高等數學的思維方式在統計學教學中的應用

曹襄雅 陳蘭花 李澤疆 楊鈺含

摘 ?要：統計學與高等數學是目前高校數學教學的兩項重要組成部分，高等數學中存在著多種思維方式，運用到統計學教學中都是十分適合的。本文通過分析高等數學中的幾種常用思維，進一步分析了統計學教學中高等數學思維的具體應用。

關鍵詞：統計學;思維方式;高等數學

引言：統計學是數學領域的重要分支，在實際學習的過程中，需注意思維的合理運用，基于此，本文就統計學中運用幾種高等數學思維的路徑進行了簡要分析，希望可以對實際教學有所幫助。

一、統計學學科教學現狀

統計學是一門具有繁雜性特點的學科，因而在教學方面具有著較高難度，尤其是目前面臨著部分學生數學基礎差、數學邏輯思維缺乏的情況，致使統計學教學開展更加不易，學生對統計學知識的理解難以透徹。統計學教師也認識到當下教學存在的問題，因此著重于培養學生的高等數學思維以及分析能力，將數學思維作為統計學教學的基礎思想，進而提升學生的解題能力，為此，還需要引導學生將高等數學思維方式合理運用到統計學知識學習中[1]。

二、統計學教學與高等數學之間的聯系

在許多高校當中，統計學與高等數學都是理科專業學生的必修內容，兩者都屬于數學體系，缺少了任意一門課程的學習都不能夠系統化學習高校數學，因此，統計學與高等數學之間具有著緊密關系，站在統計學教學的角度來說，也離不開對高等數學內容的運用。從本質上來分析，統計學與高等數學都包含著大量的數學知識，其知識的特點是具有邏輯性和抽象性，其中高等數學課程屬于高校的一門公共基礎課，許多理科課程都可能用到高等數學中的基礎數學知識，統計學課程也不例外。統計學與高等數學在教學的過程中，都需以問題為出發點，通過深入分析問題、全方位思考問題，最后落到解決問題上，同時，兩者都是對數據進行研究，且數據都具有變化的特點。例如，在統計學當中，可能性分析和隨機情況的研究都具有變化性，而高等數學中的函數研究與線性變量同樣具有可變性，在學習高等數學和統計學時，學生也都是基于已知條件和分析、觀察獲得的內容，再經過精細地推斷、計算以及驗證檢查，最終得出結果，這種結果可能是一種數學現象或規律，借助于該結果也可以解決相應問題。需要注意的是，高等數學在計算方面比統計學更為復雜化，且計算量也更大，而學生往往是在學習了高等數學的基礎上再學習統計學，這樣也會更為得心應手，高等數學中的許多思維也被有效運用到統計學教學當中[2]。

三、高等數學中的幾種常見思維方式

（一）數形結合思維方式

數形結合在數學領域中是一種常見思維方式，也是高等數學中的重要思想，簡單來說數形結合就是數字和圖形進行有機結合，數與形本身是可以在一定條件下相互轉換的，兩者都是高等數學中的重要研究對象，通過有機結合，可以將原本相對獨立的線性代數學習與幾何圖形學習關聯起來。從數形結合思想的實際運用來看，大多可分為兩種情況，其一是借助于代數的精確特點來進一步詳細闡述幾何圖形的一些屬性，其二可以運用幾何圖形的直觀特點來詳細闡明代數之間的內在聯系，即將數形結合思想分為兩種，分別為“以形助數”和“以數解形”，例如，在以數解形應用當中，若是某類幾何圖形過于簡單，無法通過觀看圖形詳細描述屬性，也難以觀察出什么數學規律，而這時就可以利用代數為幾何圖形賦值，比如增加圖形某個角度數值，或是增加邊長數值。代數與幾何反映著事物的兩方面特點，但也具有一一對應關系，在數形結合的思維下，直觀的幾何圖形與抽象的數字語言結合反映出來，這也是一種形象思維和抽象思維的融合，可以進一步簡化原本復雜的概念，從而達到解決數學問題的目的。數形結合思維中水平較高的方式還有數學家笛卡爾提出的坐標系概念，坐標系中可以構建相應幾何圖形，也具有著對應數字，兩者結合緊密，更加開拓學生思維，降低學習難度，像是高等數學中的二重積分問題解決，若是運用數形結合思維，就可簡單將曲邊梯形面積進行數字轉化。

（二）因果關系思維方式

在高等數學當中，因果關系思維也是十分常見的，“因”與“果”之間的關系緊密，正所謂“有因必有果、有果必有因”，通俗來說，就是只有詳細了解的事物原因，才能夠依據化推導出事物結果，而若是事物具有某種結果，那么也一定存在某種原因。例如，在高等數學當中，因果思維存在于函數的各項條件，包括必要條件、充分條件以及充分不必要條件等等，而已知條件事實上就是某種“因”，分析這些條件之間的聯系就可以推導出一些概念性結論。除此之外，在因果關系思維不斷深入研究后，還衍生研究出一種新的思維，即反證思維，也就是上述提到的“有果必有因”，通過實際存在的結果反向推導出內因，在反證的過程中，要先假設結果是成立的，進而推導原因，若是無法推導出來，那么結果就是錯誤的[3]。

（三）類比思維方式

在數學領域當中，存在著各種各樣的要素，而這些要素之間卻始終存在著某種聯系，這種聯系可能是千絲萬縷中存在，但正因如此，要素之間也會存在相似性，類比思維就是在要素相似性特點基礎上產生的，即對各項數學要素進行類比。在類比思維當中，進行類比的對象可以是內部屬性相似的兩個或是多個要素，通過一些相似點的類比，可以推導出其他內容相似的規律，比如說學習高等數學中的多元函數積分學與微分學時，就可通過函數之間的相似性來類比分析多元函數與之前學習過的一元函數微積分理論、概念等等，從而總結出不同函數之間的規律。再如將定積分概念、方法與不定積分進行類比分析，兩者都是積分學，其基礎上有著共同點，通過深入分析類比之后也能夠得出異同點，從而運用于相應的數學難題當中。此外，在解析平面和空間幾何的過程中，也可利用類比思維方式，像是通過平面圖形圓的方程式（x-a）2+（y-b）2=R2類比后，可以得到空間球面的相應方程式（x-a）2+（y-b）2+（z-c）2=R2。類比思維方式的實踐運用，優點就在于可以將新內容與已經學習的知識內容進行類比，使新的知識更容易理解和接收，也能夠提升創造力。

（四）條件轉化思維

條件轉化是高等數學中的一種化簡為繁思維，針對于復雜的條件和問題進行簡化處理，這樣可以有效解決一些難題。在數學解題的過程中，有時往往已知條件中沒有解題所需要的，那么就需要將已知條件轉化為可以利用的條件，進而實現解題的目的。例如，在進行極限運算求解過程中，一般會結合積分法或是換元法倆解決問題，而為了盡可能降低解題難度，就會運用到條件轉化思維，將其中復雜的數學內容轉化為更容易理解的內容，或是將不熟悉的內容分解為熟悉的數學內容，變不利條件為有利條件，這也是高等數學條件轉化思維的內涵。

（五）極限思維方式

高等數學中的極限思維方式一般是用于求函數極限方面，其是利用極限概念解決問題的重要思想，極限思維也被運用在微分幾何、積分方程以及微分方程等數學領域。例如，函數問題中極限思維方式的運用，通常是先預設出與要求數量相關聯的變量數值，然后在導函數當中重復代入進數量值開展驗算，最后會獲得較為極限的數學結果，這一結果與真實情況十分貼近，運用極限思維的計算還可以研究函數的連續性問題，具有著較高的數學價值。極限思維方式一致貫徹于整個數學體系當中，其可以有效簡化處理難題，對于教學工作有著重要意義。

四、統計學教學過程中高等數學思維方式的有效應用

結合所分析的統計學教學與高等數學之間的聯系，可以將高等數學思維方式運用與統計學的教學過程中，通過教學提升學生的思維水平，也可以簡化學生解決統計學問題的難度，具有著一定的現實意義，具體的應用形式包含以下幾種。

（一）因果關系思維在推斷統計中的應用

統計學是一門復雜的學科，涉及到許多專業內容，而其中有一種十分常用的統計方法叫作推斷統計。推斷統計的原理為收集需要的樣本數據信息，再經過深入分析和研究，最后推斷出某種結果或是特性。由這種原理可以看出，推斷統計與高等數學思維方式中的因果關系思維有著通性，都是對已知數據或是條件進行分析與判斷，進而推導出某種結果。例如，統計學利用因果關系思維實現因果推斷統計，具體可運用于潛在結果模型、觀察性研究與可忽略性研究、未觀測的混雜因素等幾個方面。此外，在統計學當中，與數學一樣存在變量這一要素概念，因而也可以將統計學變量定義與高等數學變量定義進行類比，分析兩項學科的相同點和異同點，這也有利于開展統計學教學，提升學生對統計學概念的理解水平。

（二）統計學中的轉化思想應用

在統計學當中，轉化思想是十分常見的，其意義在于將復雜問題轉換為簡單問題，這也與高等數學中的條件轉化思維方式一脈相承，其是站在方法論角度，將條件轉化思維延伸利用。例如，貫穿于統計學的轉化思想之一為一般與特殊之間的轉化，進而利用抽樣的信息推導出總體的數量特征，比方說分析線性回歸問題時，通過已知樣本資料來進一步構建回歸模型，從而呈現出兩項變量之間相互依存的關系，最后進行估算與預測即可，這屬于轉化思維中特殊到一般的轉化。還有一種是映射轉換，是一種將問題化繁為簡的方法，需構建適當的映射，是一種重要的轉化方法，在目前的統計學當中具有著較高應用價值。例如，映射轉換可以將一般正態分布轉換為標準正態分布，還可以在估計區間以及檢驗假設問題中運用，對于非線性回歸模型，在映射轉換方法下也可以轉換為線性回歸模型，除此之外，映射轉換思維方法也運用于構造各種統計量。

（三）數形結合思維在統計學中的運用

根據數形結合思維方法原理可知，其能夠讓代數借助于幾何圖形來直觀呈現，對于統計學教學而言，這種方式的運用可以更加方便學生對統計的結果進行理解，從而解決統計問題。例如，在統計學教學當中，概率學內容是較為重要的學習部分，其中概率學中具有排列組合的概念，排列組合簡單來說是將數據按照一定規律來排列或組合，生成一組新的數據，且排列和組合的不同也能獲得不同結果，在以往的統計學教學當中，有關排列組合內容，教師也只是簡單陳述幾種排列情況以及對應的生成結果，而若是實際排列情況比較復雜，且生成的排列組合結果較多時，教師在講解中就會比較困難，像是出現表述不清晰情況，學生的理解效果也不佳，為此，統計學教師就可以運用數形結合思維方式，將排列組合問題中的所有情況與結果利用樹狀圖來呈現出來，樹狀圖既可以直觀地呈現出結果，也可以呈現出排列方式與結果之間的聯系，使得整體問題生動化且一目了然，方便學生理解并學習排列組合概念，避免出現邏輯混亂或記憶重復的情況。再比如，統計學問題中也有求數據平均數與眾數的相關問題，同時在這些數據的基礎上，還會做出相應統計，而在以往的統計學當中，若是數據量較為龐大時就會較為困難，降低實際統計計算的效率，若是采用傳統教學方式，讓學生就數據一個個計算，那么很容易產生厭煩心理，基于此，可以采用數形結合方法，將所有數據繪制成柱形圖或是曲線圖，進而解算出這些數據的平均數和眾數，以繪制數據柱形圖方法為例，柱形圖可以清晰呈現出一組數據中的最高數，這就是該組數據的眾數，省去了計算分析環節。通過數形結合思維方式的有效運用，學生在統計學學習中進一步簡化了計算過程，提升了學習成效，這也體現出高等數學中數形結合思維的重要教學價值[4]。

結論：綜上所述，在統計學教學中運用高等數學的各項思維方式，不僅可以降低教學難度，也有助于學生邏輯思維能力、分析能力以及解決問題能力的培養，促使其全面發展。由本文分析可知，高等數學思維在統計學教學中的應用形式主要包括數形結合思維運用、類別思維運用、條件轉化思維應用以及因果思維應用等。

參考文獻：

[1]曹鉆.試論統計學在高等數學教學中的應用[J].知識文庫，2020（02）：87-88.

[2]陸春，黃水群.類比教學法在《醫學統計學》教學過程中的研究與實踐[J].教育教學論壇，2019（26）：169-170.

[3]郭倩茹，趙秋蘭.高等數學的思維方式在統計學教學中的應用[J].陜西廣播電視大學學報，2019，18（04）：44-46.

[4]愛萍.試論統計學在高等數學教學過程中的應用[J].經貿實踐，2019（06）：154-155.