本是同根生
——淺談?wù)叶ɡ砼c余弦定理的關(guān)系

安徽省界首市界首中學(xué) 袁 夢(mèng)

阜陽(yáng)市教科所王志剛副所長(zhǎng)在一次教研活動(dòng)中說(shuō)：“正弦定理和余弦定理的本質(zhì)是一樣的。”這引起了筆者的極大興趣。經(jīng)過(guò)一段時(shí)間的思考和研究，筆者認(rèn)為正弦定理和余弦定理是“本是同根生”的關(guān)系。下面將從以下幾方面來(lái)加以說(shuō)明，如有不當(dāng)之處，請(qǐng)批評(píng)指正。

一、三角形邊角之間的關(guān)系

我們可以按照章建躍博士的整體建構(gòu)理論（研究對(duì)象是誰(shuí)？構(gòu)成要素是什么？要素與要素之間的關(guān)系有哪些？）對(duì)三角形進(jìn)行重新建構(gòu)，會(huì)發(fā)現(xiàn)三角形是由三條線(xiàn)段組成的一個(gè)封閉圖形；它的構(gòu)成要素是三條邊和三個(gè)角。那么，要素與要素之間的關(guān)系有哪些？

1.邊與邊的關(guān)系

（1）直角三角形：兩直角邊的平方和等于斜邊的平方（勾股定理）。

（2）一般三角形：兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊。

2.角與角的關(guān)系

（1）直角三角形：兩個(gè)銳角度數(shù)之和等于直角。

（2）一般三角形：三個(gè)內(nèi)角之和等于180o（內(nèi)角和定理）。

3.邊角之間的關(guān)系

（1）直角三角形：銳角的正弦等于對(duì)邊長(zhǎng)除以斜邊長(zhǎng)，銳角的余弦等于鄰邊長(zhǎng)除以斜邊長(zhǎng)。

（2）一般三角形：我們可以類(lèi)比直角三角形中邊角關(guān)系歸納猜想出正弦定理：在一個(gè)三角形中，各邊和它所對(duì)角的正弦的比相等，由直角三角形中的勾股定理可以猜想出余弦定理：對(duì)于任意三角形，任何一邊的平方等于其他兩邊的平方和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍。

從以上的發(fā)現(xiàn)過(guò)程和結(jié)果來(lái)看，正弦定理和余弦定理都是反映三角形邊角之間的關(guān)系，是三角形中的內(nèi)隱關(guān)系，就像內(nèi)角和定理一樣。所以它們是同根生的關(guān)系，其本質(zhì)是一樣的。

二、我中有你，你中有我

在三角形中有一個(gè)重要的結(jié)論：在△ABC，角A，B，C 所對(duì)的邊分別為a，b，c，則a=b cosC+c cosB。

1.由正弦定理推導(dǎo)余弦定理

同理可證：

2.由余弦定理推導(dǎo)正弦定理

三、兩定理能解決的公共問(wèn)題

從解方程的角度可以清楚地知道利用正弦定理可以解決以下解三角形問(wèn)題：

（1）已知三角形的兩角與任一邊，求其他的邊和角；

（2）已知三角形的兩邊與其中一邊的對(duì)角，求其他的邊和角。利用余弦定理可以解決以下解三角形問(wèn)題：

（1）已知三角形的兩邊與其夾角，求其他的邊和角；

（2）已知三角形的三邊，求其他的邊和角；

（3）已知三角形的兩邊與其中一邊的對(duì)角，求其他的邊和角。

顯然，這個(gè)問(wèn)題“已知三角形的兩邊與其中一邊的對(duì)角，求其他的邊和角”是兩定理都可以解決的。但在解決這個(gè)問(wèn)題時(shí)，無(wú)論用哪個(gè)定理求解都要注意是否有解？有幾個(gè)解？

四、教研感悟

1.專(zhuān)家引領(lǐng)促青年教師快速成長(zhǎng)

一個(gè)學(xué)校要想有較好的發(fā)展，就必須有一批業(yè)務(wù)精湛的教師，然而事實(shí)是，很多學(xué)校別說(shuō)有一批，就算有幾個(gè)也算不錯(cuò)了，在這種情況下，導(dǎo)致很多青年教師成長(zhǎng)緩慢。還好現(xiàn)在網(wǎng)絡(luò)發(fā)達(dá)，線(xiàn)上教研已成常態(tài)，如果學(xué)校或個(gè)人不能借助“專(zhuān)家的資源”，就會(huì)錯(cuò)過(guò)絕好的發(fā)展機(jī)會(huì)。本人通過(guò)這次王志剛所長(zhǎng)在教研群里的引領(lǐng)，就有了對(duì)解三角形內(nèi)容的更深刻的理解，有豁然開(kāi)朗的感覺(jué)。所以一個(gè)學(xué)校或一個(gè)地區(qū)的青年教師要想快速成長(zhǎng)，就應(yīng)該主動(dòng)請(qǐng)專(zhuān)家指導(dǎo)。

2.各顯神通，教學(xué)相長(zhǎng)

我把此次教研經(jīng)歷和學(xué)生分享，并讓學(xué)生進(jìn)行正弦定理和余弦定理的互相證明，結(jié)果學(xué)生表現(xiàn)出了和平時(shí)不一樣的積極性，最后在我們共同的努力下有了一次奇妙之旅，更有了教學(xué)相長(zhǎng)的快樂(lè)，在不知不覺(jué)中滲透了數(shù)學(xué)運(yùn)算，提升了核心素養(yǎng)。通過(guò)探討正弦定理和余弦定理的關(guān)系去發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的本質(zhì)，只有發(fā)現(xiàn)本質(zhì)，才會(huì)覺(jué)得數(shù)學(xué)有意思，才會(huì)覺(jué)得學(xué)數(shù)學(xué)有意義，才會(huì)利用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問(wèn)題。