漸近正態(tài)隨機(jī)變量函數(shù)的極限分布

牛司麗， 劉玉曉

(1.同濟(jì)大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，上海200092； 2.河南城建學(xué)院 數(shù)理學(xué)院，河南 平頂山467036)

1 引 言

概率論在實(shí)際問題中具有非常廣泛的應(yīng)用，其中的中心極限定理更是概率論的杰出和經(jīng)典工作，它為統(tǒng)計(jì)學(xué)的發(fā)展起著至關(guān)重要的作用. 這一理論結(jié)果的應(yīng)用已廣泛滲透至工程技術(shù)、經(jīng)濟(jì)金融、保險(xiǎn)、醫(yī)學(xué)、以及目前大家關(guān)注的人工智能和大數(shù)據(jù)分析等各個(gè)領(lǐng)域.

我們知道，在對未知量作統(tǒng)計(jì)推斷時(shí)，常涉及到對其構(gòu)造置信區(qū)間或作假設(shè)檢驗(yàn)等，這必須利用相應(yīng)估計(jì)量的分布. 在統(tǒng)計(jì)大樣本理論的研究中，更多是研究估計(jì)量的相合性和漸近正態(tài)性等，相比來講，研究漸近正態(tài)估計(jì)量函數(shù)的極限分布卻少很多，但在實(shí)際應(yīng)用中，常遇到討論未知量函數(shù)的推斷問題，由此就需要在知道該未知量的估計(jì)具有漸近正態(tài)性之后，研究它的函數(shù)對應(yīng)的極限分布. 因此，在隨機(jī)變量正態(tài)性應(yīng)用的同時(shí)，漸近正態(tài)隨機(jī)變量函數(shù)的極限分布也是非常重要的，本文對漸近正態(tài)隨機(jī)變量函數(shù)的極限分布進(jìn)行討論，獲得兩個(gè)一般性理論結(jié)果. 作為應(yīng)用，選取幾個(gè)具體的函數(shù)，導(dǎo)出一系列漸近正態(tài)隨機(jī)變量，獲得一些耳目一新的結(jié)果，其中包括泊松隨機(jī)變量平方根的漸近正態(tài)性，以及隨機(jī)變量部分和在正則化常數(shù)是隨機(jī)變量情況下的漸近正態(tài)性.

2 主要結(jié)果

定理3設(shè){Xn}是獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列，如果Var(Xn)=σ2<∞，則當(dāng)n→∞時(shí)，

3 主要結(jié)果的證明

定理2的證明利用泰勒展開式，由假設(shè)當(dāng)x→μ時(shí)，

定義

注意

則應(yīng)用引理1，當(dāng)n→∞時(shí)

以及

(iii) 令g(x)=ex，則g(x)是連續(xù)函數(shù)，并且對任意的μ，g′(μ)=eμ，于是應(yīng)用定理1得到

4 結(jié) 論

本文對漸近正態(tài)隨機(jī)變量的函數(shù)，在定理1和定理2中分別建立兩個(gè)一般性極限分布結(jié)果. 從例1和例2能夠看到，利用建立的一般性結(jié)論能導(dǎo)出我們很少見到的一些耳目一新的結(jié)果. 另外，到目前為止，尚未看到涉及漸近正態(tài)自正則隨機(jī)變量函數(shù)漸近分布更一般性的結(jié)論，后續(xù)對此可作進(jìn)一步的討論.

致謝作者感謝審稿人對本文提出的有價(jià)值的評論和修改建議.