蠕變和中間主應力影響下圍巖變形分區彈塑性分析

經來旺，陳飛宇，經 緯，郝朋偉，趙 翔

(安徽理工大學 力學與光電物理學院，安徽 淮南 232001)

巷道圍巖變形分區的彈塑性分析由來已久，早期的FENNER和KASTNER將圍巖視作理想彈塑性材料，基于Mohr-Coulomb(M-C)準則和彈塑性兩分區模型求得了塑性區圍巖應力及半徑的解析解；張小波、曾錢幫等[1，2]分別基于Drucker-Prager準則和Hoek-Brown準則求得了彈塑性兩分區模型圓形巷道(硐室)圍巖的理想彈塑性解析解。近年來，隨著巷道埋深的增加，圍巖峰后階段的應變軟化和擴容特性的影響已不容忽視，部分學者考慮上述因素的影響[3，4]，基于彈塑性三分區模型展開研究，取得了若干重要的研究成果。然而在上述及若干相關研究中所依據的理論分析模型中圍巖的峰值應力常是巖石的瞬時極限強度[5-11]，沒有考慮巖石材料顯著的蠕變特性的影響。實際上，在現有的大量的工程軟巖和地質軟巖巷道中，圍巖進入塑性狀態后常發生不同程度的蠕變變形，待巷道穩定后圍巖的峰值應力將不再是巖石的瞬時極限強度[12，13]。文獻[12]認為巷道變形在巖石的蠕變特性的影響下趨于穩定后圍巖的峰值應力應為對應圍壓下巖石的長期強度值，并分別以對應圍壓下巖石的穩定蠕變上、下閾值和殘余強度作為圍巖各分區應力的臨界值構建了4階段應變軟化模型，基于M-C準則求得了各分區圍巖的彈塑性統一解析解。然而該領域目前存在考慮中間主應力和不考慮中間主應力的兩大研究體系，文獻[12]的研究是基于M-C準則展開的，屬于不考慮中間主應力的研究體系。而工程實際和理論研究均表明中間主應力對圍巖的應力和變形分布規律有重要影響[7，8，13]。為此，基于統一強度理論討論圍巖變形分區彈塑性新解，并結合工程實例對比分析蠕變和中間主應力對圍巖應力與變形分布規律的影響。

1 理論分析模型

1.1 力學模型

力學模型如圖1所示。為便于研究假設圍巖為連續、勻質、各向同性材料；巷道開挖斷面為圓形，開挖半徑為Rr；原巖應力σ0與支護阻力Pi均為均布壓力；側壓系數λ=1；巷道無限長度可按照平面應變問題對待。巷道變形穩定后，圍巖中出現彈性區e、塑性軟化區s和塑性流動區w。圍巖的變形狀態與該點的切向應力和徑向應力有關：當切向應力達到對應徑向應力(圍壓)巖石的長期強度時，圍巖出現塑性軟化狀態；當切向應力達到對應徑向應力(圍壓)巖石的殘余強度時圍巖出現塑性流動狀態[12]。

圖1 力學模型

1.2 軟化模型

董方庭、鄭穎人等[14，15]學者的研究表明圍巖峰后階段的軟化主要與粘聚力c有關。粘聚力c的軟化模型如圖2所示。

圖2 粘聚力的變化規律

cs=c0-Mc[(εθ)r=Rs-εθs]

(1)

求得的相應的應變的解析解，最終得：

式中，K為比例系數，K=Rs/Rw，Rs和Rw分別為塑性軟化區和塑性流動區半徑，m；ηs為塑性軟化區圍巖的擴容系數，ηs=(1+sinψ)/(1-sinψ)，ψ為塑性軟化區圍巖的擴容角，(°)。本例中圍巖的塑性流動遵循關聯流動法則，數值上內摩擦角φ與膨脹角ψ相等。

1.3 擴容模型

巖石材料在塑性變形階段不適用金屬等材料的體積不變假設。研究表明可用圖3所示的擴容模型反映圍巖塑性階段的變形特性[3-5]。

圖3 擴容模型

在塑性軟化區內：

在塑性流動區內：

1.4 統一強度理論

統一強度理論由雙剪理論發展而來，考慮了中間主應力對材料破壞的影響，適用于巖石類材料，主應力表達式為[7，16]：

式中，σ1、σ2和σ3分別為第一、第二和第三主應力，MPa；b為統一強度理論參數，主要反映中間主應力的影響程度，且0≤b≤1；c為巖石的粘聚力，MPa；φ為巖石的內摩擦角，(°)。

本例中，切向應力σθ為第一主應力、徑向應力σr為第三主應力、第二主應力用σz表示。在平面應變狀態下σz=(σθ+σr)/2[7]，第一、二、三主應力滿足判別式(6)，得到適用于本例的統一強度理論的表達式為：

σθ=Nσr+S

(7)

2 巷道圍巖的彈塑性解析

巷道變形穩定后，圍巖應力滿足平衡微分方程，變形滿足幾何方程。結合本例特點，求解過程適宜在極坐標系中進行。極坐標系中，應力平衡微分方程為：

dσr/dr+(σr-σθ)/r=0

(8)

幾何方程為：

εr=du/dr；εθ=u/r

(9)

式中，εr和εθ分別徑向應變和切向應變；u為位移，mm。

2.1 彈性區分析

本例中側壓系數λ=1。力學模型遠處受均布原巖應力作用，近處受均布支護壓力作用。參照彈塑性力學中的厚壁圓筒力學模型的解析過程得彈性區圍巖應力、應變和位移的解析解為：

{ue=(σ0-σrp)R2sr-1/2G

(12)

式中，σ0為原巖應力，MPa；σrp為彈性區與塑性軟化區交界處的徑向應力，MPa；Rs為塑性軟化區半徑，m；G為圍巖的剪切模量，GPa。

2.2 塑性軟化區分析

2.2.1 塑性軟化區外邊界處應力解析

依據應力連續邊界條件，塑性軟化區外邊界處圍巖的徑向應力大小為σrp，切向應力設為σθp，則σrp=(σre)r=Rs；σθp=(σθe)r=Rs，進一步得σrp+σθp=2σ0，同時如前文所述：σθp為對應徑向應力σrp(圍壓)圍巖的長期強度，即[12]：

σθp=Nσrp+S0

(13)

聯立式(13)和σθp+σrp=2σ0得：

式中，σθp為彈性區與塑性軟化區交界處的切向應力，MPa。

2.2.2 塑性軟化區內應力解析

塑性軟化區內圍巖的粘聚力滿足式(1)，另聯立統一強度理論式(7)和應力平衡微分方程式(8)，并結合應力邊界條件：(σrs)r=Rs=σrp，得塑性軟化區應力的解析解為：

2.2.3 塑性軟化區位移及應變解析

塑性軟化區圍巖的總應變由彈性應變和塑性應變共同組成[8，13]，可表示為：

式中，εrs和εθs為塑性軟化區的徑向和切向總應變；(εre)r=Rs和(εθe)r=Rs為塑性軟化區外邊界處的徑向和切向彈性應變。

聯立應變增量關系式(3)、幾何方程式(9)和彈性應變解析式(11)得塑性軟化區位移協調方程為：

dus/dr+ηsus/r=T(ηs-1)

(17)

式中，us為塑性軟化區位移，mm；T為中間變量且T=(σ0-σrp)/2G。

求解式(17)并結合位移邊界條件：(us)r=Rs=(ue)r=Rs，得塑性軟化區圍巖的位移的解析解為：

式中，D1和D2為中間變量，D1=(ηs-1)/(ηs+1)；D2=2/(ηs+1)。

另由幾何方程得應變的解析解為：

2.3 塑性流動區分析

2.3.1 塑性流動區應力解析

塑性流動區圍巖的粘聚力為常數，聯立統一強度理論式(7)和應力平衡微分方程式(8)，并結合應力邊界條件：(σrw)r=Rr=Pi，得塑性軟化區應力的解析解為：

式中，σrw和σθw分別為塑性流動區的徑向和切向應力，MPa；Pi為支護阻力，MPa；Mw為中間變量，Mw=Sw/(1-N)。

2.3.2 塑性流動區位移及應變解析

塑性流動區圍巖的總應變主要由塑性應變組成[8，9]。聯立應變增量關系式(4)和幾何方程式(9)得塑性流動區位移協調方程為：

duw/dr+ηwuw/r=0

(21)

式中，uw為塑性流動區位移，mm。

求解式(21)并根據位移邊界條件：(us)r=Rw=(uw)r=Rw，得塑性流動區位移的解析解為：

另由幾何方程得應變的解析解為：

式中，εrw和εθw分別為塑性流動區的徑向和切向應變。

2.4 圍巖變形分區范圍的確定

確定圍巖變形分區范圍即確定Rw和Rs。塑性軟化區與流動區交界處圍巖的徑向應變和徑向應力滿足連續性條件[10]，即：(εrs)r=Rw=(εrw)r=Rw；(σrs)r=Rw=(σrw)r=Rw。聯立應變解析式(19)和式(23)中的第一式得：

聯立應力解析式(15)和式(20)中的第一式得：

將Rw代入式(24)中得：

Rs=KRw

(26)

3 實例分析

淮南礦區潘一東礦-848m充電整流硐室開挖半徑Rr=2.95m，初始地應力為21.861MPa，距硐室軸線15m范圍內為同一巖層，巖層鉆孔窺視儀觀測顯示距硐室軸線5.5～15m范圍內圍巖均質完整無破裂帶，以初始地應力作為原巖應力進行計算；室內實驗測得圍巖彈性模量E=4.01GPa，泊松比μ=0.25，內摩擦角φ=27.83。圍巖瞬時極限強度對應的初始粘聚力為11.753MPa，考慮蠕變時，由圖解法求得圍巖的長期強度和殘余強度對應的粘聚力為5.578MPa和0.724MPa。

3.1 蠕變的影響分析

為了探究蠕變的影響，分別將巷道圍巖的瞬時極限強度和相應的長期強度作為圍巖的峰值應力進行計算，兩種強度對應的初始粘聚力分別為11.753MPa和5.578MPa。另取b=0，此時統一強度退化為M-C準則；支護阻力pi=0.25MPa；塑性流動區圍巖的擴容系數ηw=1.3。計算結果表明：當以瞬時極限強度作為圍巖的峰值應力時，塑性流動區和塑性軟化區圍巖的半徑分別為2.92m和3.05m，相比于硐室開挖半徑2.95m，說明圍巖中不存在塑性流動區而塑性軟化區范圍僅為0.1m，兩者皆與現場實測結果相差較大；而當考慮蠕變的影響，以相應的長期強度作為圍巖的峰值應力時，塑性流動區和軟化區圍巖的半徑分別為5.21m和5.68m，與距硐室軸線5.5m范圍內為松動圈的現場探測結果基本一致。兩種峰值應力條件下圍巖的應力和位移分布狀態對比分別如圖4、圖5所示。由圖4、圖5可知：當忽略蠕變的影響時，距巷道內壁一定范圍內，圍巖的應力與位移呈彈性分布狀態，兩種強度條件下，距硐室軸線5.68m范圍外均為彈性區，但當忽略蠕變影響時，彈性區圍巖第三主應力(σr)偏大而第一主應力(σθ)和位移偏小，此時圍巖更不容易破壞，一定程度上高估了圍巖巖性。

圖4 巷道圍巖的應力分布

圖5 巷道圍巖的位移分布

3.2 中間主應力的影響分析

由式(18)、式(22)、式(25)和式(26)可知，進入塑性狀態的圍巖位移與分布范圍與中間主應力影響程度參數b有重要關系。圍巖位移與塑性流動區半徑隨b變化的曲線如圖6、圖7所示。其中，當b取不同數值時圍巖位移均在硐室內壁位置(橫軸原點位置)達到最大值，且沿圍巖深部方向而逐漸減小；實際中深部圍巖較淺部圍巖受開挖、支護、采動等擾動影響的程度很小，其位移自然較淺部圍巖位移小得多。同一位置處圍巖的位移除與原巖應力和圍巖巖性等影響因素有關外還與參數b有密切聯系，且當參數b較大時圍巖的位移較小，如圖6所示，正如前文所述，參數b反映的正是中間主應力的影響程度，當b取值越大時表示中間主應力影響程度越大。同樣的塑性流動區半徑與參數b也有類似關系，如圖7所示。總之，中間主應力對塑性圍巖的位移級塑性流動區范圍的擴展能有明顯的抑制作用[1，13]。

圖6 巷道圍巖的位移變化

圖7 塑性流動區半徑變化

4 結 論

1)巷道圍巖塑性區的擴展與變形受圍巖峰后階段的擴容特性、軟化特性、蠕變特性和中間主應力等諸多因素的影響，其中以受蠕變特性因素的影響更為顯著，而當以一定圍巖下巖石的長期強度作為圍巖的峰值應力時，一定程度上考慮了蠕變因素的影響，并通過工程實例驗證了其合理性與適用性。

2)中間主應力能夠抑制塑性流動區的擴展與圍巖的變形，增大中間主應力有利于增強支護效果和提高巷道的長期穩定性，可將其作為一種支護設計思路。