整數(shù)環(huán)上一類(lèi)三階矩陣方程有解的充要條件

黎洪鍵

(華南師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,廣州510631)

1 引 言

隨著人們?nèi)找鎸?duì)信息安全重視程度的提高,密碼學(xué)就顯得愈來(lái)愈重要,而整數(shù)矩陣方程的相關(guān)研究有助于新密碼體系的開(kāi)發(fā)[1].設(shè),分別是全體整數(shù)和全體正整數(shù)的集合,GLn()表示上n階可逆矩陣的集合,文獻(xiàn)[2-10]考慮一類(lèi)特殊的整數(shù)矩陣集

S(A)={Ak|k,m∈,A∈GLm()}

上的Fermat方程

Xn+Yn=Zn(X,Y,Z∈S(A),n∈)

的可解性問(wèn)題,顯然,研究S(A)的性質(zhì)有利于這類(lèi)問(wèn)題的解決；鐘祥貴[11]利用遞歸關(guān)系證明了二階整數(shù)矩陣方程An=kE(E為單位矩陣)有解的充要條件；本文在[11]的基礎(chǔ)上,研究三階整數(shù)矩陣方程

An=kE(A∈GL3())

(1)

有解的充要條件.

2 引 理

定義1[11]設(shè)A是一個(gè)m×m矩陣,稱(chēng)使得An=kE,對(duì)某個(gè)實(shí)數(shù)k成立的最小正整數(shù)n為A的階,記為O(A).

定義2[12]設(shè)G是群,運(yùn)算記為乘法,a是G中一個(gè)元素.如果?k∈,有ak≠e,則稱(chēng)元素a的階為無(wú)窮.如果?k∈,使ak=e,則稱(chēng)min{k∈|ak=e}為a的階.

引理1[12]設(shè)a是群G中的一元,a的階為d,k∈,則

引理2[12]n次單位根的全體Un={x∈|xn=1}對(duì)于復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算構(gòu)成一個(gè)循環(huán)群.

定義3[13]xn-1的根,稱(chēng)為n次單位根,又若n次單位根θ滿(mǎn)足θn=1,θm≠1,0

引理3[13]設(shè)θ為n次單位原根, 則當(dāng)且僅當(dāng)(k,n)=1，θk為n次單位原根, 因而有φ(n)個(gè)n次單位原根, 其中,φ(n)為Euler函數(shù), 即小于n且與n互素的正整數(shù)的個(gè)數(shù).

引理4[13]對(duì)n∈有

(ii) φn(x)是整系數(shù)的首一多項(xiàng)式；

(iii) φn(x)是[x]中不可約多項(xiàng)式.

推論1若θ是n次單位原根, 則擴(kuò)張次數(shù)[(θ):]=φ(n).

定義5[14]令Pn×n表示數(shù)域P上n階方陣的集合, 設(shè)A∈Pn×n,若存在正整數(shù)m, 使得Am=kE(k≠0), 則稱(chēng)A為數(shù)域P上n階擬冪幺矩陣. 若Am=kE(k≠0), 但對(duì)小于m的正整數(shù)r, 有Ar≠hE(?h∈P), 則稱(chēng)m為擬冪幺矩陣A的擬冪幺指數(shù), 記為μ(A)=m.

引理5[14]設(shè)A是復(fù)數(shù)域上n階擬冪幺矩陣, 則

(i)A的特征值λ滿(mǎn)足方程λμ(A)=k(k≠0)；

(ii)λμ(A)-k是A的零化多項(xiàng)式；

(iii)A可對(duì)角化.

引理6[15]上的全體代數(shù)數(shù)組成的集合記為A, 設(shè)α∈A, 多項(xiàng)式集合

P=P(α)={f(x)|f(x)∈[x],f(α)=0},

那么, 對(duì)集合P的非零多項(xiàng)式來(lái)說(shuō), 以下三個(gè)性質(zhì)等價(jià):

(i)h(x)是P中次數(shù)最低的多項(xiàng)式；

(ii)h(x)是P中任一多項(xiàng)式的因式, 即對(duì)任一f(x)∈P, 必有q(x)∈[x]使f(x)=q(x)h(x)；

(iii)h(x)是P中在上不可約的多項(xiàng)式(即[x]中的不可約多項(xiàng)式).

證由于方程(1)有解,因此矩陣A是整數(shù)環(huán)上3階擬冪幺矩陣,從而矩陣A也是復(fù)數(shù)域上3階擬冪幺矩陣,由引理5(3)可得,存在3階復(fù)可逆矩陣T使得

? 當(dāng)O(A)=m時(shí),不妨設(shè)Am=λE(λ≠0),于是

于是

因此O(A)≤m.

3 主要結(jié)果

現(xiàn)在敘述本文的主要結(jié)果及其證明.

定理1矩陣方程(1)有解當(dāng)且僅當(dāng)矩陣A的階O(A)∈{1,2,3,4,6}.

證? 當(dāng)方程(1)有解時(shí),矩陣A的階顯然存在,下面我們對(duì)矩陣A的階O(A)進(jìn)行分類(lèi)討論：

情形1 取

滿(mǎn)足A=kE(其中k=a)且O(A)=1,即存在矩陣A使得O(A)=1.

情形2 令

令A(yù)2=kE,則有

這等價(jià)于

這時(shí),取

可得矩陣

滿(mǎn)足A2=kE(其中k=a2+bp+cu)且O(A)=2, 即存在矩陣A使得O(A)=2.

例取

可得矩陣

滿(mǎn)足A2=kE(其中k=9)且O(A)=2.

情形3 下面證明當(dāng)O(A)≥3時(shí),矩陣A的階O(A)∈{3,4,6}.

設(shè)O(A)=m,矩陣A的特征多項(xiàng)式為f(x)且矩陣A的3個(gè)特征值為x1,x2,x3,由于det(A)≠0,因此x1x2x3≠0且x1,x2,x3滿(mǎn)足下列等式

(2)

由于f(x)是首一三次整系數(shù)多項(xiàng)式,因此f(x)的根有三種情形:一個(gè)實(shí)根和一對(duì)共軛復(fù)根;三個(gè)互不相等的實(shí)根;三個(gè)實(shí)根且至少兩個(gè)相等.下面對(duì)這三種情形進(jìn)行討論:

(i) 當(dāng)x1∈時(shí),由公式(2)可得

(x1,x2,x3)=(x2,x3)=(x2).

因此m∈{1,2,3,4,6},即O(A)∈{1,2,3,4,6}, 由于O(A)≥3, 故O(A)∈{3,4,6}；

(ii) 當(dāng)x1∈時(shí),由于O(A)=m,于是由引理5(1)可得由等式(2)得故即

(3)

由于在(ii)這種情形下, 矩陣A的特征多項(xiàng)式f(x)在有理數(shù)域上不可約, 由(3)和引理6可得

f(x)|x3±det(A).

由于f(x)是3次首一多項(xiàng)式, 因此

f(x)=x3±det(A).

由于det(A)≠0,于是

f(x)=x3-det(A).

(4)

比較(4)左右兩端的多項(xiàng)式系數(shù)及x1是f(x)的根可得

(5)

綜合(i)，(ii)可得, 當(dāng)O(A)≥3時(shí), 矩陣A的階O(A)∈{3,4,6}.

另一方面,階為3,4,6的矩陣確實(shí)存在

就是階分別為3,4,6的矩陣的例子.

② 當(dāng)矩陣A有三個(gè)互不相等的實(shí)特征值x1,x2,x3時(shí),由于O(A)=m,由引理5(1)可得

由于x1,x2,x3都是實(shí)數(shù), 故x1=±x3,x2=±x3, 這與x1,x2,x3兩兩不等矛盾!

(i) 當(dāng)x1=x2時(shí),此時(shí)有x1=x2=x3,由引理5(3)可得,存在3階復(fù)可逆矩陣T使得

這與O(A)≥3矛盾！

故

這與O(A)≥3矛盾！

? 由必要性可知階為1,2,3,4,6的矩陣均存在, 因此命題成立.

4 結(jié) 論

本文研究了整數(shù)環(huán)上三階矩陣方程An=kE的求解問(wèn)題，給出了該方程有解的充要條件.順利將文獻(xiàn)[11]拓展到三階矩陣情況,解決了該類(lèi)三階矩陣方程解的存在性問(wèn)題.

致謝本文作者非常感謝華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院袁平之教授的鼓勵(lì)與幫助.