循環(huán)荷載飽和風(fēng)積土累積塑性變形模型

姬歐鳴， 胡雪飛， 劉長明， 晏祥智

(1. 中建七局第一建筑有限公司， 遼寧 沈陽 110042； 2. 東北大學(xué) 審計(jì)處， 遼寧 沈陽 110819；3. 云南省房地產(chǎn)開發(fā)經(jīng)營(集團(tuán))有限公司， 云南 昆明 650500)

隨著經(jīng)濟(jì)的快速發(fā)展和人們對于出行要求的提升，鐵路和公路建設(shè)在我國正處于一個(gè)高潮，但是在列車循環(huán)荷載作用下，土體會產(chǎn)生不均勻沉降和水平變形，導(dǎo)致路面開裂、大變形破壞，嚴(yán)重影響行車的安全性[1～3]。因此，研究在土體的動力特性，尤其是在列車往復(fù)循環(huán)作用下的不均勻沉降和水平變形就具有十分重要的意義[4]。國內(nèi)外學(xué)者研究往復(fù)循環(huán)作用下的不均勻沉降，主要有以下兩個(gè)方面[5]：(1)基于復(fù)雜的土體彈塑性本構(gòu)模型，對循環(huán)荷載作用下的塑性應(yīng)變進(jìn)行累加求和，來模擬每一次循環(huán)后土體變形規(guī)律；(2)采用經(jīng)驗(yàn)擬合方法，直接通過大量的室內(nèi)試驗(yàn)數(shù)據(jù)，來對累積塑性應(yīng)變和循環(huán)周次之間的關(guān)系進(jìn)行擬合，最初的擬合模型由Monismith等[6]提出，其認(rèn)為累積塑性應(yīng)變和循環(huán)周次存在簡單指數(shù)增長關(guān)系，而國內(nèi)學(xué)者張勇等[7]則在此基礎(chǔ)進(jìn)行改進(jìn)，將指數(shù)模型轉(zhuǎn)化為雙曲線模型，并且考慮了擬合參數(shù)與動應(yīng)力幅值、固結(jié)圍壓和靜偏應(yīng)力的關(guān)系，對模型進(jìn)行修正使得最后計(jì)算值與試驗(yàn)值更加貼近。國內(nèi)外學(xué)者對于累積塑性模型做出以下研究，楊愛武等[8]通過引入軟化指數(shù)參數(shù)，結(jié)合其與循環(huán)動應(yīng)力、初始靜偏應(yīng)力、固結(jié)比、振動頻率之間關(guān)系，建立考慮軟化指數(shù)的累積變形模型，并與試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行相關(guān)驗(yàn)證；高軍[9]結(jié)合孔隙水壓與累積應(yīng)變的關(guān)系，對太沙基 - 倫杜立克固結(jié)方程進(jìn)行改進(jìn)，建立一種新型的飽和風(fēng)積土累積應(yīng)變預(yù)測模型，結(jié)果表明該模型不僅可以較好地描述累積應(yīng)變的變化趨勢，還對孔隙水壓與應(yīng)變的關(guān)系有較好地反映；孫玉永等[10]通過引入等效系數(shù)，來建立考慮最小動偏應(yīng)力飽和粘土累積應(yīng)變預(yù)測模型；劉曉紅等[11]結(jié)合臨界動應(yīng)力的試驗(yàn)變化規(guī)律，建立一個(gè)考慮動應(yīng)力比的預(yù)測模型，驗(yàn)證了該參數(shù)可以較好地降低模型數(shù)據(jù)的離散性；李瓊林[12]通過經(jīng)典彈塑性理論，對長期凍土在循環(huán)荷載下的累積塑性應(yīng)變進(jìn)行分析，建立凍土三維彈塑性本構(gòu)模型。

但是許多擬合模型都需要大量的試驗(yàn)數(shù)據(jù)，需要考慮試驗(yàn)條件對于土樣模型參數(shù)的影響程度，導(dǎo)致隨著循環(huán)次數(shù)和影響條件的改變，使得數(shù)據(jù)的擬合模型可能不再適用[13～14]，故本文結(jié)合現(xiàn)有飽和土體塑性變形模型和疲勞損傷模型理論，建立一種新的循環(huán)荷載飽和風(fēng)積土累積塑性變形預(yù)測模型，并且通過試驗(yàn)數(shù)據(jù)對模型進(jìn)行擬合(得出的參數(shù)還可用于損傷模型中)，來分析飽和風(fēng)積土在循環(huán)荷載作用下，其疲勞損傷和損傷與累積塑性應(yīng)變之間的變化規(guī)律。同樣基于以往國內(nèi)外研究[15～18]，由于初始靜偏應(yīng)力和動應(yīng)力對于動力特性影響程度較大，本文將進(jìn)行飽和風(fēng)積土的不排水動三軸試驗(yàn)，研究在不同初始靜偏應(yīng)力、動應(yīng)力和圍壓作用下，累積塑性應(yīng)變變化規(guī)律，驗(yàn)證建立累積塑性變形預(yù)測模型的合理性與正確性。

1 土樣動三軸試驗(yàn)

1.1 試驗(yàn)設(shè)備和土樣

本文采用英國GDS公司生產(chǎn)的三軸加載設(shè)備，該系統(tǒng)包含了加載系統(tǒng)、電腦控制端和試驗(yàn)數(shù)據(jù)采集裝置，一般通過應(yīng)力加載方式進(jìn)行控制，由液壓裝置提供試驗(yàn)動力。為了試驗(yàn)的均一性，本文采用飽和重塑風(fēng)積土。利用GDS自帶三瓣飽和器對土樣進(jìn)行分層碾壓，制作成高度為80 mm、直徑為39.1 mm的圓柱體試件，通過真空抽氣法使土樣飽和：首先使抽氣設(shè)備內(nèi)氣壓大約為2 kPa左右，并在真空狀態(tài)下抽氣2 h左右，最后將水注入到設(shè)備中直至水位線高于試樣，便使得設(shè)備中的多余真空釋放，此時(shí)土樣的飽和度可以達(dá)到98%以上，測試所得其力學(xué)物理參數(shù)如表1所示。

表1 土樣物理參數(shù)

在進(jìn)行土體試件制作時(shí)，對土體顆粒級配做簡單分析，得出土體粒徑分布情況，如表2所示。

表2 土樣粒徑分布情況

1.2 試驗(yàn)方案

本文在考慮靜偏應(yīng)力對土樣動力特性的影響下，結(jié)合實(shí)際取土區(qū)段靜偏應(yīng)力的組成和車輛荷載長期循環(huán)作用，選取在土樣完全排水之后，對試件施加靜偏應(yīng)力，然后再施加不同條件的動應(yīng)力，具體試驗(yàn)方案見表3。

表3 動三軸試驗(yàn)方案

判斷試驗(yàn)結(jié)束的依據(jù)為：雙幅應(yīng)變達(dá)到5%或者循環(huán)周次達(dá)到3000次[19]，為了簡便本文將以循環(huán)周次達(dá)到3000次為結(jié)束標(biāo)準(zhǔn)，頻率設(shè)定為3 HZ。

1.3 試驗(yàn)結(jié)果分析

在研究各種條件下土樣的累積應(yīng)變與循環(huán)周次關(guān)系之前，以圍壓50 kPa為例對土樣的循環(huán)孔壓累積規(guī)律(見圖1，圖中σd為動應(yīng)力)進(jìn)行簡單描述。

圖1 累積孔壓與循環(huán)周次

由圖1可知，隨著動力幅值不斷增大，土樣的累積孔壓增長速率也增大，且在同一荷載相同循環(huán)次數(shù)下，孔壓隨著動力幅值增大而增大；動力幅值不同時(shí)，孔壓增長趨勢明顯不同，與土樣的動應(yīng)力應(yīng)變曲線一樣，可以分為穩(wěn)定型、臨界型和破壞型三種，但是本文所做試驗(yàn)并未出現(xiàn)明顯的破壞型曲線。

研究不同動力幅值對土樣動力特性影響，無靜偏應(yīng)力累積塑性應(yīng)變與循環(huán)周次關(guān)系如圖2。

由圖2可知，在不同圍壓作用下，累積塑性應(yīng)變都隨動力幅值的增大而增大；在不同應(yīng)力幅值作用下，累積塑性應(yīng)變都隨循環(huán)周次的增大而增大，在達(dá)到一定次數(shù)后，累積塑性應(yīng)變逐漸趨于穩(wěn)定；在同一動力幅值下，隨著圍壓增大，累積塑性應(yīng)變變化幅度也增長，說明了動力幅值的增大有效提升土樣的塑性變形，圍壓增大限制塑性變形積累，繪制累積塑性應(yīng)變與動力幅值關(guān)系曲線如圖3。

圖2 不同圍壓下累積塑性應(yīng)變與循環(huán)周次

圖3 累積塑性應(yīng)變與動力幅值

圖4 不同靜偏應(yīng)力累積塑性應(yīng)變

繪制不同靜偏應(yīng)力累積塑性應(yīng)變曲線如圖4。根據(jù)圖4分析不同靜偏應(yīng)力對土樣的動力特性影響，土樣在有無靜偏應(yīng)力作用下，累積塑性應(yīng)變與循環(huán)周次變化趨勢基本一致。在相同動力幅值作用下，累積塑性應(yīng)變隨著靜偏應(yīng)力增大而增大，其應(yīng)變增長速率也越大，同時(shí)曲線變形趨于穩(wěn)定時(shí)對應(yīng)的循環(huán)次數(shù)也越大，即曲線隨著靜偏應(yīng)力增大，偏離程度嚴(yán)重且逐漸加劇，說明了靜偏應(yīng)力使土樣內(nèi)部結(jié)構(gòu)破壞加劇，產(chǎn)生的塑性應(yīng)變積累更加嚴(yán)重，最終導(dǎo)致土體的動強(qiáng)度降低；同樣靜偏應(yīng)力越大使土樣受到的剪應(yīng)力越大，由剪應(yīng)力產(chǎn)生的應(yīng)變越大，導(dǎo)致土樣在循環(huán)荷載下應(yīng)變急劇發(fā)展。

2 飽和風(fēng)積土累積塑性變形模型建立

由于在長期循環(huán)車輛荷載作用下，導(dǎo)致土體地基產(chǎn)生不均勻沉降和大變形，最終使得路面基層以上結(jié)構(gòu)開裂破壞，嚴(yán)重影響道路的行車安全。因此，需要對在長期循環(huán)荷載作用下，土體的累積塑性應(yīng)變進(jìn)行計(jì)算，而國內(nèi)學(xué)者通常采用經(jīng)驗(yàn)擬合公式建立累積塑性變形模型。通過微觀手段對土體結(jié)構(gòu)進(jìn)行觀測，可知在施加荷載之前，土體內(nèi)部就具有大量微裂隙等缺陷，是一種具有初始損傷的材料，這些微裂隙也是產(chǎn)生局部塑性應(yīng)變的主要因素；同時(shí)土體在受到循環(huán)荷載作用時(shí)會產(chǎn)生疲勞損傷，這是由于塑性變形積累的緣故，故所有材料疲勞損傷都與其塑性變形有關(guān)[20,21]。

本文假設(shè)土體的損傷變化率與累積塑性應(yīng)變率成線性關(guān)系，與損傷能密度釋放率成指數(shù)增長關(guān)系，而損傷變化率一般按式(1)計(jì)算[22]。

(1)

(2)

(3)

根據(jù)熱力學(xué)定律和Lemaitre原理可知[23]，土體的損傷能密度釋放率為：

(4)

式中：D為損傷變量；σeq為Von Mises等效應(yīng)力，σeq=(3/2{Si}T{Si})1/2，{Si}為應(yīng)力偏量；σm為應(yīng)力偏張量；E為彈性模量；μ為泊松比；Rv為三軸因子。

(5)

式中：K為塑性阻力系數(shù)；m為硬化系數(shù)。

根據(jù)有效應(yīng)力原理可知：

(6)

聯(lián)立式(3)～(6)得累積塑性應(yīng)變與損傷變化率關(guān)系為：

(7)

式中：K2/(2ES0)和m為與材料特性有關(guān)的待測參數(shù)。

為了求解損傷演化方程對上式進(jìn)行積分，可知當(dāng)εp≤εpD時(shí)，損傷變量D=0；當(dāng)εp>εpD時(shí)，損傷變量D為：

(8)

式中：εpD為發(fā)生塑性損傷時(shí)累積塑性變形的閾值。

聯(lián)系式(3)～(6)得出有效Von Mises等效應(yīng)力與損傷變化率關(guān)系為

(9)

式中：B，β為疲勞參數(shù)，可以表示為：

(10)

β=2S0+m-1

(11)

(12)

(13)

(14)

因此，式(13)(14)就可以預(yù)測疲勞損傷的程度。將式(8)和式(13)聯(lián)系消除損傷變量D得出累積塑性變形與循環(huán)周次關(guān)系為：

(15)

綜上所述，式(15)為累積塑性應(yīng)變模型方程。目前都是基于經(jīng)驗(yàn)公式建立累積塑性模型，上述模型結(jié)合損傷推導(dǎo)出累積塑性應(yīng)變模型，可以更好地分析在循環(huán)荷載作用下土樣的動力特性，經(jīng)過回歸分析后的參數(shù)代入到損傷演化方程中，也可以一步分析土樣的損傷演化規(guī)律和疲勞損傷變化規(guī)律。

3 模型驗(yàn)證

3.1 有效應(yīng)力分析法

根據(jù) Ramberg-Osgood 硬化定律可知[25]，土樣在動三軸壓縮條件下有效動應(yīng)力σ′d和累積塑性應(yīng)變εp滿足以下關(guān)系：

(16)

圖5 有效應(yīng)力 - 應(yīng)變曲線

在圖5(圖中：Ep為損傷后的彈性模量；σp為應(yīng)力分量；dσd為應(yīng)力分量增量；dεp為應(yīng)變分量增量；dεd為塑性應(yīng)變分量增量；dεe為彈性應(yīng)變分量增量；εd為塑性應(yīng)變；dσp為塑性應(yīng)變對應(yīng)的應(yīng)力分量增量；εdB為塑性應(yīng)變上限值；Et為曲線上任一點(diǎn)動彈性模量)所示的有效應(yīng)力 - 應(yīng)變曲線上取一小段曲線，應(yīng)力分量為dσd，應(yīng)變分量為dεp，而應(yīng)變分量又可以拆分為塑性應(yīng)變分量dεd和彈性應(yīng)變分量dεe兩種。而在土樣加載過程中塑性應(yīng)變分量會隨著加載中應(yīng)變分量的增大而逐漸積累，故在曲線上任一點(diǎn)動彈性模量Et可以表示為：

(17)

根據(jù)損傷變量的定義與式(16)可得：

dσd=(1-D)Edεd

(18)

假設(shè)在所取動應(yīng)變分量變形階段內(nèi)不產(chǎn)生損傷，則應(yīng)變分量和應(yīng)力分量滿足以下關(guān)系：

dσd+dσp=Edεd

(19)

式中：dσp為塑性應(yīng)變對應(yīng)的應(yīng)力分量。

因此，損傷變量與應(yīng)力的關(guān)系可以表示為：

(20)

損傷應(yīng)力又可以表示為：

dσ′d=Edεd

(21)

對式(21)進(jìn)行積分得：

(22)

可以利用有效應(yīng)力分析法結(jié)合有效應(yīng)力 - 應(yīng)變曲線計(jì)算式(16)中有效應(yīng)力，進(jìn)而得到式(16)中參數(shù)擬合值。

因此，本文以靜偏應(yīng)力q=0，圍壓σ3=50 kPa為例，基于最小二乘法原理，將式(15)輸入到Origin中結(jié)合試驗(yàn)數(shù)據(jù)對累積塑性應(yīng)變與循環(huán)周次關(guān)系進(jìn)行回歸分析，得到不同條件下土樣擬合參數(shù)見表4，其中風(fēng)積土樣的泊松比取μ=0.25，由于對于參數(shù)S0研究成果較少，一般取S0=1[26]。

表4 力學(xué)參數(shù)與擬合參數(shù)(q=0，σ3=50 kPa)

3.2 試驗(yàn)曲線與模型曲線對比驗(yàn)證

根據(jù)表4中靜偏應(yīng)力q=0，圍壓σ3=50 kPa條件下的擬合參數(shù)結(jié)合式(15)與試驗(yàn)數(shù)據(jù)，繪制不同動力幅值條件下試驗(yàn)與模型曲線對比關(guān)系如圖6。擬合效果較好，相關(guān)性系數(shù)均在0.95以上，累積塑性應(yīng)變都是隨著循環(huán)次數(shù)增大逐漸趨于穩(wěn)定，且實(shí)際擬合值與試驗(yàn)值相差不大；同理，對其他條件下的累積塑性應(yīng)變與循環(huán)周次曲線進(jìn)行擬合，可得其他條件下累積塑性應(yīng)變與循環(huán)周次的試驗(yàn)數(shù)據(jù)與模型曲線對比圖(圖6)；對于不同靜偏應(yīng)力、不同圍壓情況下，模型也適用于累積塑性應(yīng)變變化規(guī)律。

圖6 試驗(yàn)數(shù)據(jù)與模型曲線對比

3.3 損傷變量演化規(guī)律

通過對不同條件下累積塑性應(yīng)變與循環(huán)周次試驗(yàn)數(shù)據(jù)與模型曲線對比，得出模型中的各個(gè)參數(shù)，將參數(shù)代入到損傷演化方程式(13)(14)中得到不同條件下?lián)p傷變量與循環(huán)周次比的疲勞損傷關(guān)系如圖7所示；其中隨著循環(huán)周次的增加，土樣呈現(xiàn)明顯的加速，且隨著動應(yīng)力的增加，土樣在循環(huán)荷載作用下?lián)p傷更加劇烈，而在相同動力幅值條件下，圍壓越大使土體在相同N/Nf時(shí)損傷變量值較小，這是由于圍巖越大，土體塑性應(yīng)變越小，在一定程度上約束土樣變形，使土體損傷速率增長速率越小。

圖7 疲勞損傷關(guān)系

根據(jù)模型中的各個(gè)參數(shù)，將參數(shù)代入到損傷演化方程式(8)中得到不同條件下累積塑性應(yīng)變與損傷變量關(guān)系如圖8所示(以靜偏應(yīng)力0，圍壓50 kPa為例)。

圖8 累積塑性應(yīng)變與損傷變量

3.4 累積孔壓與循環(huán)周次之間關(guān)系的驗(yàn)證

文獻(xiàn)[7]中采用式(16)對累積塑性應(yīng)變與循環(huán)周次之間的關(guān)系進(jìn)行描述，即

(23)

式中：a，b，c為與應(yīng)力條件和土的性質(zhì)有關(guān)的參數(shù)。

由于累積塑性應(yīng)變和累積孔壓與循環(huán)周次的變化規(guī)律大致相同。因此，本文對累積孔壓與循環(huán)周次之間的關(guān)系也采用式(23)的形式進(jìn)行描述，并將式(23)轉(zhuǎn)化為累積孔壓與循環(huán)周次的表達(dá)式，即

(24)

式中：Pd為累積孔壓。

利用數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)知識和最優(yōu)化理論，采用式(24)對Pd～N之間的關(guān)系進(jìn)行擬合，得到擬合參數(shù)取值見表5。

表5 累積孔壓與循環(huán)周次的擬合參數(shù)

將不同動應(yīng)力作用下累積孔壓與循環(huán)周次的擬合參數(shù)代入到式(17)中，繪制出累積孔壓與循環(huán)周次模型曲線與試驗(yàn)曲線對比如圖9所示。

圖9 累積孔壓與循環(huán)周次模型曲線與試驗(yàn)曲線對比

由圖9可知，根據(jù)文獻(xiàn)[7]改進(jìn)關(guān)于累積孔壓與循環(huán)周次的模型可以很好地反映累積孔壓與循環(huán)周次之間的關(guān)系。

4 結(jié) 論

本文進(jìn)行飽和風(fēng)積土的不排水動三軸試驗(yàn)的，研究在不同初始靜偏應(yīng)力、動應(yīng)力和圍壓作用下，累積塑性應(yīng)變變化規(guī)律，結(jié)合現(xiàn)有飽和土體累積塑性變形模型和疲勞損傷模型理論，建立一種新的循環(huán)荷載飽和風(fēng)積土累積塑性變形預(yù)測模型，得出以下結(jié)論：

(1)動力幅值的增大有效提升土樣的塑性變形，圍壓增大限制塑性變形積累，使得風(fēng)積土在不同圍壓作用下，累積塑性應(yīng)變都是隨著動力幅值的增大而增大，在同一動力幅值下，隨著圍壓增大累積塑性應(yīng)變變化幅度也增長。

(2)靜偏應(yīng)力使得土樣內(nèi)部結(jié)構(gòu)破壞加劇，產(chǎn)生的塑性應(yīng)變積累更加嚴(yán)重，最終導(dǎo)致土體的動強(qiáng)度降低；靜偏應(yīng)力越大使得土樣受到的剪應(yīng)力越大，由剪應(yīng)力產(chǎn)生的應(yīng)變越大，導(dǎo)致土樣在循環(huán)荷載下應(yīng)變急劇發(fā)展。

(3)結(jié)合現(xiàn)有飽和土體累積塑性變形模型和疲勞損傷模型理論，建立一種新的循環(huán)荷載飽和風(fēng)積土累積塑性變形預(yù)測模型，與試驗(yàn)數(shù)據(jù)擬合對比度較高，相關(guān)性系數(shù)均在0.95以上，驗(yàn)證了模型的合理可行性。

(4)通過疲勞損傷理論推導(dǎo)出累積塑性應(yīng)變與循環(huán)周次模型，可以更好地分析在循環(huán)荷載作用下土樣的動力特性，經(jīng)過回歸分析后的參數(shù)代入到損傷演化方程中，也可以進(jìn)一步分析土樣的損傷演化規(guī)律和疲勞損傷變化規(guī)律，且其變化規(guī)律與文獻(xiàn)[25]規(guī)律基本一致，也側(cè)面說明了采用該模型描述累積塑性應(yīng)變和循環(huán)周次是合理可行性。