基于壓縮感知的Logistic多渦卷混沌保密通信

黃 沄，張 鵬

(1.重慶郵電大學資產管理處， 重慶 400065； 2.重慶郵電大學教務處， 重慶 400065)

混沌信號具有非周期性、類似隨機噪聲的寬頻譜特性、良好的相關性等統計特性，因此在保密通信中有著巨大的潛在價值[1]。混沌在保密通信系統中的研究取得了一定的研究成果，如張定梅[2]提出了一種基于3個半導體環形激光器進行雙路混沌通信的方案，引入交叉反饋后，混沌信號的質量得到了明顯的改善，但在傳輸距離上對通信質量的提升有一定的制約。Zirkohi[3]提出一種基于多項式模糊模型的同步多渦槳混沌系統的安全通信設計方法，采用基于多項式-模糊模型的混沌同步方法實現了系統的自適應混沌同步，但效率不高。肖成龍等[4]運用Lyapunov指數與NIST測試驗證了該混沌系統的混沌特性及隨機性，提高安全性，但對信號傳輸性能有一定的影響。王燦妮等[5]以Logistic映射迭代的數據替換驅動系統的參數，建立一種參數調制的混沌保密通信方案，但僅局限于圖像保密通信方案。劉林芳等[6]應用混沌陣子相空間對稱陣子和同步，提出了基于相空間對稱混沌陣子的保密通信系統，可滿足其在大規模保密通信中的應用，又能保持原混沌陣子的優良特性，但復雜度比較高。

針對目前混沌保密系統存在的問題和不足[7-10]，現以Logistic混沌為研究對象，從混沌信號的復雜度與傳輸長度角度，引入多渦卷思想，將Logistic混沌進行改進，同時引入壓縮感知思想，采用Logistic混沌對信號進行長度的控制，得到的重構信號用于異步數字保密通信系統，并驗證該信號保密通信處理方法的可行性。

1 壓縮感知理論

假設X∈RB×1表示一維信號，信號X在一組B×B維正交基η={η1，η2，…，ηB}上展開為

(1)

式(1)中：αk=，X、α都是B×1維度向量。當信號X在某個正交基η上存在k個非零系數(k?B)αk時，則η表示信號X的稀疏基，α為含有k個值的B維向量。實際通信過程中，信號不會是稀疏的，需要經過式(1)的轉換，即實現通信信號的稀疏化。比較常見的稀疏基η有正余弦基、小波基、Chirplet基等。

將信號XB×1投射到一組測量矩陣φA×B(B?A)上，從而得到X的A個采樣數據YA×1，即

Y=φX

(2)

在函數的表示上，可以將式(1)、式(2)相結合，得到采樣數據Y與變換系數α之間的函數關系為

Y=φ×X=φ×η×α

(3)

根據上面的描述，壓縮感知的數據采集描述如圖1所示。

圖1 壓縮感知的數據采集過程Fig.1 Acquisition process of compressed sensing data

由圖1可知，待測信號矩陣，假定它是一個二維矩陣(A×B)，通過壓縮后變為一個一維矩陣(A×1)，同時需要考慮基于一維矩陣(A×1)需要還原為待測的信號矩陣(A×B)，即需要保證正交稀疏基η、待測矩陣φ不相關，文獻[11-12]中還進一步提到φ必須滿足限制等距性(restricted isometry property, RIP)準則，即對任意含有k個值的B維向量h，β為信號的變換系數，待測矩陣φ應該滿足：

(4)

2 Logistic混沌的多渦卷改進研究

由于Tent混沌[13]與Logistic混沌[14]在信號表示上存在拓撲共軛的關系，引入多渦卷思想，Tent混沌已經可以拓展為分段Tent混沌，相應地，Logistic混沌也可以采用分段的形式，從而有助于改善其密鑰空間小、序列復雜度低的問題。其中范九倫等[15]提出一種分段Logistic混沌映射方法，在試驗過程中對分段映射的執行效率及信號傳輸的安全性進行了驗證，其中，分段Logistic混沌表示為

(5)

式(5)中對應的參數an∈(0,1)，θ∈[0, 4]，需要強調的是分段Logistic混沌具有較強的非線性性質，因為分段并不會改變該非線性函數的初始值區間、參數范圍。蔡丹等[16]在范九倫研究的基礎上進一步分段，提出了三段式的Logistic混沌信號處理方法，定義為

(6)

王亥等[17]進一步改進Logistic混沌，但是這個改進并不是分段，混沌函數定義為

(7)

該函數在表示上與一般Logistic混沌函數相同，但是在參數的取值上有明顯的改進，其中an的取值范圍為[-1, 1]，同時將θ的取值范圍縮減為[0, 2]，但是整體映射空間與原有Logistic混沌映射一致。

范九倫在王亥算法基礎上進一步引入多渦卷的思想，將Logistic混沌進行分段[18]，通過試驗仿真證明該分段Logistic混沌的各項性能均好于一般Logistic混沌，張薇等[19]在研究擴頻通信領域的通信保密性問題時，也引用了該方法，該算法的函數為

(8)

式(8)中繼承了王亥算法的優點[17]，即將an的取值范圍設置為[-1, 1]，將θ的取值范圍調整為[0, 2]，同時引入了分段的方法，但是算法在實現過程中適當增加了復雜度，保證了加密運算的安全性。現從Logistic混沌的安全性角度，引入范九倫等提出的兩段式Logistic混沌數據處理算法[18]。

3 基于Logistic的改進混沌-伯努利測量矩陣算法

混沌是非線性系統所獨有且一直都存在的一種非周期運動形式，因為混沌系統產生的數據集具有確定性、隨機性等特點，因而在非線性關系、信號調制、保密通信等領域都具有較好的應用。

結合王亥等提出的Logistic混沌模型，在θ取值范圍調整設置為[1.872, 2]內，a0的取值設置為0.23、0.36或者0.68時，對應的Lyapunov指數均大于0，由Logistic系統產生的隨機序列{an}經過式(9)符號函數映射成序列{gn}，其中：

(9)

在文獻[20]中提到將θ設置為2.0時，當前的Logistic系統產生的{gn}滿足伯努利(Bernoulli)分布，同時也滿足RIP性質，此時經由Logistic系統產生的序列{gn}可以作為壓縮感知的測量矩陣。首先對Logistic混沌進行二段式處理，使其復雜度提高，整體映射空間與原有Logistic混沌映射一致，具體構造測量矩陣算法步驟如下。

(1)經過反復試驗對比，證實在θ設置為2.0，a0的初值設置為0.23、0.36或者0.68時，重構后的均方誤差(MSE)分別為0.096 57、0.083 15及0.088 71，取值略微存在差異，故將對應參數設置為θ=2.0，a0=0.36，通過改進Logistic混沌系統產生的混沌序列{gn}，對應序列長度為n=A×B-1。

(2)將步驟1生成的序列{an}通過式(9)得到符號函數映射序列{gn}。

(3)對生成的序列{gn}進行長度為B的截取，從而得到A×B維的測量矩陣φ。根據文獻[21]分析，傳統的Logistic混沌算法的時間復雜度超過O(B2)，而本文模型對應的時間復雜度為O(A×B)，其中A?B，通過仿真可以對本文改進混沌-伯努利(Chaos-Bernoulli)算法得到的序列與常規伯努利隨機序列進行對比，如圖2所示。

圖2 伯努利隨機序列與改進混沌-伯努利序列對比Fig.2 Comparison of Bernoulli random sequences with improved Chaos-Bernoulli series

在圖2中對比采用混沌-伯努利生成的隨機序列、伯努利生成的隨機序列，會發現前者產生的隨機序列具有更好地平均性、穩定性，在對應統計點-1、1的個數趨近于相同。

4 實驗仿真與分析

以Logistic混沌作為研究對象，分別從信號的保密性和長度角度，引入了多渦卷、壓縮感知思想，從而生成改進型混沌-伯努利測量矩陣。首先對通過一維信號進行仿真，從而驗證測量矩陣抗干擾特性，然后將該矩陣信號用于異步數字保密通信系統中，驗證信號的還原性及安全性。

4.1 一維信號的仿真試驗

選取長度B=256的一維信號，測量數A為B的一半，即壓縮比A/B=1/2，信號重構借鑒正交匹配追蹤(orthogonal matching pursuit, OMP)算法，測試結果如圖3所示。

圖3 一維信號的改進混沌-伯努利測量矩陣的重構結果 Fig.3 Reconstruction results of one-dimensional signal measurement matrix based Improved Chaos-Bernoull

由圖3可知，采用的改進混沌-伯努利測量矩陣可以對原始信號進行重構，重構信號波形與原有的波形幾乎一致。在信號長度為B=256，同時測量數A=128的情況下，即壓縮比A/B=1/2時，重構信號波形與原有的波形幾乎一致；當信號長度B和測量數A取不同值時測試各個測量矩陣的峰值信噪比(peak signal to noise ratio, PSNR)，如圖4所示。

圖4 一維信號在不同測量矩陣下的PSNR對比Fig.4 PSNR comparison of one-dimensional signals under different measurement matrices

由圖4可知，采用改進混沌-伯努利測量矩陣所得到的波形表現較為平穩，即伴隨著壓縮比的不斷提高，對應的PSNR也穩步上升，同時PSNR值均優于其他測量矩陣。

4.2 異步數字保密通信系統的設計

假設p(s)是原始二進制信號序列，對每個比特進行預處理，經由式(10)得到對應的p′(s)，函數表達式為

p′(s)=p(s)-{[p(s)+1]mod2}

(10)

經由式(8)可以得到A(t)，其中含有a1(t)、a2(t)、a3(t)及a4(t)共4個狀態變量，它們的值對應的區間不同，按照一定比例將狀態變量A(t)的振幅調整到同一個區間范圍內[Amin,Amax]，即B(t)，通過式(11)可以將a1(t)、a2(t)、a3(t)及a4(t)轉換為b1(t)、b2(t)、b3(t)及b4(t)轉換公式為

(11)

式(11)中：J為信號增益的倍數。

在B(t)中需要進行閾值的監測，即從B(t)內剔除部分在[-u,u]內的值，從而得到BC(t)，其中u(u≥6)表示噪聲系數，同時將BC(t)對應時刻的差值區間定義為[A,E]，需要強調這里A表示的僅僅是BC(t)對應時刻的最小值，其中A=Amin-Amax，E=Amax-Amin，同時將[A,E]劃分為4個子區間，分別為[A,B)、[B,C)、[C,D)及[D,E]。

對于p′(s)中每一個連續比特p′(2i-1)、p′(2i)，由ni∈N決定從BC(t)的4個狀態變量中選擇其中bni(t)∈BC(t)，取其中ci+2個連續變量值，對每個變量序列的最后兩個值進行修改，從而得到b(t)，如圖5所示。

圖5 b(t)的組成Fig.5 The composition of b(t)

在圖5中，對于每一個選中的狀態變量bni(i)，其中有限個不變狀態用連接符“-”代替，其中長度ci∈Ck，其中兩個連續的符號“○”表示已修改的變量值，將其用于掩蓋p′(s)中兩個連續比特p′(2i-1)、p′(2i)，因而b(4)是經由4個狀態變量混合而成的序列。假定ti=[2(i-1)+1+sum(C[1∶i])]×Tb，其中i=(1,2,3，…，n)/2，k=Tb。Tb表示兩個連續發射信號之間的時間間距。

對于任意b(ti),b(ti+k)∈b(t)，如果|b(ti)|-|b(ti+k)|∈[-L,L]，則需要調整其值使得|b(ti)|-|b(ti+k)|不在[-L,L]的范圍內，否則在接收端信號無法正常恢復，通過式(12)，實現從b(t)轉化為b′(t)，在該公式里需要根據[A,E]的4個子區間進行轉換，轉換公式為

(12)

e(t)=p′(s)b′(t)

(13)

假定t=t0時刻，應用式(13)，可以掩蓋信號p′(s)、狀態變量信號b′(t)，其中b′(t)、ci以及e(t)之間的關系如圖6所示，經過處理后，e(t)成為加載有意義信號的混沌信號，但是此時只能在無噪聲的物理信道中傳輸。

考慮到物理信道肯定有噪聲干擾，因而添加高斯噪聲r(t)到e(t)中模擬信道噪聲，從而實際發送信號e′(t)表示為

e′(t)=e(t)+r(t)

(14)

經由上述的分析，本研究搭建的異步保密通信系統，涉及狀態變量的轉換[b(t)]、時鐘信號的變換[p(s)]以及輸出信號[e(t)]的計算等，整個模型如圖7所示。

圖6 b′(t)、ci以及e(t)之間的關系Fig.6 The relationship among b′(t),ci and e(t)

圖7 異步保密通信系統的發送端信號調制流程Fig.7 The process of signal modulation at the sending end of an asynchronous secure communication system

由圖7可知，存在3個過程：首先，狀態信號變量的調制，從改進Logistic混沌矩陣獲取信號后經由信號放大，明顯噪聲信號的剔除；其次，通過隨機選取得到b(t+k)，經過信號調制得到b′(t)，同時設置一個時鐘信號p(s)用于確定狀態變量的類型；最后，將上述信號進行混合得到e(t)，再添加一定噪聲得到e′(t)。

異步通信系統接收端，需要對信號進行解調，即接收信號e′(t)后，通過延時得到e′(t+k)，其中t∈(2QTb, (2Q+1)Tb)，Q=0, 1, 2, 3，…，同時k=Tb。假定|e′(t)|-|e′(t+k)|在BC(t)對應時刻值區間[A,B)內，且e′(t)<0，e′(t+k)<0，通過式(12)、式(13)可以得到p″(s)=11，具體的信號解調計算方法如圖8所示。

圖8 異步保密通信系統的接收端信號解調方法Fig.8 The receiving end signal demodulation method of asynchronous secure communication system

由圖8可知，信號解調根據不同的狀態值域[A,B)、[B,C)、[C,D)及[D,E]可以分為4類，不同類別根據算式e’(t)、e’(t+k)的值域可以進一步劃分為16種子信號值。

4.3 基于改進Logistic混沌信號的安全性模擬分析

在狀態變量BC(t)的區間內，設置信號增益J=2，噪聲系數L=6，采用基于改進Logistic混沌得到的3組測試值用于該異步保密通信系統，對應的誤比特率/信噪比(bit error rate/signal noise ratio, BER/SNR)關系如圖9所示。

圖9 在保密通信系統中SNR-BER之間的關系Fig.9 The relationship between SNR and BER in secure communication systems

由圖9可知，伴隨著信噪比的提高，誤比特率明顯下降，當信噪比提高至4及以上，對應的誤比特率會進一步下降至0，即增加信噪比，數字信號可以從混沌信號中恢復。

對于定義的4種不同區間的狀態變量A(t)，首先需要將其調整在同一個區間內，剔除部分噪聲系數在[-u,u](u≥6)內的值，從而得到BC(t)，否則該區間的值會被高斯噪聲掩蓋，會導致解調時發生比特錯誤，其中，BC(t)對應b1(t)、b2(t)、b3(t)及b4(t)對應時間變換的曲線如圖10所示。

假定原始信號p(s)的長度為270，通過混沌得到的信號b′(t)如圖11(a)所示，該信號是由式(8)得到不同狀態調整后的結果，可以看出信號還是混沌的，通過原始信號、混沌信號合并輸出得到的e(t)以及加了高斯噪聲的e′(t)也是混沌的信號，如圖11(b)所示。

圖10 BC(t)中不同時刻的狀態變量值Fig.10 The values of the state variables at different time in BC(t)

圖11 混沌信號中的b′(t)、e(t)以及e′(t)Fig.11 b′(t),e(t) and e′(t) in chaotic signals

這里假定原始信號p(s)表示為101110111011010110110111010001000，此處設置狀態變量信號增益J=2，噪聲系數u=6，信噪比控制在[-5, 10]的范圍內，可以看到經由混沌信號混合的信號p′(s)可以還原成p(s)，如圖12所示。

圖12 信號解調前后的p(s)、p′(s)以及p″(s)Fig.12 p(s),p′(s) and p″(s) before and after signal demodulation

由圖12可知，原始信號p(s)通過混合后，波長幅度增加，經過還原后，發生變換的波形p″(s)還原為p(s)，即通過信號解調，混沌處理后的信號可以被還原。在信號調制過程中，信號的變換過程為：A(t)→B(t)→BC(t)→b(t)→b′(t)→e(t)→e′(t)，發送信號e′(t)是由混沌信號p′(s)和高斯噪聲合成的，攻擊者即便攔截e′(t)，如果不知道改進Logistic混沌的初值，同時又不知道該混沌系統的段函數，同時不知道子區間的峰值(B,C,D,E)，就不可能解調出有意義的信號。

首先就Logistic混沌在信號保密性和信號長度分別引入多渦卷思想、壓縮感知的方式，使得Logistic混沌的難度得到進一步增加，同時密碼長度并沒有明顯增加，即保證了信號的保密性，同時并沒有增加解碼量，從而證明設計的改進Logistic混沌在保密通信領域是有效的。

5 結論

針對混沌密碼在保密通信領域的應用，以Logistic混沌作為研究對象，針對該混沌方式存在的不足，從信號保密難度及信號長度的角度，分別引入多渦卷、壓縮感知等方式，提出改進Logistic混沌的信號重構方式。相比于伯努利測量矩陣，采用本文方法進行信號重構可以取得較好的效果，同時信噪比指標出現一定幅度的提升，混沌處理后的信號增加信噪比，對應的信號誤比特率明顯降低，同時信號可以被還原，在改進Logistic混沌方式的信號調制下，信號難以被解碼，從而證明采用該混沌方式可以提升通信信號的保密性，具有一定實用價值，今后可以在通信系統應用中做進一步的性能分析。