灰色預測模型GM(1,1)的改進及應(yīng)用

楊存典 ，張雁，王怡

(1.商洛學院城鄉(xiāng)規(guī)劃與建筑工程學院，陜西商洛 726000；2.商洛學院經(jīng)濟管理學院，陜西商洛 726000)

灰色系統(tǒng)理論[1]是鄧聚龍教授1982年提出的研究數(shù)據(jù)量小、信息貧瘠的不確定性問題的理論方法。灰色預測模型GM(1,1)是灰色系統(tǒng)理論的核心內(nèi)容，通過已知的部分數(shù)據(jù)，將系統(tǒng)信息抽象量化，然后尋找最優(yōu)化模型，并對未來數(shù)據(jù)進行預測[2]。該理論提出后一直受到人們的關(guān)注，在工業(yè)、農(nóng)業(yè)、交通、經(jīng)濟等領(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用。然而，在灰色模型GM(1,1)預測過程中，出現(xiàn)了模型預測精度較低的情況。對此，楊華龍等[3]運用自動尋優(yōu)定權(quán)和最小二乘法給出了改進預測模型，解決了原有模型中對背景值和初始值規(guī)定的不合理問題。何昕等[4]運用馬爾可夫鏈理論對灰色GM(1,1)模型預測法進行了改進，解決了依靠灰色序列構(gòu)造回歸模型帶來的誤差，預測精度得到了改善。馬維軍[5]采用補充殘差與加權(quán)平均的方法對灰色模型進行了改進，改進后的灰色預測模型精度較原始模型有所提高。任工昌等[6]通過對原始數(shù)據(jù)序列進行平滑處理，建立了新的灰色預測模型，并用此方法對電力負荷進行預測分析，提高了預測精度。程毛林[7]對灰色預測模型采用疊加三角函數(shù)多項式進行擬合，降低了誤差，提高了精度。譚冠軍[8]通過構(gòu)造背景值表達式，使模型GM(1,1)適用于等間距和非等間距序列，擴大了GM(1,1)的適用范圍。樊新海等[9]通過自動尋優(yōu)定權(quán)的方法，改進了GM(1,1)模型背景值的選取。徐華鋒等[10]、王健[11]、黃克[12]、郭金海等[13]、徐寧等[14]分別用不同方法對灰色模型進行優(yōu)化，并提高了預測的精確度。綜上所述，灰色預測模型GM(1,1)從提出到應(yīng)用，很多學者在方法的改進和精度的提高方面做了大量的工作，但仍然存在初始值選取和背景值構(gòu)造方面存在運算量過大，尋優(yōu)參數(shù)等距增加而帶來的局限性。本文運用最小二乘法，解決了上面所提到的問題，增加了灰色預測模型GM(1,1)應(yīng)用的普遍性。

1 灰色預測模型GM(1,1)存在的問題

灰色預測模型GM(1,1)的建模過程是將無規(guī)律的原始數(shù)據(jù)進行1-AGO，減少數(shù)據(jù)的波動,得到規(guī)律性較強的生成數(shù)列后進行建模，運用模型進行預測，然后遞減還原成原始序列。

若原始序列X(0)和一階累加生成序列X(1)滿足準光滑性檢驗：

則X(1)具有指數(shù)增長規(guī)律，灰色微分方程為：

其中，a稱為發(fā)展灰數(shù)，b稱為內(nèi)生控制灰數(shù)，Z(1)(k)是緊鄰均值，既

X(1)的白化微分方程為：

用最小二乘法擬合得到：

微分方程(2)所對應(yīng)的事件響應(yīng)函數(shù)為：

對(5)式遞減還原，可以得到原始序列的灰色預測模型：

以上的建模過程存在的問題有三個：第一，必須進行準光滑性和指數(shù)規(guī)律的檢驗；第二，解微分方程的初始條件假設(shè)X(1)(1)=X(0)(1)，認為擬合曲線一定經(jīng)過初始點(1,X(1)(1))，實際上作為誤差平方和最小的擬合曲線，并不一定通過初始點；第三，背景值用梯形的面積近似代替，即

必然出現(xiàn)預測誤差。

2 灰色預測模型GM(1,1)的改進

為了解決以上問題，按照1-AGO序列X(1)滿足指數(shù)規(guī)律的要求，通過最小二乘法原理，找到指數(shù)方程中的參數(shù)估計，有效回避了初值的假設(shè)和背景值的近似計算。

有了參數(shù)p,q的估計值，就可以用X^(1)(t)=pe-at+q進行預測。

3 實例分析

根據(jù)商洛統(tǒng)計年鑒[14]，商洛市2002—2011年房地產(chǎn)相關(guān)數(shù)據(jù)如表1所示。

表1 2002-2011年商洛房地產(chǎn)市場價格及城鎮(zhèn)人均收入

將平均銷售價格進行處理，并作為原始數(shù)據(jù)序列：

X(0)={750,800,1200,1450,1500,1680,1820,3450,3600,3750}。

1-AGO序列是：

X(1)={750,1500,2750,4200,5700,7380,9200,12650,16250,20000}。

用MATLAB軟件計算，由(3)式得：

根據(jù)改進后的預測模型計算得：

計算結(jié)果見表2及2002—2011年商洛市房地產(chǎn)市場價格趨勢圖（見圖1）①。

表2 2002-2011年商洛房地產(chǎn)市場價格的預測值及絕對誤差比較

圖1 2002—2011年商洛市房地產(chǎn)市場價格趨勢

計算原始數(shù)據(jù)序列的標準差：

計算相對序列的標準差：

檢驗通過，預測精度達到精度要求。

4 結(jié)論

改進后的灰色預測GM(1,1)模型首先回避了初始條件X(1)(1)=X(0)(1)的假設(shè)，因為擬合曲線不一定經(jīng)過X(0)(1)點；其次，把背景值由緊鄰均值的近似計算進行了推廣。通過實例分析，預測結(jié)果的相對誤差由0.074 6提高到0.034 0，比原來的灰色預測GM(1,1)模型結(jié)果精度有所提高。

注釋：

①表2及圖1的預測數(shù)據(jù)來自作者承擔的陜西省社科基金項目研究報告。