωuλ（x）=SymboleB@

。

證明：第一步，尋找下解。

設(shè)u-λ：=λ11-pω，則有-Δu-λ=λ11-pMx，λ11-pωωp-β，因此u-λ是方程（1.1）的一個下解，當(dāng)且僅當(dāng)λ11-p（M（x，λ11-pω）ωp-β）SymbolcB@

λm（x）（f（λ11-pω）-k）+n（λ11-pω），而λM（x，λ11-pω）（f（λ11-pω）-k）=λm（x）（f（λ11-pω）-k）+λn（λ11-pω）（f（λ11-pω）-k），取λ充分大時，有λm（x）（f（λ11-pω）-k）+λn（λ11-pω）（f（λ11-pω）-k）SymbolcB@

λm（x）（f（λ11-pω）-k）+n（λ11-pω），因此當(dāng)：

λ11-p（M（x，λ11-pω）ωp-β）SymbolcB@

λM（x，λ11-pω）（f（λ11-pω）-k）（2.3）

時，u-λ為方程（1.1）的一個下解。而不等式（2.3）等價于：

βωpM（x，λ11-pω）1-f（λ11-pω）（λ11-pω）p+kM（x，λ11-pω）（λ11-pω）p（2.4）

令ε：=infx∈Ωβω（x）p，由于lims→SymboleB@

f（s）sp=1，則存在s0>0，使得當(dāng)s>s0時，有1-f（s）sp<ε2‖M‖SymboleB@

，ksp<ε2‖M‖SymboleB@

。

因此，對于x∈Ω，使得λ11-pω（x）>s0，則有：

Mx，λ11-pω1-f（λ11-pω）（λ11-pω）p+kM（x，λ11-pω）（λ11-pω）p<εSymbolcB@

βωp

對于這樣的x，有（2.4）成立。

現(xiàn)在令S：=sup0SymbolcB@

sSymbolcB@

s0sp-f（s）且固定λ0>0，使得對x∈Ω，若λλ0，則有λp1-pβ-kM（x，u-λ）>S‖M（x，u-λ）‖SymboleB@

。因此，若λλ0且x∈Ω，使得λ11-pω（x）SymbolcB@

s0，則有：

M（x，u-λ）（（u-λ）p-f（u-λ））SymbolcB@

S‖M（x，u-λ）‖SymboleB@

<λp1-pβ-kM（x，u-λ）

去掉絕對值，兩邊再同乘λ，則等價于：

λ11-p（M（x，u-λ）ωp-β）<λM（x，u-λ）（f（u-λ）-k）

即得到（2.3）成立，因此當(dāng)λλ0時，u-λ為方程（1.1）的一個下解。

第二步，尋找上解。

令e：=T（1），即-Δe=1。定義u-λ：=t（e+1）（t>0），則u-λ是方程（1）的一個上解，當(dāng)且僅當(dāng)

-Δu-λλm（x）（f（u-λ）-k）+n（u-λ）

即-Δ[t（e+1）]λm（x）（f（t（e+1））-k）+n（t（e+1））

又因為：

λm（x）（f（t（e+1））-k）λm（x）（f（t（e+1））-k）+n（t（e+1））

所以當(dāng)tλm（x）（f（t（e+1））-k）（x∈Ω）時，即

1λm（x）f（t（e+1））-kt（e+1）（e+1），（2.5）

u-λ是方程（1.1）的一個上解。由于f在無窮遠(yuǎn)處滿足次線性性條件，則lims→SymboleB@

f（s）s=0，即對給定的ε>0，存在s1>0，使得對s>s1，有f（s）-ks<ε。特別地，由于e（x）∈P0，則e（x）>0，若t>s1，則有t（e（x）+1）>t>s1，f（t（e+1））-kt（e+1）<ε。因此，當(dāng)t充分大時，我們可以得到（2.5）成立，若有必要，我們選擇更大的t，使得λ11-pωSymbolcB@

t（e+1），即u-λSymbolcB@

u-λ（x∈Ω）。

我們可以得到，對于λλ0，方程（1.1）有一個正解uλ滿足u-λSymbolcB@

uλSymbolcB@

u-λ。特別地，對x∈Ω，有uλ（x）u-λ（x）=λ11-pω（x），即limλ→SymboleB@

x∈Ωuλ（x）=SymboleB@

，得證。

參考文獻(xiàn)：

[1]D.Costa，H.Tehrani，J.Yang，On?a?variational?approach?to?existence?and?multiplicity?results?for?semipositone?problems，Electron.J.Differential?Equations?2006，No.11，10p.

[2]E.N.Dancer，J.Shi，Uniqueness?and?nonexistence?of?positive?solutions?to?semipositone?problems，Bull.London?Math.Soc.38（2006），10331044.

[3]A.Castro，C.Maya，R.Shivaji，Nonlinear?eigenvalue?problems?with?semipositone?structure，Electron.J.Differ.Conf.5（2000），3349.

[4]E.Lee，R.Shivaji，J.Ye，Subsolutions：a?journey?from?positone?to?infinite?semipositone?problems，Electron.J.Differ.Equ.Conf.17（2009），123131.

[5]A.Castro，J.B.Garner，R.Shivaji，Existence?results?for?classes?of?sublinear?semipositone?problems，Results?Math.23（1993），214220.

[6]U.Kaufmann，H.R.Quoirin.Positive?solutions?of?indefinite?semipositone?problems?via?subsuper?solutions，Differential?and?Integral?Equations.31（7/8）（2018），497506.

[7]Y.Du，Order?structure?and?topological?methods?in?nonlinear?partial?differential?equations.Vol.1.Maximum?principles?and?applications，World?Scientific?Publishing?Co.Pte.Ltd.，Hackensack，NJ，2006.

作者簡介：符謙（1994—?），男，漢族，四川達(dá)州人，碩士研究生，主要從事偏微分方程研究。