非赫茲型滾滑接觸荷載作用下鋼軌體內(nèi)應(yīng)力狀態(tài)模擬分析

王攀杰 周佳儀 孫耀亮 李糧余 安博洋 王平

（1.西南交通大學(xué)高速鐵路線路工程教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，成都 610031；2.西南交通大學(xué)土木工程學(xué)院，成都 610031；3.中鐵二院工程集團(tuán)有限責(zé)任公司，成都 610031）

鐵路運(yùn)營(yíng)過(guò)程中，輪軌滾動(dòng)接觸疲勞損傷現(xiàn)象十分普遍，可以分為三類［1]：由表面?zhèn)麚p直接形成；在鋼軌次表層形成；由于踏面以下深處存在材料缺陷而形成。其中由鋼軌次表層形成的滾動(dòng)接觸疲勞是由于輪軌匹配時(shí)過(guò)高的應(yīng)力水平和蠕滑程度聯(lián)合局部較低的抗疲勞性能，在鋼軌次表層產(chǎn)生應(yīng)力集中，形成高周滾動(dòng)接觸疲勞［2]。

以往鋼軌體內(nèi)應(yīng)力狀態(tài)模擬研究中大多采用赫茲接觸理論對(duì)輪軌荷載進(jìn)行簡(jiǎn)化處理，并假定輪軌處于全滑動(dòng)狀態(tài)，著名的安定理論正是基于該假設(shè)提出的［3]。文獻(xiàn)［4]考慮輪軌接觸全滑動(dòng)狀態(tài)建立了赫茲?rùn)E圓接觸模型，發(fā)現(xiàn)當(dāng)摩擦因數(shù)小于0.33 時(shí)最大von Mises 應(yīng)力的位置不會(huì)出現(xiàn)在鋼軌表層。文獻(xiàn)［5]進(jìn)行了赫茲載荷輪軌接觸全滑動(dòng)狀態(tài)作用下von Mises半無(wú)限空間的安定性研究，發(fā)現(xiàn)當(dāng)摩擦因數(shù)較小時(shí)最大von Mises 應(yīng)力發(fā)生在鋼軌表面以下，隨著摩擦因數(shù)逐漸增大到0.3，其位置逐漸上移到表面。文獻(xiàn)［6]基于赫茲?rùn)E圓接觸模型分析了三種蠕滑狀態(tài)下鋼軌體內(nèi)的殘余應(yīng)力和變形。文獻(xiàn)［7]采用赫茲?rùn)E圓接觸荷載在不同蠕滑狀態(tài)下進(jìn)行了摩擦因數(shù)的參數(shù)化分析。文獻(xiàn)［8]基于半空間求解方法，對(duì)Love［9]的方法進(jìn)行了改進(jìn)，求解赫茲?rùn)E圓接觸荷載下的次表層應(yīng)力。

實(shí)際的輪軌滾動(dòng)接觸往往處于非赫茲型接觸荷載+部分滑動(dòng)狀態(tài)。文獻(xiàn)［10]對(duì)比了S1002，S1002CN踏面與UIC60 軌面匹配時(shí)的接觸斑，發(fā)現(xiàn)非赫茲接觸斑與赫茲接觸斑具有較大的差異。因此，采用赫茲型接觸荷載+全滑動(dòng)狀態(tài)進(jìn)行疲勞預(yù)測(cè)會(huì)引起一定的計(jì)算誤差，且其影響尚不明確。因此，有必要采用更接近真實(shí)輪軌接觸狀態(tài)的模型模擬鋼軌體內(nèi)表層的應(yīng)力狀態(tài)，并探究接觸載荷狀態(tài)對(duì)疲勞預(yù)測(cè)的影響。

本文基于半空間求解方法，考慮摩擦因數(shù)和蠕滑狀態(tài)兩個(gè)影響因素，綜合研究赫茲型和非赫茲型兩種接觸荷載作用下輪軌滾動(dòng)接觸模型中鋼軌體內(nèi)應(yīng)力分布特性，并對(duì)比赫茲型接觸荷載+全滑動(dòng)狀態(tài)（簡(jiǎn)稱赫茲型全滑狀態(tài)）和非赫茲型接觸荷載+部分滑動(dòng)狀態(tài)（簡(jiǎn)稱非赫茲型部分滑狀態(tài)）這兩種輪軌滾動(dòng)接觸狀態(tài)的鋼軌體內(nèi)應(yīng)力和塑性變形累積情況。

1 計(jì)算方法

模擬鋼軌體內(nèi)應(yīng)力狀態(tài)時(shí)，先求解鋼軌表層接觸應(yīng)力作為鋼軌體內(nèi)應(yīng)力計(jì)算的輸入量，然后基于半空間求解的計(jì)算原理完成鋼軌體內(nèi)應(yīng)力的計(jì)算。

1.1 求解表層接觸應(yīng)力

首先計(jì)算目標(biāo)工況的接觸幾何參數(shù)，參照跡線法原理［11]，自編程序求得輪軌匹配的接觸點(diǎn)、輪軌接觸幾何參數(shù)等；再借助基于Kalker 的三維非赫茲滾動(dòng)接觸理論中的CONTACT 程序求解鋼軌接觸區(qū)域的表層接觸應(yīng)力，作為求解鋼軌體內(nèi)應(yīng)力的輸入量。

1.2 求解鋼軌體內(nèi)應(yīng)力

參照Love 的半空間假設(shè)計(jì)算模型［9]，建立壓力作用在半空間表面的固體模型（圖1），再通過(guò)彈性力學(xué)中的經(jīng)典勢(shì)函數(shù)理論解對(duì)物體內(nèi)任一點(diǎn)的位移解與應(yīng)力解進(jìn)行表達(dá)。圖1中，Oxyz為規(guī)定空間坐標(biāo)系；x，y，z分別為縱向（沿軌道方向）、橫向（沿輪軸方向）、垂向（向下為正）；Px，Py，Pz分別為三個(gè)方向的表面荷載。

圖1 表面載荷作用于半空間表面模型

鋼軌內(nèi)任一點(diǎn)E（x，y，z）到激勵(lì)點(diǎn)E′（x′，y′，0）的距離r為

為了表示鋼軌體內(nèi)任一點(diǎn)位移場(chǎng)和應(yīng)力場(chǎng)的一般解析解，定義勢(shì)函數(shù)Q(i)j(i= 0，1，2；j=x，y，z)和輔助勢(shì)函數(shù)ψ(k)(k= 0，1)，其具體表達(dá)式參見(jiàn)文獻(xiàn)［8]。

E（x，y，z）的彈性位移場(chǎng)δx，δy，δz可以表示為

式中：ν為泊松比。

應(yīng)力場(chǎng)的解σmn(m=x，y，z；n=x，y，z)可以由位移場(chǎng)通過(guò)胡克定理求得，其結(jié)果可以表示為

根據(jù)式（5）—式（10）的計(jì)算結(jié)果，求解鋼軌體內(nèi)任一點(diǎn)的von Mises等效應(yīng)力σvm，即

式中：I為應(yīng)力張量第一不變量，I=σxx+σyy+σzz。

2 表層接觸應(yīng)力分析

選用我國(guó)高速鐵路典型的S1002CN 車輪踏面［10]和CHN60 鋼軌型面［12]，設(shè)置1/40 的軌底坡；輪對(duì)軸重14 t；輪軌材料的彈性模量為209.92 GPa，剪切模量為82 GPa，泊松比ν= 0.28。

2.1 不同輪對(duì)橫移量下法向接觸應(yīng)力的求解

針對(duì)高速鐵路運(yùn)營(yíng)時(shí)常見(jiàn)的輪軌滾動(dòng)接觸狀態(tài)，選擇輪對(duì)橫移量w=-3 ～6 mm進(jìn)行接觸計(jì)算，其中w的正負(fù)分別表示向輪對(duì)外側(cè)、內(nèi)側(cè)橫移。利用CONTACT程序求解得到輪對(duì)橫移量不同時(shí)非赫茲型和赫茲型兩種接觸荷載作用下的接觸斑形狀和法向應(yīng)力，結(jié)果見(jiàn)圖2和表1。圖2中自左向右依次對(duì)應(yīng)w=-3，-2，-1，0，1，2，3，4，5，6 mm，圖2（a）中黑線表示相同參數(shù)下赫茲型接觸斑形狀。

圖2 不同輪對(duì)橫移量時(shí)的接觸斑形狀和法向應(yīng)力分布

表1 輪對(duì)橫移量對(duì)最大法向應(yīng)力的影響

從圖2 和表1 可知：①w= -3，-2，1，2，3，4，5 mm時(shí)，兩種接觸荷載作用下接觸斑外形比較接近，最大法向應(yīng)力差異不大。②w=-1，0，6 mm時(shí)，兩種接觸荷載作用下接觸斑縱向尺寸相近，但非赫茲型的接觸斑橫向尺寸大于赫茲型，故接觸面積大于赫茲型，而最大法向應(yīng)力小于赫茲型。在w =6 mm 這種惡劣接觸工況下，非赫茲型的最大法向應(yīng)力比赫茲型小25%。

由于接觸荷載的不同直接影響接觸斑的幾何形狀，在鋼軌體內(nèi)應(yīng)力狀態(tài)模擬分析時(shí)，選擇兩種接觸荷載作用下接觸斑縱向尺寸相近的w=0 和橫向尺寸相近的w=-2 mm這兩種輪對(duì)橫移量工況。

2.2 縱向蠕滑狀態(tài)對(duì)輪軌接觸的影響

輪對(duì)沿鋼軌滾動(dòng)發(fā)生橫移或偏轉(zhuǎn)時(shí)，輪軌之間在垂直于接觸平面的橫向、縱向和垂向產(chǎn)生相對(duì)位移，這種相對(duì)位移被稱為蠕滑［13]。蠕滑達(dá)到一定程度時(shí)，輪軌間接觸為全滑動(dòng)狀態(tài)，即達(dá)到蠕滑飽和［14]。本文只研究縱向蠕滑率ξx對(duì)輪軌接觸的影響，將橫向蠕滑率ξy和自旋蠕滑率ξn都設(shè)為0。通過(guò)ξx來(lái)改變縱向蠕滑力，控制輪軌接觸的蠕滑程度。定義同一坐標(biāo)下縱向牽引系數(shù)與摩擦因數(shù)的比值為飽和度。飽和度μ取值為0 ～1，μ= 1時(shí)即蠕滑飽和狀態(tài)。μ的表達(dá)式為

式中：Fx為縱向力；f為摩擦因數(shù)；FN為法向力。

取μ=0.2，0.4，0.6，0.8四種蠕滑狀態(tài)進(jìn)行分析。w= 0，-2 mm 時(shí)，赫茲型和非赫茲型兩種接觸荷載作用下接觸斑的黏滑分布見(jiàn)圖3。圖中：自左向右依次為μ= 0.2，0.4，0.6，0.8；紅線包裹的是黏著區(qū)，其余部分是滑動(dòng)區(qū)。不同飽和度下最大縱向應(yīng)力見(jiàn)表2。

圖3 蠕滑狀態(tài)對(duì)接觸斑黏滑分布的影響

表2 飽和度對(duì)最大縱向應(yīng)力的影響

由圖3 和表2 可知：兩種輪對(duì)橫移量工況下，隨著飽和度增大，接觸斑滑動(dòng)區(qū)的占比和接觸區(qū)域中的縱向應(yīng)力逐漸增大；赫茲型和非赫茲型兩種接觸荷載作用下的接觸斑黏滑分布具有相似的變化規(guī)律。

綜上，接觸斑內(nèi)黏滑分布和縱向應(yīng)力整體分布情況主要由飽和度控制，而接觸斑的形狀不同主要影響著接觸斑內(nèi)的應(yīng)力水平。

3 鋼軌體內(nèi)應(yīng)力狀態(tài)模擬分析

3.1 典型工況下的等效應(yīng)力分布

以輪軌匹配時(shí)典型工況w=0為例，探討鋼軌體內(nèi)等效應(yīng)力分布。μ=0.8，f=0.3，0.5時(shí)，赫茲型接觸荷載作用下鋼軌體內(nèi)von Mises等效應(yīng)力σvm分布見(jiàn)圖4。

圖4 典型工況下鋼軌體內(nèi)等效應(yīng)力分布（單位：MPa）

由圖4可知：f=0.3時(shí)，隨著深度的增加，σvm先逐漸增大后急劇減小，最大von Mises 等效應(yīng)力σvm，max發(fā)生在次表層；f =0.5 時(shí)，σvm隨深度增加而線性減小，σvm，max發(fā)生在次表層；f=0.5時(shí)的σvm，max比f(wàn)=0.3時(shí)增加了30%。

3.2 鋼軌體內(nèi)應(yīng)力狀態(tài)參數(shù)化分析

從典型工況的研究結(jié)果來(lái)看，飽和度與摩擦因數(shù)的大小都是影響鋼軌體內(nèi)等效應(yīng)力分布的重要因素，須對(duì)鋼軌體內(nèi)等效應(yīng)力分布做詳細(xì)的參數(shù)化分析，模擬不同蠕滑狀態(tài)和接觸荷載下的鋼軌軌體內(nèi)應(yīng)力狀態(tài)，探討最大von Mises等效應(yīng)力的分布規(guī)律。

3.2.1 蠕滑狀態(tài)對(duì)鋼軌體內(nèi)應(yīng)力的影響

w=0和w=-2 mm這兩種輪對(duì)橫移量工況下鋼軌體內(nèi)應(yīng)力的變化規(guī)律一致，本文只分析w =0 工況。摩擦因數(shù)取f=0.1 ～0.6，在赫茲型接觸荷載作用下，計(jì)算得到鋼軌體內(nèi)最大von Mises等效應(yīng)力σvm，max及其出現(xiàn)的垂向位置隨飽和度的變化曲線，結(jié)果見(jiàn)圖5。

圖5 蠕滑狀態(tài)對(duì)鋼軌體內(nèi)應(yīng)力的影響

由圖5 可知，隨著飽和度的增大：①對(duì)于f=0.1 ～0.6，σvm，max逐漸增大且位置逐漸接近表層。②f≤0.3時(shí)σvm，max緩慢增大，與沒(méi)有蠕滑的狀態(tài)相比，蠕滑飽和狀態(tài)的σvm，max增幅在5%以內(nèi)；f ＞0.3 時(shí)σvm，max增幅明顯加大，f =0.4，0.5，0.6 時(shí)增幅分別為22%，46%，71%。因此，摩擦因數(shù)越大，蠕滑飽和時(shí)最大von Mises等效應(yīng)力越大。③f≤0.3時(shí)，σvm，max的垂向位置從次表層緩慢向表層移動(dòng)，至蠕滑飽和時(shí)穩(wěn)定于鋼軌下1.6 ～2.0 mm 處；f ＞0.3 時(shí)，當(dāng)飽和度增大到一定程度，σvm，max的垂向位置突升至表層，且摩擦因數(shù)越大，躍升至表層所需的飽和度越小。因此，摩擦因數(shù)越大，最大von Mises等效應(yīng)力越容易發(fā)生在表層。

3.2.2 接觸荷載類型對(duì)鋼軌體內(nèi)應(yīng)力的影響

取w=-3 ～6 mm，輪軌接觸狀態(tài)考慮為全滑動(dòng)狀態(tài)即μ=1，計(jì)算得到赫茲型和非赫茲這兩種接觸荷載作用下鋼軌體內(nèi)最大von Mises等效應(yīng)力σvm，max及其出現(xiàn)的垂向位置隨飽和度的變化曲線，見(jiàn)圖6。

圖6 接觸荷載類型對(duì)鋼軌體內(nèi)應(yīng)力的影響

由圖6 可知：①對(duì)于不同的摩擦因數(shù)和輪對(duì)橫移量，赫茲型接觸荷載作用下的最大von Mises 等效應(yīng)力都略大于非赫茲型，其中w =-1，0，6 mm 時(shí)差異較大，這與圖2 中兩種接觸荷載類型的法向應(yīng)力差異較大相對(duì)應(yīng)。說(shuō)明同一參數(shù)的接觸狀態(tài)下，接觸荷載類型對(duì)鋼軌體內(nèi)應(yīng)力水平起著主要影響。②在輪軌接觸為全滑動(dòng)情況下，f=0.3 時(shí)所有工況的σvm，max都發(fā)生在次表層，而f=0.5 時(shí)所有工況的σvm，max都發(fā)生在表層。這表明進(jìn)行輪軌滾動(dòng)接觸計(jì)算時(shí)，接觸荷載類型對(duì)鋼軌內(nèi)最大von Mises 等效應(yīng)力的垂向位置沒(méi)有影響。

3.3 接觸假設(shè)的適用性

3.3.1 輪軌滾動(dòng)接觸狀態(tài)對(duì)鋼軌體內(nèi)應(yīng)力的影響

不考慮搖頭角時(shí)橫向蠕滑率ξy=0。根據(jù)文獻(xiàn)［15]算得不同橫移量下不考慮搖頭角的縱向和自旋蠕滑率ξx，ξn（表3），進(jìn)而算得赫茲型全滑狀態(tài)和非赫茲型部分滑狀態(tài)兩種輪軌滾動(dòng)接觸狀態(tài)下鋼軌體內(nèi)最大von Mises 等效應(yīng)力σvm，max及其出現(xiàn)的垂向位置隨輪對(duì)橫移量的變化曲線，結(jié)果見(jiàn)圖7。

表3 不同輪對(duì)橫移量下的縱向和自旋蠕滑率

圖7 輪軌滾動(dòng)接觸狀態(tài)對(duì)鋼軌體內(nèi)應(yīng)力的影響

由圖7 可知：①對(duì)于不同的摩擦因數(shù)和輪對(duì)橫移量，赫茲型全滑狀態(tài)的最大von Mises 等效應(yīng)力都大于非赫茲型部分滑狀態(tài)。其中w=-1 mm 時(shí)二者相差最大，在f=0.3，0.5條件下，赫茲型全滑狀態(tài)的σvm，max分別是非赫茲型部分滑狀態(tài)的1.7，2.3倍。輪軌滾動(dòng)接觸狀態(tài)對(duì)鋼軌體內(nèi)應(yīng)力影響較大。②f=0.3條件下，兩種輪軌滾動(dòng)接觸狀態(tài)下σvm，max都發(fā)生在次表層，其中赫茲型全滑狀態(tài)下更接近表面；f=0.5 條件下，赫茲型全滑狀態(tài)的σvm，max均發(fā)生在表層，非赫茲型部分滑狀態(tài)的σvm，max在w=-3 ～2 mm 時(shí)發(fā)生在次表層，w=3 ～6 mm時(shí)發(fā)生在表層。赫茲型全滑動(dòng)狀態(tài)時(shí)鋼軌體內(nèi)最大von Mises等效應(yīng)力更易發(fā)生在表層。

3.3.2 輪軌滾動(dòng)接觸狀態(tài)對(duì)鋼軌體內(nèi)塑性變形的影響

鋼軌體內(nèi)等效應(yīng)力大于材料屈服應(yīng)力時(shí)，鋼軌體內(nèi)會(huì)產(chǎn)生塑性應(yīng)變。根據(jù)文獻(xiàn)［16]計(jì)算經(jīng)過(guò)N次荷載沖擊累積后兩種輪軌滾動(dòng)接觸狀態(tài)下鋼軌體內(nèi)的塑性變形。計(jì)算時(shí)取鋼軌材料屈服應(yīng)力為450 MPa，w=0，N=10，20，計(jì)算得到沿深度方向的塑性變形曲線，見(jiàn)圖8。塑性變形取該深度的最大塑性變形。

圖8 輪軌滾動(dòng)接觸狀態(tài)對(duì)鋼軌體內(nèi)塑性變形的影響

由圖8可知：對(duì)于不同的摩擦因數(shù)，隨著加載次數(shù)的增加，兩種輪軌滾動(dòng)接觸狀態(tài)下鋼軌沿深度的塑性變形均顯著增加；f=0.3 條件下，兩種輪軌滾動(dòng)接觸狀態(tài)下的最大塑性變形都發(fā)生在次表層；f=0.5條件下，非赫茲型部分滑狀態(tài)的最大塑性變形都發(fā)生在次表層，而赫茲型全滑狀態(tài)的發(fā)生在表層，與最大von Mises等效應(yīng)力位置分布規(guī)律相同。

綜上，以赫茲型接觸荷載+全滑動(dòng)狀態(tài)為前提的簡(jiǎn)化輪軌接觸疲勞預(yù)測(cè)模型（如安定圖）在進(jìn)行輪軌接觸疲勞分析時(shí)，得到的疲勞預(yù)測(cè)結(jié)果偏于保守。

4 結(jié)論

1）接觸荷載類型、飽和度、摩擦因數(shù)都是影響鋼軌體內(nèi)等效應(yīng)力分布的重要因素。

2）接觸荷載類型直接影響接觸斑的幾何形狀。接觸斑內(nèi)黏滑分布和縱向應(yīng)力整體分布主要由飽和度控制，接觸斑形狀主要影響接觸斑內(nèi)的應(yīng)力水平。

3）摩擦因數(shù)越大，蠕滑飽和時(shí)最大von Mises 等效應(yīng)力越大，且越容易發(fā)生在表層。

4）接觸荷載的類型主要影響鋼軌體內(nèi)的應(yīng)力水平，對(duì)最大von Mises 等效應(yīng)力發(fā)生的位置處于表層還是次表層沒(méi)有影響。

5）赫茲型接觸荷載+全滑動(dòng)狀態(tài)的最大von Mises等效應(yīng)力都大于非赫茲型接觸荷載+部分滑動(dòng)狀態(tài)，且更易發(fā)生在表層。相同加載次數(shù)下赫茲型接觸荷載+全滑動(dòng)狀態(tài)下鋼軌會(huì)產(chǎn)生更大的塑性變形。因此，以赫茲型接觸荷載+全滑動(dòng)狀態(tài)為前提的簡(jiǎn)化輪軌接觸疲勞預(yù)測(cè)模型（如安定圖）在進(jìn)行輪軌接觸疲勞分析時(shí)，得到的疲勞預(yù)測(cè)結(jié)果偏于保守。