嚴格對角占優M-矩陣的逆矩陣的無窮大范數的上界估計

趙仁慶, 甘小艇, 張 坤

(楚雄師范學院數學與統計學院，云南 楚雄 675000)

1 引言

M-矩陣在矩陣論、計算數學、生物學、物理學、經濟數學等諸多領域有著重要的應用價值，由于M-矩陣為這些問題的研究和解決提供了數學基礎而被許多學者關注和研究[1-12]，在這些研究中嚴格對角占優M-矩陣A的逆矩陣的無窮大范數//A?1//∞上界估計是其熱點之一.本文繼續這些問題的研究，給出了//A?1//∞上界的新估計式，這些估計式推廣了前人的研究結果.

2 預備知識

為敘述方便，先給出本文需要用到的一些記號.

用Rm×n表示m×n階實矩陣的集合，記N={1,2,··· ,n}，設A= (aij)∈Rn×n且aii ?=0，

定義1[1]設A= (aij)∈Rn×n，如果對任意的i,j ∈N, i ?=j，都有aij ≤0，則稱A為Z矩陣，記為A ∈Zn×n.

定義2[1]設A= (aij)∈Rn×n，如果對任意的i,j ∈N, i ?=j，都有aij ≥0，則稱A為非負矩陣，記為A ≥0.

定義3[1]設A為Z矩陣，A可逆且A?1≥0，則稱A為非奇異M-矩陣.

定義4[1]設A=(aij)∈Rn×n，如果滿足下列條件：

1)|aii|≥∑j?=i|aij|, i ∈N；

2)J(A)?=?；

3) 對于任意i ∈N, i/∈J(A)，存在非零元素序列aii1ai1i2···airk，其中i ?=i1,i1?=i2,··· ,ir ?=k, k ∈J(A)，則稱A為弱鏈對角占優矩陣.

定義5[2]設A=(aij)∈Rn×n，若J(A)=N，則稱A為行嚴格對角占優矩陣.

注1 由定義4 和定義5 可知，如果A為行嚴格對角占優矩陣，則A為弱鏈對角占優矩陣.

引理1[2]設A= (aij)∈Rn×n是弱鏈對角占優M-矩陣，則A(k,n)(k= 1,··· ,n ?1)也是弱鏈對角占優的M-矩陣.這里A(n1,n2)表示由A= (aij)∈Rn×n的n1至n2行和n1至n2列的元素組成的子矩陣.

引理2[2]A=(aij)∈Rn×n是弱鏈對角占優M-矩陣，B=A(2,n), A?1=(αij)ni,j=1,B?1=(βij)ni,j=2，對任意i,j ∈N，有

其中

引理3[3]設A=(aij)∈Rn×n是嚴格對角占優M-矩陣，則

3 //A?1//∞的上界估計

本節討論嚴格對角占優M-矩陣A的//A?1//∞的上界估計，為此先給出如下引理.

引理4[5]設A=(aij)∈Rn×n是嚴格對角占優M-矩陣，則A?1=(αij)滿足

引理5設A=(aij)∈Rn×n是嚴格對角占優M-矩陣，則A?1=(αij)滿足

當i=1 時，有

令

由引理4 得

即

得

令上式中ε →0，得

引理6設A=(aij)∈Rn×n是嚴格對角占優M-矩陣，則A?1=(αij)滿足

證明 由引理5 得

故

證明 設

則

由引理2、(1)式和(5)式，可得

當2≤i ≤n時，由引理2 和(4)式，得

故當2≤i ≤n，由引理2、(4)式和(7)式，可知

若r1≤l1r1+MB，則

若r1>l1r1+MB，則

綜上有

對定理1 利用迭代法可得如下結論.

定理2設A=(aij)∈Rn×n是嚴格對角占優M-矩陣，則

知

故定理2 改進了文獻[4]的定理3.2，進而優于文獻[2]中定理3.3 和文獻[3]中定理3.4.

推論1設A=(aij)∈Rn×n是嚴格對角占優M-矩陣，則A的最小特征值滿足

4 數值算例

例1 設顯然A是嚴格對角占優M-矩陣，用Matlab 計算得//A?1//∞=10.應用文獻[2–4]中的估計式分別計算得

應用本文定理2 得//A?1//∞≤83.2786.

5 結論

文中給出了嚴格對角占優M矩陣的逆矩陣的無窮大范數上界的新估計式，改進了文獻[2–4]中的相關結果.數值算例也表明新估計式比文獻[2–4]中的結果更精確.