多航天器集中事件觸發分組姿態協同控制

王帥磊,周紹磊,祁亞輝,張瑞雪

(1.海軍航空大學， 山東 煙臺 264001； 2.中國兵器工業導航與控制技術研究所， 北京 100089)

對多航天器系統而言，姿態協同是正常作業的前提。通過控制系統內航天器的姿態，可以實現目標監控和定向通信等任務需求?，F有研究從不同角度對該問題進行了分析。文獻[1]設計了一種有限時間控制器，使多航天器系統能夠在有限時間內達到姿態協同；文獻[2]基于特殊正交群SO(3)提出了一種反步滑?？刂品椒?；文獻[3]對帶有領導者的情況，提出了針對領導者姿態和角速度的滑模估計器；文獻[4]進一步考慮了系統內存在多個領導者的情況，并以領導者的狀態張成凸包，使跟隨者的姿態都能收斂到這一凸包中?，F有針對多航天器的研究大多都致力于使所有航天器的姿態和角速度收斂到同一個固定或時變值。

而對于某些復雜應用場景，需要將整個系統劃分為若干個分組，每個分組內航天器都保持同一姿態，不同分組的航天器保持不同姿態。這種分組的情況稱為分組姿態協同，并在SAR衛星監控[5]中有一定的應用需求。由于每顆衛星所處的位置不同，當多顆衛星同時對準一個目標，它們的姿態必然是有所差異的。將衛星編隊劃分為多個分組，并對每個分組內衛星的姿態進行調整，既能夠實現對目標的全覆蓋，又能解決因位置不同導致需要對每顆衛星單獨設定姿態帶來的困難和復雜度。在無人機編隊飛行中，由于任務需求的變化，經常導致編隊隊形發生切換；同時，根據無人機的不同載荷，所執行的功能也有所不同。對無人機編隊進行分組，既能夠保持編隊的整體性，又能夠使編隊完成復雜的任務。直接將整個編隊分割為若干個孤立的子編隊也能夠實現同樣的目的，但分割法將犧牲編隊的整體性，由于多航天器系統采用無線通信，將通信鏈接斷開后，重連將浪費一定的等待時間，并且存在重連失敗的可能性；此外，分別控制孤立的子編隊將導致控制變量和計算復雜度的增加，不利于編隊的協同作業。

文獻[6]考慮了基于無向圖的多剛體系統，并將系統劃分為兩個分組進行研究，實現了二分組情況下的分組姿態協同，其缺陷在于僅適用系統包含兩個分組的情況。文獻[7]通過添加領導者的方法使跟隨者達到分組姿態協同，但是需要針對領導者和跟隨者分別設計控制輸入，操作過程較為復雜。

考慮到系統內通信和計算資源是有限的，為了減少通信次數，針對一般情況下的多航天器姿態協同問題，研究人員已經展開了基于事件觸發機制的研究[8,9]。而由于多航天器分組姿態協同問題提出時間較短，因此目前相關研究比較缺乏。

本文針對多航天器分組姿態協同控制問題，提出了基于集中事件觸發機制的控制輸入，使航天器之間僅在離散的時刻進行通信，從而減少通信次數。

1 多航天器系統構建

1.1 航天器姿態動力模型

考慮一個由N個航天器組成的系統，并將航天器標記為1,2,…,N。系統中的航天器可劃分為s個分組，將這些分組標記為g1,g2,…,gs，并規定每個航天器僅能夠被劃分到唯一的分組。如果航天器i屬于分組gj，那么定義映射Γ(i)=gj。在修正羅德里格斯參數的基礎上，每個航天器的姿態動力模型可以表述為：

(1)

式(1)中：σi(t)∈R3、ωi(t)∈R3和ui(t)∈R3分別表示航天器的姿態、角速度和控制輸入；正定對稱矩陣J∈R3×3表示航天器的轉動慣量；Gi(t)定義為：

(2)

式(2)中，

(3)

并且對任意一對向量x,y∈R3，有：

(4)

1.2 多航天器系統拓撲

將每個航天器視為節點，2個航天器之間的無向通信視作邊，那么多航天器系統可以視為一個包含N個節點和若干條邊的無向圖，并可以通過鄰接矩陣A∈RN×N和Laplacian矩陣L∈RN×N進行描述。如果航天器i和航天器j之間存在一條邊，則aij=aji=1，否則aij=aji=0。在Laplacian矩陣L中，非對角線上的元素lij=-aij，對角線上的元素lii等于A中第i行所有元素之和。

由于本文中多航天器系統是分組的，因此基于現有關于分組一致的研究，本文采用如下假設。

假設1：任意2個分組之間滿足入度平衡[10]。

假設2：矩陣L的非零特征值均為正實數。

本文還將用到如下引理和定義。

引理1 對于兩個向量x∈Rn和y∈Rn，有：

(5)

引理2 對于向量x∈Rn和矩陣B∈Rn×n，有：

Bx||2≤B||Fx||2

(6)

式(6)中：·||2表示歐式范數； ·||F表示矩陣的Frobenius范數[11]。

定義1 稱多航天器系統達到分組姿態協同，當且僅當同一分組中的航天器i和航天器j滿足：

(7)

2 事件觸發分組姿態協同控制

2.1 集中事件觸發機制

集中事件觸發機制是指，對于多航天器系統，存在時間序列t0

2.2 控制輸入設計及穩定性分析

為了便于表示，隱去變量中的時間符號(t)，僅對觸發時刻的變量保留(tk)。在分組情況下，設計控制輸入的難點在于，既要能夠使每個分組內航天器的姿態達到一致，又能夠實現不同分組的自主區分。由于分組情況下系統鄰接矩陣中的元素有-1存在，因此控制輸入的形式與一般情況下姿態協同問題的控制輸入不同。在集中事件觸發機制下，對航天器i設計控制輸入為：

(8)

對多航天器系統設計整體觸發函數為：

(9)

式(9)中：G=diag(Gi)；?表示Kronecker積。

(10)

因此

(11)

在此基礎上，給出多航天器系統在集中式事件觸發機制下的控制定理。

定理1 在集中事件觸發機制下，給定航天器的控制輸入ui(t)和整體觸發函數f，若參數α和β滿足：

(12)

那么在控制輸入的作用下，多航天器系統能夠漸近達到分組姿態協同。

證明選定Lyapunov函數為：

(13)

由于J是正定對稱矩陣，L是半正定對稱矩陣，因此顯然Lyapunov函數V≥0。

對V求導，得到：

(14)

由于Laplacian矩陣是對稱矩陣，因此式(14)可以改寫為：

(15)

根據假設1，系統拓撲滿足入度平衡，因此有：

(16)

將式(16)代入控制輸入式(8)，得到：

(17)

對控制輸入式(17)進行化簡，得到：

(18)

(19)

βωTA?I3eω-βωTL?I3ω

(20)

α(Gω)TA?I3eσ+βωTA?I3eω≤βωTL?I3ω

(21)

對式(21)左邊取范數并對右邊取絕對值，而對于一個標量值d，|d|=d||2。因此得到：

α(Gω)TA?I3eσ||2+βωTA?I3eω||2≤

βωTL?I3ω||2

(22)

而根據引理1可知：

(23)

因此結合式(22)和式(23)可知：

(24)

(25)

在任意一個觸發時刻tk，總有eσ(tk)=eω(tk)=0，因此當式(9)成立時，能夠保證：

(26)

M={(σ,ω)|ωTL?I3ω=0}

(27)

定理1證明了在給定的控制輸入作用下，多航天器系統能夠達到分組姿態協同。下面對Zeno現象進行分析。Zeno現象是指，在有限的時間區間內發生無限次觸發，即limtk+1-tk=0。如果系統內發生了Zeno現象，說明系統內航天器間的通信仍然是連續通信，無法達到節約通信和計算資源，減少通信次數的目的[8]，基于事件觸發機制設計的控制輸入是無效的。因此，對于事件觸發機制下的控制方法，分析Zeno現象的存在性并避免其產生是必要的。

定理2 在集中式事件觸發機制下，給定航天器的控制輸入ui(t)和整體觸發函數f，在控制輸入的作用下，系統不會發生Zeno現象。

證明根據事件觸發機制的定義可知，在任意一次觸發時刻tk都有f(tk)=0。在時間區間[tk,tk+1)內，對f求導可得：

(28)

(29)

(30)

(31)

式(31)表明相鄰兩次觸發時刻之間的間隔有嚴格為正的下界，因此不會發生Zeno現象。證畢。

3 仿真結果與驗證

為了驗證本文在集中事件觸發機制下提出的控制輸入的有效性，基于MATLAB平臺，設計了包含9個航天器的系統進行仿真。航天器按順序標記為1～9，并且1～4組成分組g1，5～9組成g2。本文中，所有航天器的運動特性都是相同的，因此假設轉動慣量矩陣J∈R3×3為J=I3。多航天器系統構成的無向圖如圖1所示。

圖1 多航天器系統構成的無向圖

根據圖2可以看出，在3個方向上，每個分組內航天器的姿態都收斂到一個常值，達到了協同；不同分組內航天器的協同姿態都不相同。航天器的角速度時間響應在3個方向上的分量如圖3所示。

根據圖3可以看出，系統內所有航天器的角速度最終都收斂到零，這表明隨著t→∞，系統內任意一個航天器的姿態都不再發生變化，與圖2中姿態時間響應收斂到常值是相吻合的。圖2和圖3表明系統能夠達到分組姿態協同。

圖2 航天器的姿態時間響應在3個方向上的分量曲線

圖3 航天器的角速度時間響應在3個方向上的分量曲線

航天器運動過程中，觸發時刻tk及觸發時刻間隔tk+1-tk如圖4所示。

圖4 觸發時刻及觸發時刻間隔示意圖

根據圖4，在80 s的仿真過程中，系統共觸發了90次，并且任意2次相鄰的觸發時刻之間的間隔最小值為min(tk+1-tk)=0.012>0。這表明系統不會發生Zeno現象，與定理2相符。

本文在事件觸發機制基礎上提出的控制輸入僅需要90次通信就能夠使系統達到分組姿態一致，而文獻[6]中提出的控制輸入需要航天器之間保持不間斷通信，所占用的通信資源和消耗的能量更多，因此本文的控制輸入更具優勢。

4 結論

在集中事件觸發機制的基礎上，本文針對多航天器設計了控制輸入，使系統能夠達到分組姿態一致，并且不會發生Zeno現象。仿真結果表明，相比基于連續通信的控制方法，本文設計的控制輸入能夠顯著減少通信次數，節約通信資源。進一步研究將考慮引入分布式事件觸發機制，使每個航天器能夠獨立計算并對觸發函數進行判斷。