基于一個不等式的分析與推廣

陜西省西安市經開第三中學 韓文樂

一、基礎理論知識預備

回看2019 年的高考數學全國統一卷，我們發現對于不等式的考查，從最初的簡單的直接求解，到近幾年具有巧妙思維的求解，考題越來越趨向靈活性，考查的重點從要求考生會求解，到要求考生靈活運用，不等式的求解也越來越趨向于對基礎知識的拓展，考查學生的邏輯思維及知識拓展能力。

高中階段對不等式的求解一般參考不等式的縮放技巧，不等式的縮放是高考考查重點知識。常見的縮放技巧有以下幾種：（1）“添舍”放縮，針對不等式的一邊進行添項或者減項。（2）放縮分式，根據已知，若分式的分子變大，則分式值相應變大，若分母變大，則相應的分式值變小。一個真分式，分子、分母同時加上同一個正數，則分式值變大，可達到證題目的。（3）裂項放縮，如果不等式含有與自然數n 有關的n 項和，那么可采用數列中裂項求和等方法來解題。（4）公式放縮，利用已知的公式或恒不等式，把欲證不等式變形后再放縮，進行求解。（5）換元放縮，針對不等式的某個部分進行換元，即可發現問題的本質。（6）單調函數放縮，根據題目特點，通過構造相應的特殊單調函數，利用函數的單調性質進行放縮求解……本文中借助2019 年高考的一個不等式特例，對它進行了分析與求解，進而通過縱向（次數升高）和橫向（參數增加）推廣討論，得出一個一般不等式，這個一般不等式對其他類似不等式的求解具有參考意義。

二、幾類特殊不等式的基本解法

1.一般基礎不等式

2.常見的幾個重要不等式

不等式的求解最能考查學生的思維能力以及知識變通能力。這部分的題型紛繁多樣，各具特點，學生在看到題時，第一時間會感到困惑，無從下手。學生除了熟悉不等式法則以外，還得積累更多的題型，掌握出題人的套路，做到舉一反三。以下我們總結幾種常見的重要的不等式的求解技巧：

3.幾種常用的著名不等式

（1）出現頻率較高的“平均不等式”：

其中當且僅當a=b 時取“=”號。

簡而言之，即調和平均≤幾何平均≤算術平均≤平方平均。

上述式可變形為：

（2）有關“冪”平均的不等式：

不難看出，不等式的求解對拓展思維的提升要求較高，學生在思考的同時可以結合不等式的縮放技巧，有針對性地分析問題，也可結合數學中的歸納方法，歸納總結求證問題。本文對于不等式的證明與分析，從縱向（次數升高）和橫向（參數增加）兩個方面進行推廣，此類求解方法對同類不等式的解決有著重要的參考作用。