基于拓撲優化理論的橋梁結構找型

陸一帆，楊錦鈴，洪壯，陳震，陳素芳

（東南大學成賢學院，江蘇 南京210088）

0 引言

連續體結構的拓撲優化指基于相應的外力以及限制條件下， 尋找到擁有最優傳力路徑的結構布局。 根據結構構件的強度、剛度和穩定性、頻率、尺寸和允許離散集等各種約束條件以及結構的類型、形式和工作條件，構建出相應的數學模型、目標函數、約束條件等，通過優化設計理論和方法對優化模型進行求解,即進行結構分析、優化設計,以獲得最佳的靜力或動力等性態特征。 橋梁結構屬于空間稀疏分布的結構， 特別適合于拓撲優化技術找到結構。

1 拓撲優化數學模型

變密度法是工程領域中普遍應用的連續體拓撲優化方法之一。 該方法將每個單元的相對密度當做設計變量， 其常見的插值模型包括Hashinshtrikman 模型、 固體各向同性懲罰微結構模型(SIMP）和材料屬性的有理近似模型等。

SIMP 材料插值數學模型表達式如式（1）所示。

在基于SIMP 材料插值模型的變密度法中，通常以結構響應量最小化或最大化為目標，設定體積比約束。 站在靜力優化的層面上，將結構合規最小（或剛度最大化、 應變能量最小） 作為優化目標函數，將結構體積比約束作為優化約束函數。 剛性優化的數學模型如式（2）所示：

式中：C 為柔順度值，K、U、F 分別表示總剛度陣、位移列陣、荷載列陣，V0和V 分別表示初結構和優化后結構體積，f 是體積比。ρmin是拓撲變量的下限，用于避免有限元分析的奇異性，通長取ρmin=10-3。

在拓撲優化的求解中，通常要求結構對單位密度變量影響的靈敏度值，其靈敏度如式（3）所示：

由公式（3）可知，由于單元應變能具有非負性，故而柔度靈敏度恒為負， 其對應的物理意義也很明顯，即刪除任意單元，均會增大結構的柔順度值。

連續拓撲優化和離散拓撲優化實際上均通過有限元方法所決定。 連續介質拓撲優化是將優化空間中的材料離散化為有限目的單元（殼單元或體積單元），并根據算法確定單元設計空間內的去除或保持。 其余單元構成最終的拓撲體系以實現拓撲優化。

2 結構拓撲優化過程

運用拓撲優化進行結構找型時，首先需要定義設計域的范圍，一般采用長方形(或長方體)來限制結構材料可能出現的位置，并將其離散為可用于結構分析的有限元模型。 單元應在計算能力允許的條件下盡可能劃分得小一些，以便得出精細的優化結果。 其次，需要按照實際結構情況對優化模型施加相應的荷載與約束條件。 然后，定義拓撲優化過程中所需的優化參數，包括保留材料的比例、過濾函數半徑、收斂準則的網值等。 最后，采用優化算法對該模型進行優化。

結構拓撲優化問題中結構響應與設計變量之間一般是非線性的隱式關系，所以采用非線性優化算法時需要通過多個迭代步對設計變量進行逐步更新，以使其逐漸達到最優設計。

3 算例

下面三個例子主要用來反映拓撲優化的科學性與有效性。 基于拓撲優化的數學模型，采用有限元分析軟件MSC Patran /NASTRAN 進行拓撲優化分析。 優化分析分為以下步驟：選擇單元類型和材料特性；建立模型并確定優化和非優化區域；定義和控制荷載條件；界分并且管控優化過程；對分析進行優化。 以懸臂梁、拱橋和懸索橋為例，對結構拓撲優化實施了詳細而深入的分析。

3.1 懸臂梁拓撲優化

懸臂結構是指一端為固定支撐，無軸向、垂直位移和轉動，另一端為自由端的梁（可產生平行于或垂直于軸線的力）。 它是工程力學分析中一種典型的簡化模型。 在實際工程分析中，大多數受力構件都可以簡化為懸臂梁。

首先創建48 mm×30 mm×4 mm 的短懸臂梁拓撲優化所需的有限元模型，材料參數滿足：彈性模量 E=2.1×105MPa， 泊松比 v=0.3， 使用參數 Global Edge Length=1.0，對其進行網絡劃分，生成5 760 個實體單元。 懸臂梁左端固定約束，右下角點受到垂直向下單位荷載作用，其有限元模型如圖1 所示。

圖1 短懸臂梁初始設計區域有限元模型

經有限元拓撲優化分析，獲得懸臂梁的合理結構模型，如圖2 所示。

圖2 懸臂梁模型的拓撲優化結果

3.2 拱式橋梁拓撲優化

拱橋作為一種古老的橋型，以其跨度大、承載力高、經濟成本低、養護成本低、造型美觀等獨特的技術優勢成為歷史悠久、競爭力較強、發展潛力較大的一種橋梁形式。

首先創建一個 42 mm×21 mm×7 mm 的梁模型，材料彈性模量為2.1×105MPa，泊松比為0.3，使用參數Global Edge Length=1.0， 對其進行網絡劃分，生成5 760 個實體單元。邊界條件為下部兩端固定，所受荷載為均布荷載，分別施加在最上層、中間層、最下層。 其拓撲優化分析結果如圖3～5 所示。

圖3 上承式橋梁拓撲優化模型

圖4 中承式橋梁拓撲優化模型

圖5 下承式橋梁拓撲優化模型

3.3 上承式懸帶橋拓撲優化

工程中，還有一種類似上承式的橋梁——上承式懸帶橋。 基于該橋梁工程所受荷載情況，采用有限元分析軟件進行拓撲優化分析，也可得到其優化模型[1]，如圖 6 所示。

圖6 頂承式懸索橋拓撲優化模型

4 基于拓撲優化的結構模型設計

基于上述橋梁結構拓撲優化分析結果，下面以拱式橋梁（上承式、中承式、下承式）為例，進行模型初步概念優化設計。

（1）上承式拱形結構，如圖7 所示。

（2）中承式拱形結構，如圖8 所示。

（3）下承式拱形結構，如圖9 所示。

圖7 上承式橋梁拓撲優化模型

圖8 中承式橋梁拓撲優化模型

圖9 下承式橋梁拓撲優化模型

5 結語

文章采用 SIMP 拓撲優化方法， 利用 MSC.Patran/Nastran 有限元軟件， 建立了懸臂式橋梁模型、拱式橋梁模型（上承式、中承式、下承式）和上懸式懸帶橋模型拓撲優化模型，并對這幾種橋梁模型進行拓撲優化分析，得到了優化后貼近實際工程應用的橋梁模型， 最后通過CAD 將優化過后的模型進行初步概念化設計，并繪制出模型，得到了橋梁設計初始階段的結構模型[2]。

對于實際橋梁， 應充分考慮初始條件和邊界條件， 以保證拓撲優化結構能夠更加科學合理的應用于實際工程領域中。 文章給出幾種橋梁拓撲優化的模型可為后續的結構詳細設計打下基礎，提供方向。