巖石動態(tài)巴西圓盤實驗中的過載現(xiàn)象*

夏開文，余裕超，王 帥，吳幫標，徐 穎，蔡英鵬

（1. 天津大學水利工程仿真與安全國家重點實驗室，天津 300372；2. 天津大學建筑工程學院，天津 300350）

巖石材料在外部荷載作用下容易發(fā)生壓縮、拉伸以及剪切破壞，巖石抗壓強于抗拉的特性使得其在失效時的破壞模式主要表現(xiàn)為拉伸破壞。在深部巖石工程中，深部巖石在原位預拉伸應力和動態(tài)擾動（爆炸、地震波等）的共同作用下更容易發(fā)生失穩(wěn)破壞，從而導致諸如“片幫”、“巖爆”等安全事故，嚴重危害地下構(gòu)筑物的安全和穩(wěn)定[1]。因此，準確獲取巖石材料的拉伸強度對巖石工程的安全設(shè)計至關(guān)重要。

經(jīng)過多年發(fā)展，學者們提出了多種巖石靜態(tài)拉伸強度的測試方法，按照實驗方式和原理不同可將它們分為直接拉伸方法和間接拉伸方法。直接拉伸方法[2]能夠直接獲取巖石的拉伸強度，但開展直接拉伸實驗面臨著兩個問題，即實驗操作精度要求高和實現(xiàn)單軸拉伸應力狀態(tài)困難，實驗操作不規(guī)范也容易導致試樣的局部應力集中，從而出現(xiàn)不標準的破壞模式[3]。因此，近年來人們發(fā)展了許多間接拉伸測試方法，如巴西圓盤實驗[4]、圓環(huán)實驗[5]、三點和四點彎曲實驗[6]以及Luong 實驗[7]等。這些實驗方法中巴西圓盤實驗的應用最廣泛，該方法于1978 年被推薦為國際巖石力學與工程學會（ISRM）巖石靜態(tài)拉伸強度的標準測試方法。

靜態(tài)條件下巴西圓盤實驗拉伸強度 σT的計算公式為[8]：

式中：B 和D 分別為試樣的厚度和直徑，Pf為圓盤破壞荷載。

分離式霍普金森壓桿（SHPB）是目前測試巖石等脆性材料動態(tài)力學響應的主流裝置。Ross 等[9]最早借助SHPB 開展巴西圓盤實驗并研究了混凝土材料的動態(tài)拉伸特征，這是SHPB 在巖石動態(tài)拉伸強度測試應用中的開端。在此之后，人們又利用SHPB 對各類巖石開展了大量的動態(tài)巴西劈裂拉伸實驗[10-12]，總結(jié)了巖石材料劈裂拉伸強度的率相關(guān)性。

在試樣滿足動態(tài)力平衡的條件下，動態(tài)巴西圓盤實驗中拉伸強度可按照式（1）確定，其中Pf為圓盤承受的動態(tài)峰值荷載。然而有學者通過觀察測試結(jié)果，發(fā)現(xiàn)巖石的動態(tài)巴西圓盤拉伸強度往往高于動態(tài)直接拉伸強度，因此他們對動態(tài)巴西圓盤方法確定的拉伸強度值作為材料動態(tài)拉伸強度的有效性提出了質(zhì)疑。Zhang 等[3]統(tǒng)計了不同加載率、不同種類巖石材料巴西圓盤實驗和直接拉伸實驗得到的拉伸強度的動態(tài)增強因子（DIF），發(fā)現(xiàn)相同加載率下巴西圓盤實驗得到的DIF 較直接拉伸實驗更高。Xia等[11]總結(jié)了通過不同的拉伸強度測試方法（動態(tài)直接拉伸、動態(tài)巴西劈裂以及動態(tài)半圓盤彎曲）測得Laurentian 花崗巖的動態(tài)拉伸強度，也發(fā)現(xiàn)相同加載率下動態(tài)劈裂拉伸強度比動態(tài)直接拉伸強度高，他們認為這種現(xiàn)象是由過載效應以及內(nèi)摩擦效應引起的。關(guān)于這點，Mellor 等[13]在1971 年便觀察到了靜態(tài)巴西圓盤實驗的過載現(xiàn)象，他們在實驗過程中通過加載控制首先得到了主裂紋未貫穿圓盤的試樣，而后繼續(xù)對該試樣進行加載，測試結(jié)果表明雖然圓盤試樣中心點處已經(jīng)發(fā)生了拉伸破壞，但試樣的承載能力仍繼續(xù)增加。

上述研究表明，在動態(tài)巴西圓盤測試中過載效應是真實存在的，為了探究巖石材料動態(tài)巴西圓盤實驗中動態(tài)強度的過載現(xiàn)象及率相關(guān)性，本文中結(jié)合室內(nèi)SHPB 裝置對房山花崗巖動態(tài)劈裂拉伸強度的過載特性進行定量分析，同時結(jié)合顆粒流程序，模擬巖石材料動態(tài)巴西劈裂實驗中的過載現(xiàn)象，揭示動態(tài)巴西圓盤實驗過載效應產(chǎn)生的微觀機理。

1 巖石動態(tài)巴西圓盤實驗

1.1 分離式霍普金森壓桿試驗系統(tǒng)

借助分離式霍普金森壓桿試驗系統(tǒng)（SHPB）開展動態(tài)巴西圓盤實驗，SHPB 通常由試驗桿件（撞擊桿、入射桿和透射桿）、試樣以及信號采集系統(tǒng)組成（見圖1）。SHPB 是利用應力波在試驗桿件以及待測樣品中的傳播進行動力加載測試的實驗裝置。通過預先設(shè)置在入射桿、透射桿上的應變片可記錄應力時程信息，根據(jù)一維應力波理論最終可計算得到試樣的應力應變關(guān)系。

圖1 ? 50 mm 分離式霍普金森壓桿試驗系統(tǒng)Fig.1 ? 50 mm split Hopkinson pressure bar system

撞擊桿在氣槍的作用下以一定的速度撞擊入射桿，在入射桿桿端形成向右傳播的壓縮脈沖（入射波），由于試樣與桿件的波阻抗不同，入射波會在試樣處發(fā)生反射和透射。進入試樣的應力波在其內(nèi)部反復傳播，最終導致試樣的破壞。試樣上的應力信號一般無法準確地直接測量，需要根據(jù)應力波理論計算桿件上測得的應變，以獲得試樣上的應力時程曲線。

應力波在物體中的傳播存在橫向彌散效應和慣性效應。橫向彌散效應的存在限制了SHPB 桿件桿徑的大小。利用SHPB 對巖石材料進行動態(tài)測試時，若利用原始的方波對試樣進行加載很難滿足動態(tài)力平衡條件。對此，有學者提出采用波形整形器[14]或者改變撞擊桿的幾何形狀[15]來解決這個問題，本文中實驗將采用黃銅材質(zhì)的整形器進行波形整形。

1.2 試樣動態(tài)力平衡及中心起裂時刻測量

通過對加載波形進行整形可以保證試樣兩端滿足動態(tài)力平衡條件[16]，設(shè)入射桿、透射桿與樣品的接觸面分別為S1和S2，根據(jù)一維應力波理論，可以得到端面S1、S2上的力P1、P2分別為：

式中：E 為桿的彈性模量，A 為桿的橫截面積，εi、εr和 εt分別對應入射波、反射波和透射波的應變信號。當且僅當試樣兩端的動態(tài)力平衡以后（見圖2），即只有滿足P1=P2的SHPB 實驗才是有效的，才能夠使用準靜態(tài)的方法（式（1））對應變片采集到的數(shù)據(jù)進行簡化和處理。

本文中所用的測試材料為房山細?；◢弾r，為了捕捉圓盤試樣動態(tài)劈裂過程中的中心起裂時刻，在偏離試樣中心位置d（d=5 mm）位置粘貼了1 枚應變片（見圖3），根據(jù)Jiang 等[17]和Xia 等[11]的研究，圓盤中心破裂引發(fā)的周圍區(qū)域應力的釋放，具體表現(xiàn)為試樣上應變片信號會出現(xiàn)一個顯著的拐點，該拐點對應的時刻即為圓盤起裂時刻，假設(shè)t0時刻為圓盤中心點起裂時刻，已知巖石中波速cr=4 500 m/s，桿件中波速cb=5 270 m/s，圓盤直徑為D，透射應變片與透射桿左端的距離L，那么試樣上應變片采集信號的拐點時刻 T1為：

根據(jù)透射桿上波傳播的距離對透射信號進行平移，得到圓盤中心起裂的對應時刻 T2為：

根據(jù)式（4）～（5），以試樣上應變片起跳信號為原點，將透射波信號在時間軸上向左平移 | T2?T1|，并將其轉(zhuǎn)化為試樣兩端應力信號，即可得到歸一時間軸的試樣整體應力與起裂時程信號，可據(jù)此獲取起裂時刻圓盤中心點處的拉伸應力。

圖2 典型動態(tài)巴西圓盤實驗動態(tài)應力平衡驗證Fig.2 Verification of dynamic stress balance in typical Dynamic BD test

圖3 試樣起裂監(jiān)測應變片粘貼位置Fig.3 Schematics of a strain gauge cemented on the specimen for detecting failure onset

1.3 過載修正及實驗結(jié)果

為便于區(qū)分，定義試樣應力時程曲線峰值為名義拉伸強度，過載修正后強度為真實拉伸強度。以180 GPa/s 加載工況為例，試樣直徑D=25.42 mm，透射應變片與透射桿左端的距離L=0.937 m，計算可知圓盤起裂對應的透射波所處時刻為T2=t0+180.62 μs，根據(jù)計算得到的時間差對該工況下透射應力進行修正（見圖4），分析圖像可以發(fā)現(xiàn)，試樣名義拉伸強度為20.4 MPa，而圓盤起裂時刻應力19.49 MPa。而以同樣的方法對418 GPa/s 加載率工況（見圖5）進行分析，得到試樣的名義拉伸強度和起裂時刻應力分別為25.30 MPa 和20.56 MPa。通過對比上述兩幅圖片可以明顯地觀察到：隨著加載率的增加，圓盤起裂時刻應力與名義拉伸強度差異越大，過載現(xiàn)象越明顯。為定量描述動態(tài)巴西圓盤實驗中傳統(tǒng)方法測量得到的拉伸強度的過載程度，定義動態(tài)巴西圓盤實驗中的過載比 so為：

式中：σt為名義拉伸強度，σi為真實拉伸強度。

圖4 180 GPa/s 加載率工況圓盤應力過載修正Fig.4 The overload correction for specimen’s tensile stress under 180 GPa/s loading rate

圖5 418 GPa/s 加載率工況圓盤應力過載修正Fig.5 The overload correction for specimen’s tensile stress under 418 GPa/s loading rate

表1 為動態(tài)巴西圓盤實驗得到的名義拉伸強度、真實拉伸強度、過載時間（名義與真實拉伸強度時間差）以及過載比的匯總，分析表1 中數(shù)據(jù)可以出，隨著加載率的增加，圓盤動態(tài)拉伸強度的過載效應愈發(fā)明顯：加載率從179.9 GPa/s 增加到1021.2 GPa/s，強度的過載比由0.045 增加到0.439。為了更直觀地理解動態(tài)巴西圓盤實驗中的過載現(xiàn)象，在圖6 中繪制了名義拉伸強度與真實拉伸強度的關(guān)系，發(fā)現(xiàn)加載率越高名義拉伸強度與真實拉伸強度的偏差越大。房山花崗巖動態(tài)巴西圓盤實驗中的過載比 so隨加載率的增加呈近似對數(shù)型增長規(guī)律（見圖7），其增長速度會隨加載率的增大逐漸減小，過載比 so擬合曲線方程為：

表1 動態(tài)巴西圓盤實驗結(jié)果Table 1 Dynamic BD experimental results

圖6 名義拉伸強度與真實拉伸強度Fig.6 Nominal tensile strength and the real tensile strength

圖7 動態(tài)巴西圓盤實驗過載比Fig.7 The overload ratio for dynamic BD tests

2 巖石動態(tài)巴西圓盤數(shù)值實驗

2.1 SHPB 計算模型的建立與加載

采用PFC 建立的 ?50 mm 的SHPB 實驗系統(tǒng)數(shù)值模型，如圖8 所示。為便于計算，入射桿與透射桿的長度分別為1.5 m 和1 m，采用線性接觸模型（CBM）模擬，組成顆粒的粒徑在0.75～1.25 mm 之間，圓盤試樣直徑為50 mm，采用線性平行黏結(jié)模型（PBM）模擬。在入射桿左端顆粒輸入半正弦入射脈沖進行動態(tài)測試（輸入脈沖脈寬和峰值與實驗相同），圖9 為本次模擬與實驗所用入射波的對比情況。

圖8 ? 50 mm 的SHPB 數(shù)值實驗系統(tǒng)Fig.8 ? 50 mm split Hopkinson pressure bar numerical system

圖9 實驗與模擬入射波波形對照Fig.9 Incident wave comparison between lab experiment and numerical simulation

2.2 離散元模型宏、微觀參數(shù)標定

在進行巖石材料離散元模型宏、微觀參數(shù)標定時，主要參考Shi 等[18]的標定思路：

（2）法向-剪切剛度比 k?控制彈性變形階段的泊松比；

參數(shù)標定按照泊松比μ、彈性模量E、單軸壓縮破壞模式及巴西圓盤名義拉伸強度的順序依次進行，得到最終試樣與桿件模型的主要微觀參數(shù)，見表2～3；表4 為試樣模型的宏觀參數(shù)與通過靜態(tài)實驗所獲得的宏觀參數(shù)的對比，分析表4 中的數(shù)據(jù)可以看出，本文中使用的微觀參數(shù)可以較好地模擬房山花崗巖圓盤的力學性能。

表2 試樣主要模型微觀參數(shù)Table 2 Parameters of the numerical specimen

表3 桿件主要模型微觀參數(shù)Table 3 Parameters of the numerical bar

表4 模型宏觀參數(shù)與材料宏觀參數(shù)對比Table 4 Macroscopic parameters of the numerical model and real rock

2.3 線性平行黏結(jié)模型率效應修正

PFC 中平行黏結(jié)模型（PBM）不包含率相關(guān)的物理量，因此直接使用固定PBM 模型參數(shù)進行動態(tài)沖擊實驗模擬往往不能真實反映出材料強度的率相關(guān)性。為了解決這一問題，借鑒Yang 等[19]的經(jīng)驗，首先通過實驗得到目標巖石拉伸強度與加載率的關(guān)系，再通過強度參數(shù)標定建立模型黏結(jié)強度與宏觀拉伸強度的關(guān)系，從而得到模型黏結(jié)強度與加載率的關(guān)系，最后利用Fish 語言編程將真實材料強度的率效應引入計算模型中。

為探究PBM 模型的數(shù)值率效應，在圖10 中繪制了實驗和數(shù)值模擬獲得的名義拉伸強度與加載率的關(guān)系。對實驗名義拉伸強度 Ubts進行直線擬合，擬合方程為：

圖10 實驗與模擬名義拉伸強度的率效應Fig.10 The rate dependency for experimental and numerical nominal tensile stress

對比式（8）、式（9）可以發(fā)現(xiàn)，數(shù)值模擬得到的名義拉伸強度與加載率的擬合直線斜率明顯小于實驗數(shù)據(jù)擬合得到的斜率，說明模型參數(shù)固定時開展動態(tài)沖擊實驗模擬往往不能合理反應強度的率相關(guān)性。式（9）對應擬合直線斜率截距近似等于所設(shè)定內(nèi)聚力值（23 MPa）的一半，據(jù)此我們得到考慮PBM模型參數(shù)的率效應描述方程：

由式（10）可以得到模型內(nèi)聚力與動態(tài)名義拉伸強度以及加載率的關(guān)系式：

基于式（11），在任意加載工況下，只要知道實驗加載率以及動態(tài)強度，即可推導出該實驗工況下對應的黏結(jié)強度值。下面以氣壓為0.0524 MPa 的加載工況為例進行驗證，輸入的入射波波形如圖9 所示，已知實驗得到的試樣加載率和強度分別為375 GPa/s 和21.9 MPa，計算得到模型黏結(jié)強度為38.325 MPa，代入該值進行數(shù)值模擬計算，采集到圓盤模型拉伸應力時程曲線如圖11(a)所示，分析圖像可以發(fā)現(xiàn)，此時模擬與實驗圓盤拉伸應力在峰前段能夠很好地重合，圖11(b)為加載率為694 GPa/s 時實驗與數(shù)值模擬得到的圓盤拉伸應力對比結(jié)果。

圖11 不同加載率下實驗與模擬圓盤的拉伸應力Fig.11 Experimental and numerical tensile stress under different loading rates

2.4 動態(tài)巴西圓盤數(shù)值實驗中的過載效應

圖12 為數(shù)值模擬得到的加載率為345.3 GPa/s 工況下試樣兩端的動態(tài)應力平衡結(jié)果。引入實驗率效應修正后數(shù)值計算得到的名義拉伸強度的結(jié)果如圖13 所示，分析圖像可以發(fā)現(xiàn)，實驗與數(shù)值模擬得到的名義拉伸強度數(shù)據(jù)之間無顯著差異，表明率效應修正后PBM 模型參數(shù)可以很好地模擬真實巖石的動態(tài)力學行為。

圖12 典型數(shù)值模擬動態(tài)應力平衡驗證Fig.12 Verification of dynamic stress balance in typical numerical dynamic BD test

圖13 實驗與模擬名義拉伸強度Fig.13 Experimental and numerical nominal tensile strength

為進一步驗證模型的準確性，對兩種不同加載率（375、1 021 GPa/s）下的實驗與數(shù)值模擬得到的試樣破壞模式進行分析，對比結(jié)果如圖14～15 所示。分析圖像可以發(fā)現(xiàn)，數(shù)值模擬得到的試樣破壞模式與實驗基本相同：低加載率（375 GPa/s）下，圓盤試樣的破壞模式為“中心開裂+兩側(cè)楔形破壞”；高加載率（1 021 GPa/s）下，試樣的破壞模式為“中心開裂+徑向條帶狀壓碎”，這與Zhou 等[20]、Wu 等[12]研究中所述的破壞模式基本一致。

圖14 375 GPa/s 加載率實驗與模擬破壞模式Fig.14 Experimental and numerical disk failure pattern under 375 GPa/s loading rate

圖15 1021 GPa/s 加載率實驗與模擬破壞模式Fig.15 Experimental and numerical disk failure pattern under 1021 GPa/s loading rate

與實驗類似，在圓盤表面設(shè)置應力監(jiān)測圓，用相同的處理方法對數(shù)據(jù)進行過載修正，圖16 為對應工況下模型拉伸強度的過載修正結(jié)果。圖17 為動態(tài)巴西劈裂實驗與數(shù)值模擬得到的拉伸強度過載比，從圖中可以發(fā)現(xiàn)，模擬結(jié)果與實驗結(jié)果基本呈現(xiàn)出類似的增長規(guī)律，這也在一定程度上驗證了實驗觀測到拉伸強度過載效應的存在。

圖16 345.3 GPa/s 加載率工況模擬結(jié)果過載修正Fig.16 The overload correction for numerical tensile stress under 345.3 GPa/s loading rate

圖17 實驗與數(shù)值模擬動態(tài)巴西劈裂實驗過載比Fig.17 Experimental and numerical overload ratio for dynamic BD tests

3 結(jié)果分析及討論

巴西圓盤實驗中拉伸破壞首先發(fā)生在圓盤中心，此時圓盤的破壞符合格里菲斯破壞準則，據(jù)此得到了式（1）所示靜態(tài)條件下巴西劈裂拉伸強度計算公式。根據(jù)格里菲斯破壞準則，式（1）中Pf對應的應當是圓盤中心起裂時刻的荷載，但在實踐中，人們往往取圓盤破壞荷載進行計算。假設(shè)圓盤中心起裂以及峰值荷載（圓盤失穩(wěn)）對應時刻分別為 t1和t2，顯然 t1＜t2，同樣地，對應的載荷也有P (t1)＜P(t2)。Mellor 等[13]認為，雖然圓盤試樣中心點處已經(jīng)發(fā)生了拉伸破壞，但試樣的承載能力仍繼續(xù)增加，因此直接采用圓盤峰值荷載計算得到的拉伸強度應較真實值偏大。

圖18 609.6 GPa/s 加載工況數(shù)值模擬中的過載現(xiàn)象以及圓盤破壞過程Fig.18 The overload phenomenon and the failure process of numerical specimen under 609.6 GPa/s loading rate

這里借助數(shù)值模擬的結(jié)果進一步討論巖石在巴西圓盤實驗中破裂的詳細過程。在靜態(tài)實驗中圓盤裂紋擴展速率遠大于加載速率，圓盤從起裂到失穩(wěn)破壞經(jīng)歷的時間極短，因此在Δt=t2?t1時間區(qū)間內(nèi)可以近似認為P(t1)≈P(t2)?？梢哉J為近似靜態(tài)加載條件下使用式（1）計算得到圓盤的名義拉伸強度等于其真實拉伸強度。

與準靜態(tài)實驗不同，動態(tài)實驗加載速率高（通常在幾十到上千GPa/s）。雖然在動態(tài)圓盤實驗中，圓盤起裂到整體失穩(wěn)的持續(xù)時間Δt 只有微秒的量級，但在Δt 時間區(qū)間內(nèi)，試樣端部拉伸應力的增長卻是不容忽視的。

圖18 中給出了數(shù)值模擬得到的609.6 GPa/s加載工況下動態(tài)巴西圓盤實驗結(jié)果。如圖18 所示，在圓盤拉伸應力時程曲線上取4 個特征時刻（A、B、C、D），并給出各時刻對應的試樣豎向速度云圖，其中：時刻A 應力波傳至入射桿右端，時刻B 和C 分別對應圓盤中心起裂以及裂紋擴展至試樣端部，在時刻D 圓盤完全失穩(wěn)。分析圖18可以發(fā)現(xiàn)，在圓盤中心起裂（時刻C）后歷時約20 μs 后才形成貫通的徑向裂紋（時刻B），期間圓盤承載能力隨裂紋向兩端的擴展不斷增加（圓盤拉伸應力從22.10 MPa 增加到26.77 MPa）。如果加載率進一步提高，可以預見過載效應會更加明顯，這與本文實驗得到的加載率越高名義拉伸強度與真實拉伸強度的偏差越大的結(jié)果相一致。

如果使用名義動態(tài)拉伸強度作為巖石材料動態(tài)拉伸強度，則會高估其真實強度，這將不利于認識動態(tài)荷載作用下巖石材料的固有拉伸強度。因此，建議在開展動態(tài)巴西圓盤實驗時使用本文中方法進行拉伸強度過載修正，以獲取巖石材料的真實動態(tài)拉伸強度。

4 結(jié) 論

借助SHPB 實驗以及顆粒流程序數(shù)值模擬，研究了房山花崗巖動態(tài)巴西劈裂實驗中拉伸強度的過載現(xiàn)象以及率相關(guān)性，通過設(shè)置應變片實現(xiàn)圓盤中心起裂時刻監(jiān)測，對動態(tài)劈裂拉伸強度的過載特性進行了定量分析和校正，討論了過載現(xiàn)象產(chǎn)生的物理機制。主要結(jié)論如下：

（1）動態(tài)巴西圓盤實驗得到的巖石拉伸強度存在明顯的過載現(xiàn)象，試樣中心起裂時刻應力為真實拉伸強度，實驗加載率越高，通過試樣峰值應力確定得到的拉伸強度（名義拉伸強度）與巖石真實拉伸強度的偏差越大，過載效應越明顯；

（2）利用PFC 程序進行數(shù)值驗證時，引入實驗名義拉伸強度率相關(guān)性結(jié)果對數(shù)值模型參數(shù)進行修正，通過對比實驗以及數(shù)值模擬觀測到的動態(tài)拉伸強度的過載現(xiàn)象以及率相關(guān)性，進一步證明動態(tài)巴西圓盤測試方法中過載現(xiàn)象的存在；

（3）基于格里菲斯破壞準則明確了巴西圓盤實驗計算強度時采用荷載的物理意義，討論了巴西圓盤方法中真實拉伸強度與對應的圓盤構(gòu)型承載力的區(qū)別，認為動態(tài)巴西圓盤實驗過載現(xiàn)象產(chǎn)生與圓盤構(gòu)型以及高加載率有關(guān)；

（4）因為高加載率下過載比高達40%，所以認為有必要在動態(tài)巴西圓盤實驗時進行過載修正，以獲取巖石材料的真實動態(tài)拉伸強度。