利用“上位數(shù)學(xué)知識”研究圓的面積教學(xué)

江蘇省無錫市新吳區(qū)碩放實(shí)驗(yàn)小學(xué) 沈依依

比較小學(xué)數(shù)學(xué)和初中、高中數(shù)學(xué)中圓的概念可知，小學(xué)數(shù)學(xué)看重半徑和直徑間的長度關(guān)系，而初中數(shù)學(xué)看重圓的形成過程，高中更看重于圓的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系。為了給初中、高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)做準(zhǔn)備，小學(xué)教學(xué)時(shí)，可以重點(diǎn)讓學(xué)生學(xué)習(xí)用圓規(guī)畫圓。盡量培養(yǎng)學(xué)生的動態(tài)思維。除此之外，多引導(dǎo)學(xué)生探究半徑和直徑之間的數(shù)量關(guān)系，讓學(xué)生對數(shù)字更加敏感，今后用方程表示圓時(shí)就不會感到困難。

一、借助多媒體手段，推導(dǎo)公式

既然初中數(shù)學(xué)強(qiáng)調(diào)動態(tài)的變化，那么我們可以借助多媒體手段讓數(shù)學(xué)知識“動”起來，讓學(xué)生看到圓的動態(tài)形成過程，同時(shí)在動態(tài)的變化中推導(dǎo)數(shù)學(xué)公式，這是一件非常有意思的工作。

小學(xué)數(shù)學(xué)是如何推導(dǎo)出圓的面積的呢？其主要是把圓轉(zhuǎn)化為我們原先學(xué)過的圖形來計(jì)算它的面積。首先把一個(gè)圓二等分、四等分、八等分、十六等分、三十二等分等等，一直等分下去，然后再把它上下拼接起來，接近于長方形。等分得越密集，拼成的圖形越接近長方形，如下圖所示。

隨后探討“長方形的長”和“圓的周長”的關(guān)系，探討長方形的寬和圓的周長的關(guān)系。由于圓的面積等于長方形的面積，化簡得到圓的面積公式：S=πr2。實(shí)際教學(xué)中，我們一般通過畫圖或者是折疊圖形的方式來實(shí)現(xiàn)圓的等分工作和拼接工作，這就存在一定的局限性。我們沒有辦法等分得特別細(xì)，也就是說，學(xué)生對于由“曲”到“直”這個(gè)過程不熟悉。老師借助多媒體技術(shù)設(shè)置不同的參數(shù)，可以實(shí)現(xiàn)圓的不同等分，從二等分、四等分一直到后面的等分都可以實(shí)現(xiàn)。老師還可以將其做成動畫，讓學(xué)生看到由“曲”到“直”的連續(xù)變化過程，原來是由“曲”慢慢過渡到“直”的，這樣學(xué)生今后會用動態(tài)的觀點(diǎn)看待數(shù)學(xué)問題。初中數(shù)學(xué)老師再次引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識圓時(shí)，學(xué)生通過想象就能夠再現(xiàn)圓的動態(tài)形成過程。

現(xiàn)在，越來越多的老師看到了多媒體的優(yōu)勢，但是很少有老師能夠?qū)⒍嗝襟w的價(jià)值發(fā)揮到最大。老師一般都借助多媒體尋找數(shù)學(xué)資料，開闊學(xué)生的視野，這些都是多媒體的簡單應(yīng)用。目前，互聯(lián)網(wǎng)上涌現(xiàn)出越來越多的教學(xué)軟件，助力老師實(shí)現(xiàn)各種各樣的教學(xué)功能。老師在課下應(yīng)當(dāng)關(guān)注互聯(lián)網(wǎng)發(fā)展的熱點(diǎn)，積極了解各個(gè)軟件，真正發(fā)揮多媒體的價(jià)值，為教育事業(yè)保駕護(hù)航。

二、整理具體的習(xí)題，滲透思想

通過上述的討論我們得知，高中數(shù)學(xué)中“圓”這部分會滲透一些數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法，比如幾何法、分析法、極限法等。小學(xué)數(shù)學(xué)老師就可以朝這個(gè)方向?qū)ふ伊?xí)題，讓學(xué)生過早地了解到這些方法，不僅可以增長知識，還能夠做好鋪墊教學(xué)。

例如：把一只羊拴在一塊長8 米，寬6 米的長方形草地上。山羊的繩長2 米，那么這只羊吃到草的最大面積是多少平方米？如果要使羊吃草的面積最小，應(yīng)該將羊拴在這個(gè)長方形草地的什么位置？

我們首先要讓學(xué)生了解長方形的草地是個(gè)什么樣的幾何圖形、羊活動的范圍是什么樣的幾何圖形。了解這兩個(gè)幾何圖形的特點(diǎn)之后，才能夠很好地解決問題。顯然，我們主要了解長方形和圓的幾何特點(diǎn)。羊活動的范圍應(yīng)該小于草地的面積，所以，這個(gè)“圓”應(yīng)該在“長方形”之內(nèi)。除此之外，題目中還有一問：要使羊吃草的面積最小，應(yīng)該將羊拴在這個(gè)長方形草地的什么位置？我們要把長方形“定”住，讓“圓”活動起來，這也是一種動態(tài)的思想，主要對應(yīng)的是數(shù)學(xué)中的幾何法。老師要求學(xué)生將這道題想透徹，最好還能夠解決這道題目的變式題，這才能真正找到數(shù)學(xué)思想的入門之道。

又如：有一個(gè)周長為62.8 米的圓形草坪，準(zhǔn)備為它安裝自動旋轉(zhuǎn)噴灌裝置進(jìn)行噴灌。現(xiàn)有射程為20 米、15 米、10 米的三種裝置，你認(rèn)為應(yīng)該選哪種比較合適？安裝在什么地方？在研究圓的面積時(shí)，還有一種典型的方法是分析法。我們想要解決這道題目，應(yīng)準(zhǔn)確地分析題目中的各個(gè)信息。比如，選擇不同射程的裝置會有什么樣的后果？怎樣選擇才算合適？得達(dá)到什么標(biāo)準(zhǔn)？安裝在什么地方才能夠?qū)崿F(xiàn)自動旋轉(zhuǎn)？這也體現(xiàn)了數(shù)學(xué)思想。

其實(shí)，習(xí)題訓(xùn)練重要的不是解題過程的講解，而是學(xué)生分析題目的過程。例如，學(xué)生在分析這道題目的時(shí)候遇到了什么樣的問題，又是怎么解決的，今后遇到類似的問題應(yīng)該怎么思考等，這些需要老師站在學(xué)生的角度思考。

這節(jié)課主要是分析了圓面積的上位知識，了解初中課程和高中課程中有關(guān)圓的內(nèi)容，對小學(xué)“圓的面積”這一節(jié)的教學(xué)進(jìn)行了一些改進(jìn)，使其更好地為初中和高中課程的教學(xué)做鋪墊。小學(xué)數(shù)學(xué)是初中、高中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，教師要引導(dǎo)學(xué)生打好數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基石。