高速電主軸轉(zhuǎn)子-軸承系統(tǒng)動力學(xué)特性分析

高 峰， 賈偉濤， 李 艷

(1.西安理工大學(xué) 教育部數(shù)控機床及機械制造裝備集成重點實驗室， 陜西 西安 710048；2.西安理工大學(xué) 陜西省制造裝備重點實驗室， 陜西 西安 710048)

高速加工是一種先進制造技術(shù)，廣泛應(yīng)用于航空航天、模具等高端裝備制造業(yè)，極大地提高了生產(chǎn)率和加工精度，降低了生產(chǎn)成本[1]。電主軸作為高速數(shù)控機床核心部件，將原動力-傳動裝置-執(zhí)行器-控制系統(tǒng)集成為一體，實現(xiàn)高速運行。主軸單元是影響電主軸系統(tǒng)穩(wěn)定性的關(guān)鍵部件，軸承剛度對電主軸轉(zhuǎn)子-軸承系統(tǒng)動態(tài)特性有著重要影響[2-5]。

文獻[6-7]建立了考慮預(yù)緊的高速角接觸球軸承動力學(xué)模型，以7012/CD軸承為例，分析預(yù)緊對高速角接觸球軸承動態(tài)剛度的影響。Zhang等[8-10]建立了角接觸球軸承在不同預(yù)緊機制下的剛度分析模型。結(jié)果表明：在固定位置預(yù)載荷作用下，該軸承具有較好的剛度穩(wěn)定性。采用時程圖、相圖和Poincaré圖分析了不同支承下，轉(zhuǎn)子軸承系統(tǒng)的動力學(xué)特性，結(jié)果表明，系統(tǒng)的動態(tài)特性隨軸承剛度及轉(zhuǎn)速的變化呈現(xiàn)出倍周期、準周期和混沌運動特性，可用于預(yù)測轉(zhuǎn)子軸承系統(tǒng)的動力學(xué)響應(yīng)[11-14]。文獻[15-18]建立不同支承下高速轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的非線性模型，通過求解Floquet乘子矩陣的對數(shù)確定原系統(tǒng)的穩(wěn)定性，并得到系統(tǒng)穩(wěn)定極限曲線。基于穩(wěn)定性理論[19]，給出了二維動力系統(tǒng)在不動點處的局部穩(wěn)定性[20-21]。高速旋轉(zhuǎn)電主軸，由于質(zhì)量偏心誘發(fā)的離心力是主要的激勵源之一[22-23]。由于電主軸軸徑較小，出廠前又做了很好的動平衡，因而很多學(xué)者[24-25]在進行動力學(xué)分析時，通常忽略軸系離心力對主軸系統(tǒng)動力學(xué)特性的影響。實際上在高轉(zhuǎn)速狀態(tài)下，軸系離心力的影響是客觀存在的。Wang等[26]研究了高速電主軸系統(tǒng)在離心力和軸承剛度軟化效應(yīng)下的動態(tài)性能。結(jié)果表明：上述因素對電主軸的動態(tài)性能影響較大。

考慮離心力及軸承剛度軟化效應(yīng)，以150MD25Z7.5電主軸為研究對象，建立電主軸轉(zhuǎn)子-軸承系統(tǒng)的非線性動力學(xué)模型，分析不同運行參數(shù)下，電主軸系統(tǒng)動力學(xué)響應(yīng)，并討論了動力系統(tǒng)不動點處的局部穩(wěn)定性。

1 動力學(xué)模型

高速電主軸由轉(zhuǎn)子、定子、轉(zhuǎn)軸、前后支承軸承、殼體等基本機械部件組成。圖1為高速電主軸的基本結(jié)構(gòu)形式，轉(zhuǎn)子和定子置于主軸前后軸承之間。

圖1 電主軸結(jié)構(gòu)簡圖

對于高速電主軸，根據(jù)其轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)特點，將其簡化為包含質(zhì)量不平衡的轉(zhuǎn)子-軸承系統(tǒng)模型，見圖2。其中，S為圓盤幾何中心，G為圓盤質(zhì)量中心，e為偏心距。模型中轉(zhuǎn)子兩端由角接觸球軸承B7008支承，轉(zhuǎn)軸長為310 mm，轉(zhuǎn)軸質(zhì)量為3.699 kg。

圖2 角接觸球軸承支承下不平衡轉(zhuǎn)子動力學(xué)模型

角接觸球軸承的徑向剛度k1可近似按下式計算[27]：

(1)

式中：z為滾動體數(shù)目；Db為滾動體直徑；α為軸承接觸角；F0為軸承預(yù)緊力。

計算可得：k1=2.248 8×109N/m。

利用等效彈簧和阻尼建立具有非線性支承的電主軸轉(zhuǎn)子軸承模型。在不平衡質(zhì)量激勵下，電主軸轉(zhuǎn)子-軸承系統(tǒng)的運動方程如下：

(2)

式中：m,e和ω分別是轉(zhuǎn)子的質(zhì)量、質(zhì)量偏心率和轉(zhuǎn)速；c,k1和k3分別代表轉(zhuǎn)子支承的阻尼、線性和非線性剛度。

由于式(2)中無耦合項，平面y的振動與平面x的振動相同，只是存在一個相位差，所以本文只研究一個方向上的振動狀態(tài)。

高速磨削主軸系統(tǒng)是一種機電耦合系統(tǒng)，由于系統(tǒng)存在電磁剛度，轉(zhuǎn)子-軸承系統(tǒng)表現(xiàn)出軟特性。將式(2)寫為：

(3)

式中：ξ=c/m,=|k3|/m。

將式(3)改寫為：

(4)

式中：

λ=ω/ωn;ωn表示固有頻率。

對于高速磨削電主軸的轉(zhuǎn)子-軸承系統(tǒng)，r?1，f?1，所以將r，f認為是小參數(shù)。

2 結(jié)果與討論

采用數(shù)值分析法求解系統(tǒng)動力學(xué)方程，分析電主軸轉(zhuǎn)子-軸承系統(tǒng)動力學(xué)行為。

2.1 不同轉(zhuǎn)速下的響應(yīng)(k1=2.248 8×109 N/m)

軸承剛度為k1=2.248 8×109N/m，以ω作為控制參數(shù)，系統(tǒng)時程圖、Poincaré圖分別見圖3～6。

圖3 轉(zhuǎn)速ω=5 000 r/min時的系統(tǒng)響應(yīng)

圖4 轉(zhuǎn)速ω=10 000 r/min時的系統(tǒng)響應(yīng)

圖5 轉(zhuǎn)速ω=15 000 r/min時的系統(tǒng)響應(yīng)

圖6 轉(zhuǎn)速ω=20 000 r/min時的系統(tǒng)響應(yīng)

由圖3～6可知，當(dāng)轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速為5 000 r/min時，系統(tǒng)時程圖呈周期性變化，且Poincaré圖上為11個孤立的點，則系統(tǒng)為周期11(P11)運動，此時系統(tǒng)最大振幅達到9×10-9mm。當(dāng)轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速升高為10 000 r/min時，時程圖歷程雜亂無章、無規(guī)律可循，且Poincaré圖上出現(xiàn)了大量無序的點。因此，此時系統(tǒng)處于混沌(chaos)運動狀態(tài)，且最大振幅達到8×10-6mm。同理，當(dāng)轉(zhuǎn)速為15 000 r/min時，系統(tǒng)仍處于混沌(chaos)狀態(tài)，此時系統(tǒng)最大振幅達到1.32×10-5mm。當(dāng)系統(tǒng)轉(zhuǎn)速升高為20 000 r/min時，Poincaré圖上出現(xiàn)了2個孤立的點，則系統(tǒng)處于周期2(P2)運動狀態(tài)，且系統(tǒng)最大振幅為4.31×10-4mm。

由上可知，電主軸轉(zhuǎn)子-軸承系統(tǒng)的主軸振幅隨轉(zhuǎn)速變化的變化趨勢為： 9×10-9mm→8×10-6mm→1.32×10-5mm→4.31×10-4mm。可知，主軸振幅隨轉(zhuǎn)速的增加而增加。原因在于，轉(zhuǎn)速的增加使得不平衡質(zhì)量引起的離心力顯著增強，導(dǎo)致系統(tǒng)振幅增加。當(dāng)轉(zhuǎn)速為5 000 r/min、20 000 r/min時，系統(tǒng)時程圖表現(xiàn)為周期變化的趨勢，且Poincaré圖上存在若干孤立的點，則表明系統(tǒng)處于周期運動狀態(tài)。轉(zhuǎn)速為10 000 r/min、15 000 r/min時，Poincaré圖出現(xiàn)大量無序的點，系統(tǒng)為混沌運動，隨著轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速的升高，系統(tǒng)運動特性為P11→chaos→P2。

2.2 不同轉(zhuǎn)速下的響應(yīng)(k1=2.248 8×1010 N/m)

軸承剛度為k1=2.248 8×1010N/m，以ω作為控制參數(shù)，系統(tǒng)時程圖、Poincaré圖分別見圖7～10。

圖7 轉(zhuǎn)速ω=5 000 r/min時的系統(tǒng)響應(yīng)

圖8 轉(zhuǎn)速ω=10 000 r/min時的系統(tǒng)響應(yīng)

圖9 轉(zhuǎn)速ω=15 000 r/min時的系統(tǒng)響應(yīng)

圖10 轉(zhuǎn)速ω=20 000 r/min時的系統(tǒng)響應(yīng)

由圖7～10可知，當(dāng)轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速為5 000 r/min時，系統(tǒng)時程圖呈周期性變化，且Poincaré圖上存在1個孤立的點，則系統(tǒng)運動為周期1(P1)運動，此時系統(tǒng)最大振幅達到1.672 6×10-3mm。當(dāng)轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速升高為10 000 r/min時，Poincaré圖上出現(xiàn)可數(shù)個孤立的點，則此時系統(tǒng)為周期7(P7)運動，此時系統(tǒng)最大振幅達到1×10-9mm。同理，當(dāng)轉(zhuǎn)速為15 000 r/min時，系統(tǒng)為周期3(P3)運動，此時系統(tǒng)最大振幅達到4×10-10mm。當(dāng)系統(tǒng)轉(zhuǎn)速升高為20 000 r/min時，Poincaré圖上出現(xiàn)可數(shù)個孤立的點，則系統(tǒng)處于周期n(P-n)運動狀，此時系統(tǒng)最大振幅達到5×10-10mm。

分析圖7～10可知，主軸振幅隨轉(zhuǎn)速的變化趨勢為：1.672 6×10-3mm→1×10-9mm→4×10-10mm→5×10-10mm。同時可以看出，轉(zhuǎn)子軸承系統(tǒng)始終處于周期運動狀態(tài)，即P1→P7→P3→P-n。

電主軸轉(zhuǎn)子-軸承系統(tǒng)的動力學(xué)特性見表1。

表1 不同剛度下電主軸的運動特性

由表1可知，當(dāng)k1=2.248 8×109N/m時，系統(tǒng)的運動狀態(tài)隨轉(zhuǎn)速的增加而變化，從周期運動到混沌運動，最后再回到周期運動。當(dāng)k1=2.248 8×1010N/m時，系統(tǒng)處于周期運動狀態(tài)。由此可見，剛度的增加抑制了混沌的發(fā)生，改善了電主軸軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的振動特性。

電主軸轉(zhuǎn)子-軸承系統(tǒng)的振動幅值見表2。

表2 不同剛度下電主軸系統(tǒng)振幅(單位：mm)

從表2可以看出，隨著軸承剛度的增加，系統(tǒng)振幅呈現(xiàn)明顯的下降趨勢。文獻[6]給出了轉(zhuǎn)速為3 000 r/min時，不同剛度作用下轉(zhuǎn)子振動響應(yīng)幅值變化曲線，隨著軸承剛度的增加，轉(zhuǎn)子的徑向振動幅值逐漸降低。理論仿真結(jié)果與文獻結(jié)果具有相同的趨勢，驗證了文中模型的正確性。

3 穩(wěn)定性分析

基于微分方程穩(wěn)定性理論，式(4)可用一階常微分方程組表示：

(5)

在系統(tǒng)不受外力的情況下，則：

(6)

首先，得到系統(tǒng)式(6)的不動點：

(7)

因此，該系統(tǒng)有3個不動點：(0,0)，(1,0)和(-1,0)。

將式子(7)寫為矩陣形式：

(8)

a) 檢查固定點(0,0)的穩(wěn)定性：

(9)

上式的解為：

(10)

1) 當(dāng)r>0時，在固定點(0,0)處，λ1,2< 0，則該不動點是漸近穩(wěn)定的；

2) 當(dāng)r=0時，在固定點(0,0)處，λ1,2=± i，則該不動點是線性穩(wěn)定的；

3) 當(dāng)-2

4) 當(dāng)r=-2時，在固定點(0,0)處，λ1,2=1，系統(tǒng)有兩個正根，則該不動點是失穩(wěn)的；

5) 當(dāng)r<-2時，在固定點(0,0)處，λ1,2>0，則該不動點是失穩(wěn)的。

b) 檢查固定點(±1,0)的穩(wěn)定性：

(11)

上式的解為：

(12)

由式(12)的第一個方程知，系統(tǒng)方程總是有一個正根，所以該不動點是不穩(wěn)定的。

由式(4)可知，r=c/(m·ωn) > 0，所以在固定點(±1,0)附近，系統(tǒng)是失穩(wěn)的，在固定點(0,0)附近，系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的。

4 結(jié) 論

本文主要研究質(zhì)量偏心及“負剛度”作用下，轉(zhuǎn)速變化對電主軸轉(zhuǎn)子-軸承系統(tǒng)動力學(xué)行為的影響。合理的轉(zhuǎn)速能夠避免系統(tǒng)進入混沌運行狀態(tài)，為電主軸長期處于周期運行提供理論依據(jù)，指導(dǎo)實際加工中工藝參數(shù)的優(yōu)化選擇。

1) 系統(tǒng)支承剛度為k1=2.248 8×109N/m時，隨著轉(zhuǎn)速的增加，系統(tǒng)動力學(xué)特性經(jīng)歷了周期運動和混沌運動。當(dāng)支承剛度增加到k1=2.248 8×1010N/m時，系統(tǒng)不出現(xiàn)混沌現(xiàn)象，呈現(xiàn)良好的系統(tǒng)穩(wěn)定性。由此可知，系統(tǒng)剛度的增加抑制了混沌現(xiàn)象的發(fā)生，使得系統(tǒng)始終處于周期性運動狀態(tài)。隨著軸承剛度的增加，系統(tǒng)振幅呈現(xiàn)明顯的下降趨勢。

2) 系統(tǒng)穩(wěn)定性分析表明，系統(tǒng)在不動點(±1,0)附近的運動是不穩(wěn)定的；在不動點(0,0)附近的運動是漸近穩(wěn)定的。