等積變形法VS割補法

黃旭軍

今天的數學課上，阿木老師在黑板上畫了一組平行線，然后在里面畫了兩個平行四邊形。然后笑瞇瞇地問：“大家看看，甲乙兩個陰影部分的面積相等嗎？”

心急的同學馬上說：“甲大，一看就是甲大！”有些同學舉手表示不同意見。

阿木老師點點頭，接著說：“這道題就是等積變形的好例子。利用等積變形，可以讓一些圖形題變得很簡單。

例1

已知圖中大正方形的邊長是6厘米，小正方形的邊長是4厘米，求陰影部分的面積。

觀察

開始

所求陰影部分是三角形，但這個三角形三條邊的長度都不知道，也沒有高的長度，不能直接求。

常規

思路

如果用割補法解決的話，如右圖，先補出一個大長方形。

然后再從大長方形的面積里減去白色部分的面積。

長方形面積=（4+6）×6=60（平方厘米）

三角形①面積=（6-4）×4÷2=4（平方厘米）

三角形②面積=（6+4）×4÷2=20（平方厘米）

三角形③面積=6×6÷2=18（平方厘米）

所求陰影部分面積=60-4-20-18=18（平方厘米）

答：陰影部分面積是18平方厘米。

另辟

蹊徑

用等積變形法來解決。

如圖，先畫出兩條對角線，正方形對角線與水平面都成45度角，所以這兩條對角線是一組平行線。

平行線之間進行等積變形。

如圖，這些三角形的面積都與原三角形相等。

其中三角形ECG不但面積與原三角形相等，計算時也非常方便。算出它的面積就等于陰影部分面積。

三角形ECG面積=6×6÷2=18（平方厘米）

答：陰影部分面積是18平方厘米。

例2

邊長分別為1厘米、2厘米、3厘米的三個正方形擺成如下形狀，求陰影部分的面積。

觀察

開始

陰影部分是一個三角形，可是沒有任何邊長和高的信息。

常規

思路

用割補法來解決問題。

如圖1，把陰影部分切成兩個三角形。

把它們看成底都是2厘米的三角形。

左邊紅三角形面積=2×（1+2）÷2=3（平方厘米）

右邊藍三角形面積=2×3÷2=3（平方厘米）

所以陰影部分面積=3+3=6（平方厘米）

答：陰影部分面積是6平方厘米。

另辟

蹊徑

用等積變形來解決。

如圖2，正方形的兩條邊是一組平行線，把左邊紅三角形等積變形。

同理，把右邊藍三角形也等積變形，如圖3所示。

經過二次等積變形，所求陰影部分面積就是圖4三角形面積。

陰影部分面積=（1+2+3）×2÷2=6（平方厘米）

答：陰影部分面積是6平方厘米。

訓練一二一

如圖，在一個長18厘米，寬5厘米的長方形中，空白部分面積是多少？

上期答案：設圓的半徑為r，則陰影部分面積為r2÷2=6（平方厘米），所以r2=6×2=12，圓的面積為3.14×12=37.68（平方厘米）。