一種快速發現考試作弊信號的方法

（國家無線電監測中心哈爾濱監測站，黑龍江 哈爾濱 150010）

0 引言

目前，考試作弊信號主要以2FSK、Lora 等數字信號的形式出現，其最大特點是出現時間短、傳輸信息量大，然而傳統無線電監測設備一般是基于奈奎斯特采樣定理完成快速掃描等對無線電信號的監測工作，很難滿足快速有效捕獲在可用頻譜上隨機出現考試作弊信號的需要。壓縮感知理論的信號采樣率可以在遠低于奈奎斯特采樣率的基礎上，近似完整還原接收信號，為快速、有效發現作弊信號提供了新的思路。

1 壓縮感知理論概述

2004 年，E.Candes 等學者證明了壓縮采樣（Compressive sampling）理論的正確性，即具備稀疏性的原始信號，可以用壓縮采樣理論確定采樣頻率對信號進行快速采樣，并且能夠通過非線性重構算法近似完整恢復。

1.1 稀疏表示

將原始信號投影到某種變換域進行變換后，若得到大部分為零的向量值，則該信號可以被稀疏表示。如果信號X 可以用一個M×N 階矩陣表示，其中行向量表示信號采樣樣本，列向量表示信號樣本屬性，通常這樣的M×N 矩陣是非稀疏矩陣，即存在很多非零元素。需要通過一個K×N 階的系數矩陣G 和一個M×K 階的字典矩陣H 相乘，使X=H×G，式中，G 就是一個稀疏矩陣，G 即為X 的稀疏表示。根據不同的信號特征，選取相應的變換基。

假定f（t）為離散時間信號：

式中，信號f 通過標準正交基ψ 變換后；x 為系數，x∈RN，f∈RN；ψ 為N×N 階矩陣。式（1）也可以寫作矩陣形式：

即信號f 通過ψ 變換域后，得到x 系數矩陣，x 即為f 的稀疏表示。

1.2 測量矩陣

測量矩陣φ（φ∈RM×N，M＜＜N）與變換矩陣ψ 相乘得到感知矩陣A，感知矩陣與信號稀疏表示x 相乘即可得到測量值y：

感知矩陣需滿足RIP（Restricted Isometry Property）條件，即測量矩陣φ 與ψ 變換基不相關，只需要找到滿足條件的測量矩陣φ 即可實現精確恢復原始信號。

x∈∑K={x：PxP0≤K}，即x 為k 階向量，式（4）得到的最小值為測量矩陣φ 的等距常量，0＜δk＜1，φ滿足k 階約束等距條件。在壓縮采樣前，不可預見哪些數據會丟失，此時必須選取隨機的測量矩陣，而通過壓縮采樣后，確定已丟失的數據后，此時測量矩陣必須對應壓縮采樣的結果，即已經可以確定測量矩陣，采樣后的測量矩陣不應為隨機矩陣。常見的測量矩陣包括：

（1）高斯隨機測量矩陣。假設測量矩陣φ 為K×N階，服從正態分布，且該正態分布的均值為零，方差為1/K。滿足RIP 條件，即φ 滿足重要分量長度為K，且測量數S 滿足式（5），則

根據式（1）、式（4）和式（5），測量數S 至少應滿足S=O（K/log（N/K）），則對于任意的ω＞0，精確恢復原始信號的概率為1-O（e-ωN）。

（2）二進制測量矩陣。與構造高斯隨機測量矩陣類似，假設測量矩陣φ 為K×N 階，服從伯努利分布P（φki=±1/K1/2）=1/2，且滿RIP 條件，測量數S 滿足式（5），則對于任意的ω＞0，精確恢復原始信號的概率為1-O（e-ωN）。這一事實的證明基于亞高斯矩陣最小奇異值的集合，對于滿足式（5）的S 稀疏信號精確重建性適用于二進制測量。

（3）傅里葉（Fourier）測量矩陣。通過隨機均勻選擇K 行，并對列進行重新規范化，使它們具有單位范數，從而得到部分傅里葉測量矩陣φ。若測量數S 滿足S≤C·K/（logN）4，則可極大增加恢復原始信號的概率。

1.3 重構算法

壓縮感知理論的重要組成部分，快速準確的通過重構算法對稀疏測量信號進行重構，精確恢復出原始信號也是壓縮感知理論得以迅速推廣的關鍵因素，也是當前壓縮感知理論的熱點研究領域。重構算法主要包括兩個要素：一是確定信號稀疏表示的系數位置，二是確定系數的值。已經證明滿足x=arg min PxP0 s.t.y=Ax 的x 惟一解，即可恢復出原始信號。這屬于NP-HARD 難題，只能通過求解l 0范數最小值的近似解或是求解l1范數最小值，并進行最優化處理來解決這個問題。常見的重構算法主要包括：MP（Matching Pursuit）、CoSaMP（Compressive Sampling MP）等。

2 作弊信號重構仿真

考試作弊信號在整個考試時間都是隨機出現的，一般在考試時間約2-3個小時內，作弊信號呈現短時并多次出現的特點，因此，作弊信號在時域上屬于稀疏信號。作弊信號在可用頻譜上也是隨機出現的，目前已發現的作弊信號大概涵蓋了150 MHz-1.2 GHz 頻段，但僅出現于其中較窄的頻段，比如：269 MHz-270 MHz，440 MHz-460 MHz 等，因此，作弊信號在頻譜上也屬于稀疏信號。

下面進行作弊信號仿真重構實驗：對于隨機離散稀疏信號x，信號長度N=256，假定稀疏度K=12，即只有12個非零值，稀疏矩陣為單位矩陣，測量數M=64，測量矩陣為滿足RIP 條件的高斯隨機矩陣，重構算法選用壓縮感知匹配跟蹤算法（CoSaMP）。信號重構結果如圖1所示，測量數M 與稀疏度K 的關系如圖2所示。

圖1中黑線表示恢復信號，從圖中可以看出通過壓縮感知匹配跟蹤算法近似完整的恢復出了原始信號，重構效果良好。從圖2中可以看出，大概在M=5K 時，可以完整的恢復出原始信號，雖然看起來測量數比稀疏度大很多，但相比于測量數至少需要2倍信號長度的奈奎斯特采樣定理，這個測量數已經很小了，相對縮短了信號恢復時間，提升了效率。

圖1 信號重構結果

圖2 測量數與稀疏度的關系

3 結束語

基于奈奎斯特采樣定理，現有的常規無線電監測設備很難及時有效發現在時域和頻域上隨機出現的考試作弊信號，而基于壓縮感知理論，只需滿足一定的條件就能夠更快發現隨機出現的作弊信號。通過實驗，理論上驗證了基于壓縮感知理論重構考試作弊信號的有效性。