三桿星型張拉整體可展結構的運動分析

劉賀平， 朱振東， 羅阿妮

(哈爾濱工程大學 機電工程學院，黑龍江 哈爾濱 150001)

張拉整體結構是一種由索和桿組成的空間結構，其索構件相互連接形成索網，桿構件由內部支撐形成預期的空間形狀。其以拉力構件為主的設計思路，一改傳統的設計思想，構建出的結構具有許多傳統結構不具備的特性。在航天領域，研究人員主要研究把張拉整體結構轉化為桁架式空間可展結構[1-2]。

桁架式空間可展結構是一種可由折疊狀態自動展開，形成預期桁架結構的機構。近年來，許多機構和研究人員都對桁架式空間可展結構進行了研究探索。美國已研制出多種桁架式空間可展結構，例如AstroMesh類網狀天線，這些結構都已經應用于實際。梁笑天[3]針對一種桁架類空間可展結構，推導了用于該結構控制中的結構響應靈敏度線性控制理論計算公式。郭王策[4]針對桁架變形引起網面張力均勻性和形面精度惡化的問題，提出一種考慮桁架變形的天線形態設計優化方法，改善網面張力均勻性及形面精度。日本宇宙航空研究開發機構[5]研制了一種用于通信服務的構架式天線，該天線反射面為口徑19 m×17 m的橢圓形 收攏后直徑為4 m，天線形面精度、收納率和剛度都較高。

隨著天線口徑增大，環形桁架天線在展開過程中會呈現柔性構件的大范圍運動和大變形相互耦合，這極易引起整個系統的振動。構件運動副中的間隙和摩擦等因素也會造成展開過程的不同步現象以及運動副的意外卡死或滑動。

星型張拉整體結構實現結構折展所需的驅動構件少，具有構件運動耦合度高和不存在傳統運動副的特點，本文將研究將其轉化為空間可展結構的方法，并利用運動分析和仿真研究對所提出的展開方案的正確性進行驗證。基于剛度矩陣，分析外載荷對此結構折展運動的影響。

1 星型張拉整體結構

三桿星型張拉整體結構如圖1所示，它包括1根中心桿、6條徑向索、3條斜索以及3根周向分布的桿構件。此結構具有較好的結構對稱性，同類構件的長度和受力都相同。圖1中，H是結構高度，h是中心桿端點到對應端面距離，上下端面圓周半徑為ru和rd。同一個桿兩端點在同一底面的投影與底面形心連線所夾的角，這里稱為扭轉角φ，它也是2個端面的相位角。

徑向索總會有一個端點連于中心構件的端部。當中心構件的長度變化時，可通過徑向索帶動其他構件運動，從而實現整體結構外廓尺寸的變化。為了適應整體結構改變對構件長度變化的要求，這里用彈簧代替3根斜索。這樣，此三桿星型張拉整體結構就轉化為可展結構，其可以通過中心桿的伸縮實現整體結構的折展。

圖1 星型張拉整體結構Fig.1 Star-shaped tensegrity structure

2 三桿星型張拉整體結構的數學建模

2.1 節點坐標

如圖1所示，下端面節點坐標求取公式為：

扭轉角可表示為[1]：

式中j取值1或2。

上端面節點坐標可寫為：

中心桿的端點n7坐標可寫為:

另一個端點n8坐標可表示為:

把以上節點坐標組合，即可形成整個結構的節點矩陣：

N=[n1n2n3n4n5n6n7n8]

2.2 構件矢量

圖1所示結構中，桿構件和節點的連接關系如表1所示。

表1 桿構件和節點的連接關系Table 1 Relations between the bars and nodes

桿構件矩陣可寫為：

式中：bi(i=1,2,3,4)是第i根桿構件的矢量；CB是桿連接矩陣為：

同理，索構件矩陣可表示為：

S3×9=[s1s2s3s4s5s6s7s8s9]=N3×8·CS8×9

式中：Sl(l=1，2，…，9)是第l根索的矢量；CS是索連接矩陣。

3 折展過程運動分析

3.1 初始位置

圖2(a)是三桿星型張拉結構模型圖，其中，中心桿lz長度等于結構高度H0，即h=0，φ=150°，rd=ru=r。圖2(b)為該結構的實物圖,設圖2所示的狀態為此星型可展結構的運動初始狀態。

圖2 星型張拉整體可展結構的初始狀態Fig.2 Initial state of the deployable star tensegrity

此時上下端面徑向索長度為:

lJ=r

桿長可表示為:

(1)

斜索長度可表示為:

(2)

3.2 中心構件長度與其他參數關系

在星型結構折展過程中，徑向索長和桿長保持不變。設替代斜索的彈簧剛度為K1。當中心構件伸長時，中心構件長變為lz=H0+2h1(2h1為中心構件伸長量)，此時中心桿節點到端面的高度差h=(lz-H)/2(如圖1所示)，此時結構端面半徑為:

(3)

桿長lB為:

(4)

斜索長lx可寫為:

(5)

結構高度H可表示為:

(6)

扭轉角變為:

此時下端面節點坐標可寫為:

式中i=1,2,3。

上端面節點坐標可表示為:

式中i=4,5,6,節點n7和n8坐標不變。

由式(1)～(6)可知，初始狀態的高度H0和r給定，星型可展結構的初始狀態即確定，其他結構參數也可以確定。中心構件的伸長量給定，此結構變形后的其他結構參數也能夠相應確定，變形后的構型也隨之確定。

3.3 星型張拉整體可展結構運動分析思路

此星型張拉整體可展結構的折展過程分析流程如下:

1)給定r、H0、φ，確定初始狀態的N、B、S，以及構件長度lJ、lB、lx。

2)令中心桿長度lz=H0+2h1，計算r、h、lJ、lB、lx并求得相應的N、B、S。

3)重復步驟2)，進行迭代，至r為0時結束。

3.4 數值分析和仿真驗證

令此結構初始的端面半徑r=100 mm，H0=200 mm，扭轉角φ=150°，代替斜索的彈簧剛度為K1=1 N/mm。根據3.3節所述的折展分析思路，得到機構折疊過程中中心構件長度和斜索長度的關系曲線(如圖3所示)。由圖可知，隨著中心構件長度的增加，斜索的長度也增大。當中心構件長度增大到最大值478.1 mm時，端面半徑r減小到0，斜索的長度也增大到最大值278.1 mm，此時斜索的長度和桿的長度相同。而中心構件和斜索的長度差值的一半正好為100 mm，等于徑向索長lJ。

圖3 斜索長度與中心構件長度關系曲線Fig.3 The length of the vertical cables vs. length of the central bar

在仿真軟件中建立此星型張拉整體結構的仿真模型。圖4顯示了三桿星型結構折疊過程中，隨著中心構件的伸長，星型結構形狀的變化。由圖4可知，此機構在中心構件的驅動下能夠實現折展，從而證明了此折展方案是正確的。

在此折疊過程中，中心桿長lz和斜索長lx的變化曲線如圖5所示,從初始狀態到完全折疊，斜索伸長了71.5 mm，最后lx達到278.1 mm，等于桿長lB。

由圖5中lz的變化曲線可知，中心桿長由200 mm伸長至477.6 mm，與理論分析獲得的中心桿最大長度為478.1 mm，兩者間有0.5 mm的誤差，這是由于仿真分析需要考慮桿構件的截面尺寸造成的，由此驗證模型仿真與理論計算的一致性，證明3.3節中的折展思路是正確的。

圖4 結構折疊過程的仿真Fig.4 Simulation of structure folding process

圖5 中心桿長及斜索長度變化曲線Fig.5 Variation curves of central rod length and inclined cable length

4 外載荷對折疊過程的影響

4.1 理論分析

單個構件的彈性剛度矩陣可表示為：

式中：ei是構件i在其局部坐標里的彈性剛度矩陣，此剛度矩陣為6×6矩陣；Ti為構件i對應的協調矩陣，它將把ei擴展成與整個結構廣義坐標對應的形式。所有構件的彈性剛度矩陣相加，即可得到整個結構的彈性剛度矩陣：

單個構件的幾何剛度矩陣可表示為:

式中：gi是構件i在其局部坐標里的幾何剛度矩陣，此剛度矩陣同樣為6×6矩陣，由Ti把gi擴展成與整個結構廣義坐標對應的形式。所有構件的幾何剛度矩陣相加，即可得到整個結構的幾何剛度矩陣：

此結構整體的剛度矩陣可表示為：

K=E+G

式中：E為彈性剛度矩陣；G為幾何剛度矩陣。

結構的受力變形可表示為：

Δδ=K-1·F

式中：Δδ節點位移量；F為作用于結構所有節點的外力向量。

4.2 考慮外載荷的星型張拉整體可展結構折展思路

設桿的橫截面積AB=2×10-5m2，索的橫截面積As=0.08×10-5m2，桿的密度PB=1 500 kg/m3，索的密度Ps=1 100 kg/m3，桿的彈性模量為EB=2.66×1011Pa，索的彈性模量為Es=1.33×1011Pa，彈簧剛度K1=1 N/mm。在考慮外載荷的情況下，所修正的結構折展步驟如下：

1)給定r、H、φ，確定初始狀態的N、B、S，得到構件長度lJ、lB、lx。

2)根據N、B、S創建剛度矩陣K，將桿索構件的重力及所受外載荷分擔在構件連接的節點上，即對節點施加作用，求得節點位移δ，對N進行修正，得到N′和中心桿位移為Δh。

3)令中心桿長度lz=H0+2h1mm，計算r、h、lJ、lB、lx并求得相應的N、B、S。

4)創建星型結構變形后剛度矩陣K，求得節點位移δ，對N進行修正，得到N′。

5)重復步驟3)、步驟4)，進行迭代，至r為0時結束。

4.3 數值仿真分析

1)軸向載荷。

分別在上端面節點n4、n5、n6、n8上施加與重力方向、大小相同的軸向力，并且下端面節點n1、n2、n3的z坐標保持不變，機構折疊過程中上下端面半徑ru和rd的變化曲線如圖6所示。

圖6 不同外載下的端面半徑Fig.6 The radii of the two end sections under the different axial external forces

由圖可知，中心桿在伸長至460 mm之前，上下端面半徑變化曲線處于明顯的分離狀態，也就意味著上下端面運動不同步。但是中心桿長度超過460 mm之后，隨著中心構件的繼續伸長，上下端面半徑的變化曲線開始重合，即在折疊的后半段，上下端面運動同步。而且外力越大，這種上下端面不同步現象越為明顯，但是無論外力多大，折疊的后半段，兩者都會同步。當外力增大至4 N時，雖然端面半徑曲線分離程度較大，但2條曲線仍然連續變化。當外力增大至5 N時，下端面半徑的變化曲線已經開始出現波動。外力增大至6 N時，兩條端面曲線不僅嚴重分離，而且均出現明顯的波動。這說明外載荷越大，運動的前半段不同步現象越嚴重，而且整體也會發生振動。

2)徑向載荷。

除中心構件兩端節點外的其他6個節點上施加徑向載荷F=1 N，在機構折疊過程中上下端面半徑變化曲線如圖7所示。由圖可知，徑向載荷會使機構在折疊過程中出現端面收縮不同步現象，而且這一不同步現象存在于機構的整個運動過程中。在運動完成時，下端面先完成折疊。隨著徑向載荷的增大，上下端面半徑完成折疊所需的時間差會加大。

圖7 徑向載荷作用下的端面半徑Fig.7 The radii of the two end sections under the radial external forces

5 結論

1)中心桿能夠驅動的星型張拉整體結構實現折展。

2)當此結構承受軸向載荷時，結構會出現運動不同步現象，這種不同步現象主要出現在運動的前半段，隨著結構完成折疊，不同步現象逐漸減弱，上下端面同時完成折疊。

3)結構承受徑向載荷時，折疊過程中會一直存在不同步現象，而且下端面先完成折疊。載荷越大，不同步現象越嚴重。