基于有限傅立葉級數法的浮標測波算法研究

余白石，張素偉

（中國船舶重工集團有限公司第七一〇研究所，湖北 宜昌 443003）

0 引言

波浪浮標是目前常見的波浪測量儀器，由于用浮標觀測波浪不受水深的限制，且具有無人值守、自動測試等優點，因此在波浪測量中廣泛應用。測波浮標具有良好的隨波運動特性，通過測量浮標的運動速度和位移，獲取浮標的三維運動，可以計算獲得波高、周期、方向譜等信息。

北斗衛星導航定位系統可以全天候提供高精度的三維位置、三維速度和時間信息，將其應用于浮標，可以測量浮標所在波浪粒子的運動速度和位移，進而通過北斗測波算法獲得波浪的波高、波周期和波向等海洋水文信息。

目前國內外研究的測波算法主要為：有限傅立葉級數法（Finite Fourier Series Method）[1]、最大似然法（Maximum Likelihood Method）[2-3]、貝葉斯估計法（Bayesian Approach Method）[4-5]和最大熵法（Maximum Entropy Method）[6-7]等。

本文所介紹的測波算法為有限傅立葉級數法，該方法計算快速，易收斂，適用于較少數據陣列的波浪方向譜的計算。

1 北斗定位浮標測波原理

北斗定位浮標測波算法的輸入參數主要來源于北斗定位采集器采集的定位參數，其中包括各方向的速度分量。通過輸入的離散測量速度序列，在各方向積分獲得各方向的離散位移序列，然后通過濾波獲得低頻的波浪運動分量，將獲得的離散位移分量進行FFT分析，獲得互譜，進而計算波浪的波高、周期和波向。圖1為波浪算法的信號處理流程。

圖1 北斗波浪浮標測波算法流程Fig.1 Flow of wave measurement based on BeiDou wave buoy

1.1 波浪速度譜基本理論

波浪測量理論中應用比較廣泛的是 Longuet-Higgins模型[8]，其波面可以表示為無窮多個不同振幅、頻率、相位和入射波的余弦波的疊加，即：

式中：η(x,y,t)表示和位置及時間有關的波形函數；ωi為成分波元頻率；ki為對應于ωi的波數；θj為入射波的波向；aij和εij分別為對應于頻率和波向的振幅和相位。

假設浮標完全跟隨水面運動，則觀測到的垂直波面位移為

η(t) 的自相關函數為

式中，τ為時延。

波譜密度 Sv(f)表示波浪在一定頻率范圍內所含能量，也稱波浪的速度譜，可通過對式（3）求得的自相關函數R(τ)進行傅里葉變換來計算：

波浪的速度譜S(f)反映了波浪能量與頻率之間的關系。在實際測量中，由于北斗定位系統輸出的速度存在誤差，造成北斗輸出的速度譜也不能反映真實的波浪速度譜，因此需分析其誤差來源，并通過濾波減小誤差。

1.2 浮標測量數據濾波方法

北斗單點定位誤差主要來自星歷誤差[9]、星鐘誤差[10]、電離層誤差、對流層誤差、多徑效應、接收機噪聲等。表1為以上各種誤差的分析情況。

表1 北斗定位系統誤差分析Table 1 Error analysis of BeiDou positioning system

為了提高北斗定位系統的測波精度，需采用帶通濾波器減小北斗定位誤差，從而準確提取出波浪的運動參數[11]。帶通濾波函數如下：

1.3 波浪參數計算方法

要計算波浪的波高、周期和波向，必須計算方向波譜。根據 Longuet-Higgins模型，隨機波浪是由無限多個不同振幅、頻率、相位及波向的成分波所迭加而成，方向波譜是描述這些成分波的能量分布[12]，它是方向和頻率的函數。

方向波譜的計算由互譜開始，互譜定義為交錯相關函數的傅立葉變換，交錯相關函數可由式（3）引申定義為

式中：η(t)為波形函數；i,j=1,2,3，表示各方向的物理觀測量；η1(t)表示垂直方向；η2(t)表示東西方向；η3(t)表示南北方向；τ為時延，Rij(τ)為其交錯相關函數。互譜φij(f)可用如下方法計算：

將式（7）表示為復數形式：

式中：Cij(f)定義為同位譜；Qij(f)定義為移位譜。互譜 φij(f)和方向波譜S(f,θ)具有如下關系：

將式（9）推到為一個計算方向波譜的通式：

由于式（11）很難求解，式中的方向波譜可以以有限階數的傅立葉級數展開，如式（12），再代回上式求解，此即為有限傅立葉級數法。

結合式（8）、（11）、（12），并精確至二階，可得到各階的系數：

式中，m0和m2分別為方向波譜對方向及頻率積分后波譜的零次矩和二次矩，具體計算方法如下：

2 測試方法

為了驗證測波算法的有效性，在波浪仿真模擬器上進行了仿真測試。通過設定浮標的6種工作場景，仿真模擬器生成6種不同的浮標運動軌跡，并采用 UM330 北斗接收器采集射頻模擬器輸出的觀測信息，對采集的信息進行數據格式轉換，最終根據本文介紹的波浪測量算法計算出波浪的波高、波周期和波向。具體的測試方法流程如圖2所示。

圖2 北斗波浪浮標測波算法仿真測試流程Fig.2 Simulation test flow of wave measurement algorithm based on BeiDou wave buoy

2.1 載體軌跡生成

本次載體軌跡生成的圓周運動圓點為(Re+r,0,0)，其中Re為地球半徑，根據輸入波浪參數的不同生成不同的載體運動軌跡。波浪基本參數波高為20 m內、波向為0°～360°，波浪周期2～15 s，其中要求波浪原始觀測信息采集單次20 min。圖3是其中一組載體軌跡仿真示意圖，其圓周運動半徑r為10 m，周期T為10 s，運動軌跡傾角為Z偏Y 60°。

圖3 載體軌跡示意圖Fig.3 Carrier trajectory diagram

2.2 原始數據采集

載體運動軌跡生成之后，導入模擬器，用于產生射頻信號，模擬器輸出信號為BDS B1頻點信號，信號強度-130 dB·m，仿真信號時間大概25 min，原始觀測數據輸出頻率為 2 Hz。根據波浪所做圓周運動的半徑、周期和波向，共分為6個場景來采集北斗接收器的原始觀測數據，圖4為北斗接收器的示意圖，場景具體參數見。

圖4 UM330北斗接收器采集數據Fig.4 UM330 BeiDou receiver collecting data

表2 場景參數表Table 2 Scene parameter table

3 測試結果分析

根據測試方法，測波算法測量值與原始波浪參數對比表格如表3所示。

表3 測波算法仿真測試結果Table 3 Simulation test results of wave measurement algorithm

為了進一步驗證測波算法，使用某型波浪浮標開展了湖上對比測試，試驗地點為漳河水庫，水深約35 m，海況2級。該型波浪浮標搭載北斗定位測波模塊，同時內部集成成熟的IMU測波模塊。在相同試驗環境下，以IMU測波模塊測量數據為標準值，對北斗定位測波模塊進行對比分析，如圖5-7所示。

圖5 波高測量數據相對誤差分布圖Fig.5 Relative error distribution of wave height measurement data

圖6 波向測量數據相對誤差分布圖Fig.6 Relative error distribution of wave phase measurement data

圖7 波周期測量數據相對誤差分布圖Fig.7 Relative error distribution of wave period measurement data

對圖 5-7進行分析，在湖上波高數據集中在0.1～0.6 m內，波高測量數據相對誤差分布在2%～14%范圍內。波向測量數據相對誤差分布在4%～10%范圍。波周期數據測量相對誤差分布在2%～10%范圍內，且隨著波周期增加，相對誤差呈逐漸減小趨勢。北斗定位測波模塊和 IMU測波模塊在三種波參數的測量上保持較好的一致性和準確性，測量相對誤差維持在2%～10%范圍。

4 結束語

本文對波浪浮標的測波原理和仿真測試系統進行了研究，詳細闡述了基于有限傅立葉級數法的浮標測波算法，并通過仿真試驗及湖上對比試驗，驗證了測波算法的準確性。該測波算法可應用于裝載 GPS或北斗定位模塊的波浪浮標，在海洋監測領域有較廣闊的應用前景。