復(fù)合荷載作用下雙軸對稱工字形懸臂梁的彎扭屈曲分析

張文福 ，孫陳 ，趙文艷 ，黃斌 ，嚴(yán)威

（1.安徽建筑大學(xué)，安徽 合肥 230601；2.南京工程學(xué)院 ，江蘇 南京 211167）

0 引言

懸臂鋼梁是工程中最常用的結(jié)構(gòu)構(gòu)件之一。目前， 單一荷載作用下的工字鋼梁穩(wěn)定理論已得到廣泛研究[1]，鋼結(jié)構(gòu)設(shè)計規(guī)范[2]中也給出了相應(yīng)的設(shè)計規(guī)范。

文章從張文福教授的板-梁理論[3]出發(fā)，對自由端作用集中力和滿跨均布荷載的懸臂梁進(jìn)行穩(wěn)定性分析，求解此荷載作用下懸臂梁臨界荷載的解析解。 然后，利用ANSYS 有限元軟件，將得到的理論解和有限元解進(jìn)行比較，從而對理論的正確性進(jìn)行驗證。從對比結(jié)果來看，該理論具有較高的精度。

1 能量變分法

圖1 為均布荷載與集中荷載共同作用下懸臂工字鋼梁計算簡圖， 其中q 為均布荷載，p 為集中荷載，L 為懸臂鋼梁跨度。

圖 2 為鋼梁屈曲變形圖,其中 C（0，0）為截面形心，S（0，yo）為截面剪心。

圖1 懸臂鋼梁作用復(fù)合荷載的計算

圖2 鋼梁彎扭屈曲變形

圖 2 中，bf1為上翼緣寬度，bf2為下翼緣寬度，對于雙軸對稱截面bf1=bf2，tf1為上翼緣厚度，tf2為下翼緣厚度，對于雙軸對稱截面tf1=tf2，tw為腹板寬度，hw為腹板高度，h 為梁高度。

1.1 一項級數(shù)解答

1.1.1 模態(tài)試函數(shù)

截面的位移和轉(zhuǎn)角函數(shù)選用以下一項三角級數(shù)形式的模態(tài)函數(shù)，其形式如式（1）所示：

式中：u（z）和 θ（z）為懸臂工字鋼梁屈曲時截面的側(cè)移和繞剪心的轉(zhuǎn)角， 是關(guān)于梁跨度z 的函數(shù)；h 為梁高；A1和B1為無量綱待定系數(shù)。

顯然，模態(tài)函數(shù)式（1）滿足懸臂梁的邊界條件，如式（2）所示。

均布荷載和自由端集中荷載作用下的懸臂梁任意截面的內(nèi)力表達(dá)式如式（4）所示。

根據(jù)式（4）可知最大彎矩位于梁固定端z=0 處，由此可知最大彎矩如式（5）所示。

1.1.2 總勢能方程

復(fù)合荷載作用下懸臂鋼梁彎扭屈曲的總勢能方程如式（6）所示。

式中：E 為彈性模量，Iy為鋼梁繞著y 軸的慣性矩，u為截面剪心的側(cè)向位移，Iω為截面的翹曲慣性矩，θ為截面繞著剪心的扭轉(zhuǎn)角，G 為剪切模量，Jk為截面自由扭轉(zhuǎn)常數(shù)，Mx為繞截面強(qiáng)軸x 的彎矩，aq為均布荷載作用位置參數(shù)，ap為集中荷載作用位置參數(shù)。

將位移與轉(zhuǎn)角的模態(tài)函數(shù)代入總勢能方程，應(yīng)用Mathematica 軟件進(jìn)行相關(guān)積分運(yùn)算。 利用勢能駐值原理，表達(dá)式如式（7）所示。

引入無量綱參數(shù)，表達(dá)式如式（8）所示。

式中：Mcr為復(fù)合荷載作用下懸臂梁彎扭屈曲臨界彎矩有量綱解為無量綱后的為無量綱化后的荷載作用位置參數(shù)，K 為無量綱參數(shù)，q為均布荷載，EIy為抗彎剛度，EIω為約束扭轉(zhuǎn)剛度，為自由扭轉(zhuǎn)剛度。

得到無量綱的屈曲方程式如式（9）所示。

進(jìn)而求得臨界彎矩公式如式（10）所示。

其中，參數(shù) C1、C2、C3 為：

1.2 無窮項級數(shù)解答

1.2.1 模態(tài)試函數(shù)

選取傅里葉余弦三角級數(shù)作為模態(tài)試函數(shù)，表達(dá)式如式（12）所示。

將式（12）代入總勢能方程式（6）中，參照前述方法進(jìn)行無量綱化處理，得矩陣形式的屈曲方程如式（13）所示。

上式中，各子矩陣表達(dá)式如下：

式中：m 為矩陣的行數(shù)，r 為矩陣的列數(shù)，例如1Smm，表示帶有且 m=n 時的 B 的系數(shù)；0Rsr表示不帶有且 m≠n 時 A 的系數(shù)。

求解式（13）矩陣表示的彎扭屈曲方程，解得最小特征值，即為均布荷載和集中荷載作用下懸臂梁彎扭屈曲無量綱臨界彎矩的近似數(shù)值解。當(dāng)所選模態(tài)函數(shù)項數(shù)足夠使上述屈曲方程解收斂，則可得到此問題的精確解。

1.2.2 計算與收斂性的驗證

圖3 為無窮級數(shù)解答收斂性驗證。由圖3 可以看出，選取的三角級數(shù)收斂速度很快，一般在5 項左右即可取得滿意的結(jié)果。

圖3 收斂性驗證

2 有限元驗證

2.1 有限元模型建立

采用ANSYS 有限元軟件模擬雙軸對稱截面工字形懸臂鋼梁的彎扭屈曲。 單元選擇SHELL181，SHELL181 是每個節(jié)點有6 個方向自由度的4 節(jié)點單元，適合模擬薄殼。

2.2 邊界約束

對于固定支座，約束固定端截面上各節(jié)點所有自由度，自由端放開約束，懸臂梁邊界條件見圖4。關(guān)于實現(xiàn)“剛周邊”的力學(xué)假定，考慮主從節(jié)點耦合cerig 命令， 沿梁跨度方向L 在各個截面的從節(jié)點都關(guān)于主節(jié)點繞z 軸耦合來形成剛性區(qū)，剛周邊設(shè)置和截面位移轉(zhuǎn)角見圖5。

圖4 懸臂梁有限元模型

圖5 剛性區(qū)域

2.3 有限元模型驗證

童根樹[4]提出了橫向荷載下的雙軸對稱工字形懸臂梁的臨界彎矩計算公式如式（22）所示。

式中，a 為荷載作用點到截面剪心的距離，C1、C2為荷載作用方式相關(guān)的系數(shù)，按公式（23）、（24）計算；Iy為鋼梁繞著y 軸的慣性矩，Iw為截面的翹曲慣性矩；E 為彈性模量；G 為剪切模量；Jk為截面自由扭轉(zhuǎn)常數(shù)。

其中m 與荷載作用位置有關(guān)，見式（27）：

根據(jù)單一荷載作用下雙軸對稱工字形懸臂梁臨界彎扭屈曲彎矩公式 （22）， 選取截面參數(shù)為H300 mm×bf300 mm×tf12 mm×tw8 mm 在三種不同跨度下的有限元數(shù)值模擬分析， 并與理論對比，結(jié)果見表1 和表2。 表1 中最大誤差為4.18%， 表2中最大誤差為3.62%，說明建立的有限元模型是可靠的。

表1 單一集中荷載作用下理論和有限元對比

表2 單一滿跨均布荷載作用下理論與有限元對比

2.4 結(jié)果驗證

選取工字鋼尺寸為 H300 mm×bf300 mm×tf12 mm×tw8 mm 的工字鋼梁，梁跨度L 分別取16 m和8 m，彈性模量E=2.06e11，泊松比v=0.3，集中荷載p 作用于自由端z=L 處， 均布荷載q 滿跨布置。荷載作用點分別取上翼緣形心、 剪心和下翼緣形心，結(jié)果見表3，屈曲模態(tài)見圖6。

圖6 懸臂梁在復(fù)合荷載作用下的屈曲模態(tài)

表3 懸臂梁理論值和有限元模擬對比

3 結(jié)論

（1）根據(jù)復(fù)合荷載作用下懸臂梁的能量方程，采用能量變分法，進(jìn)行彎扭失穩(wěn)分析。 通過控制不同的荷載作用位置， 給出了雙軸對稱截面懸臂鋼梁彎扭屈曲的理論計算公式。 通過有限元、理論和規(guī)范的對比，證明該公式具有較高的精度。

（2）復(fù)合荷載作用下的懸臂鋼梁，其荷載作用位置將會影響臨界彎扭屈曲荷載。 當(dāng)荷載作用于懸臂鋼梁的下翼緣形心時，臨界荷載最大；當(dāng)荷載作用于截面剪心時，次之；當(dāng)荷載作用于上翼緣形心時，臨界荷載最小。