多體量子純態糾纏測量的凹性

韋娜娜, 王 震, 章培軍

(西京學院理學院，西安 710123)

1 引言

量子信息和量子計算是量子力學與信息科學相結合而產生的新興交叉學科，是目前數學、物理學研究的熱點.量子糾纏是實現量子信息與量子計算的核心資源，也是該學科展示出巨大優勢和應用前景的根本因素，利用量子糾纏可以實現一些經典手段無法實現的任務，如量子密鑰分配、量子隱形傳態、量子密集編碼、量子密碼等.多體量子糾纏由于具有更加豐富的結構和更為復雜的性質，因此，多體量子糾纏在信息處理過程中將有更為廣泛的應用.

國內外學者已經對經典量子糾纏測量C(ρ)作了很多的研究[1-12].Ma 等[13]定義了量子糾纏測量D(ρ)，根據控制論的方法與理論，得到純態的經典量子糾纏測量較為精確的上界與下界，并利用圖表進行了形象的說明.量子糾纏測量D(ρ)有糾纏單調性，次可加性等，但是Ma 等關于其上界的結論，未給出嚴謹的證明.Wei 和Li[14]對于經典量子糾纏測量C(ρ)與Ma 等定義的量子糾纏測量D(ρ)，利用Schmidt 秩的理論，研究了二者的關系，得到經典量子糾纏測量的一個新下界，并利用圖表及Werner 態，表明此新下界更精確.遺憾的是，Wei 和Li 尚未在此基礎上，研究多體量子態的相關性質.糾纏態，尤其是多體量子糾纏態在量子信息各方面，如量子計算、量子通信等都起著重要作用，因此，研究多體量子糾纏測量具有十分重要的意義.本文在此背景下，對于多體量子，研究Ma 等定義的糾纏測量D(ρ)的相關性質，進一步完善多體量子糾纏測量的性質研究.首先，給出Ma 等定義的量子糾纏測量D(ρ).

定義1 純態|ψ?∈HA ?HB，HA, HB是有限維Hilbert 空間，定義量子糾纏測量為

其中ρA=trB(|ψ??ψ|), ρB=trA(|ψ??ψ|)，det 表示矩陣的行列式.混合態

定義量子糾纏測量為

2 主要結論

在本文中，無特殊說明的情況下，假設dimHA= dimHB=n，B(HA ?HB)表示復合空間HA ?HB上的所有矩陣，ρ ∈B(HA ?HB)在Schmidt 分解中正系數的個數稱作ρ的Schmidt 秩.由于定義中量子糾纏測量D(ρ)中有數學符號根號，為了方便以下定理的證明，我們對D(ρ)進行平方運算，則有如下的定理.

定理1設純態ρ, σ ∈B(HA ?HB)，HA, HB是有限維Hilbert 空間，則有

證明 根據Schmidt 分解，則

需要證明不等式

下面用數學歸納法來證明此不等式.

當n=2 時，λ1+λ2=μ1+μ2=1，則有

則有不等式成立

當k=n ?1 時，假設不等式成立，即

當k=n時，由于

設=λi,=μi, i=1,2,··· ,n ?21=λn?1+λn, ?1=μn?1+μn，則

在上述不等式的證明過程中，不等式(1)和(2)分別由假設得到.由于λi, μi ≥0，則

因此，不等式(3)成立.

綜上所述，定理1 得證.

此定理表明，如果ρ, σ是有限維Hilbert 空間的純態，則兩體量子糾纏測量的平方D2(ρ)是凹的.

定理2設純態ρ, σ ∈B(HA ?HB)，HA, HB是有限維Hilbert 空間，則有

證明 設B(HA ?HB)是拓撲線性空間，有限維兩體量子態空間的數學意義為：有限維復合Hilbert 空間HA ?HB上的跡為1 的正算子.另外，函數

當多體量子態以平均概率與隨機概率線性組合時，根據Harday 等[16]，下面將上述定理推廣至任意有限維Hilbert 空間.

推論1設純態ρi ∈B(HA ?HB)，HA, HB是任意有限維Hilbert 空間，則

推論2設純態ρi ∈B(HA ?HB)，HA, HB是任意有限維Hilbert 空間，對于任意一組實數：ci, i=1,2,··· ,k，則有

以上的定理及推論，得到凸組合的多體量子純態糾纏測量的凹性.下面，討論兩體量子態的上界.

定理3設純態ρ, σ ∈B(HA ?HB)，HA, HB是有限維Hilbert 空間，則

當且僅當λi(ρ)=λi(σ)=, i=1,2,··· ,n時，等號成立.

證明 首先設ρ, σ是任意態，且ρA, σA的特征值分別為ai, bi, i= 1,2,··· ,n，根據Marshal 和Olkin[17]，設a= (a1,a2,··· ,an)′, b= (b1,b2,··· ,bn)′，且a1≥a2≥···≥an, b1≥b2≥···≥bn，由于

假設

且t=(t1,t2,··· ,tn)′, t1≥t2≥···≥tn.令函數

其次，設ρ, σ是混合態，根據以上證明，得

3 結論

本文在兩體量子態的研究基礎上，對多體量子純態的糾纏測量進行了討論與研究，利用Schmidt 秩的方法與拓撲理論得到了多體量子糾纏測量的凹性這一非常重要的性質，在該性質的研究過程中，我們進行了解析運算，一方面得到了問題的其他相關物理量的解析式，不僅擴大了問題的討論范圍，而且使多體量子態的性質更加完善；另一方面，該性質對拓撲物態的研究提供了理論依據，同時也提供了更多的物理涵義.如在利用多體量子糾纏性質刻畫拓撲物態的研究時，引入特殊的對偶變換，研究二維的Kitaev 蜂巢模型，本文對該模型的拓撲序能更加成功地描述，進而應用于拓撲量子計算和量子精密測量中.