簡約深刻，螺旋上升

摘要：針對在七年級上學(xué)期期中（末）復(fù)習(xí)階段，很多數(shù)學(xué)教師選取大量數(shù)軸綜合題進(jìn)行備考訓(xùn)練，其中包含不少難度頗大的問題這一現(xiàn)象，根據(jù)數(shù)軸的有關(guān)內(nèi)容是簡約而深刻的，教學(xué)應(yīng)該基于學(xué)情螺旋上升這樣的理解，開設(shè)《數(shù)軸的再認(rèn)識》專題復(fù)習(xí)課，重點(diǎn)引導(dǎo)學(xué)生打通絕對值的幾何意義、數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離公式、線段的中點(diǎn)公式、定比分點(diǎn)公式等的聯(lián)系，為解決“雙動點(diǎn)”等綜合問題做好鋪墊;同時滲透數(shù)形結(jié)合、分類討論、“序”等思想方法，幫助學(xué)生從“會解一道題”走向“學(xué)會解題”。

關(guān)鍵詞：簡約深刻;螺旋上升;《數(shù)軸的再認(rèn)識》;專題復(fù)習(xí)課

在七年級上學(xué)期期中（末）復(fù)習(xí)階段，很多數(shù)學(xué)教師會選取大量數(shù)軸綜合題進(jìn)行備考訓(xùn)練。其中有一類數(shù)軸上的“雙動點(diǎn)”問題是近年來各個“名校”模擬考試或縣區(qū)期中（末）考試中多見的考題，難度頗大，比如：

如圖1，已知A、B、C是數(shù)軸上的三點(diǎn)，O為原點(diǎn)，點(diǎn)A表示的數(shù)為-12，點(diǎn)B表示的數(shù)為8，點(diǎn)C為線段AB的中點(diǎn)。點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度沿?cái)?shù)軸向右勻速運(yùn)動，同時，點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿?cái)?shù)軸向左勻速運(yùn)動;當(dāng)P、Q相遇時，兩點(diǎn)都停止運(yùn)動。設(shè)運(yùn)動時間為t（t>0）秒，則當(dāng)t為何值時，P、Q、C三點(diǎn)中恰好有一點(diǎn)是以另外兩點(diǎn)為端點(diǎn)的線段的三等分點(diǎn)。

題海戰(zhàn)術(shù)常讓優(yōu)秀學(xué)生“空轉(zhuǎn)”，而沒有鋪墊、難度較大的綜合題常讓一些適應(yīng)性不好的學(xué)生疲于應(yīng)付，沒有因?yàn)榇罅坑?xùn)練而提高解題能力。

針對這一現(xiàn)象，筆者根據(jù)自己對數(shù)軸有關(guān)內(nèi)容及其教學(xué)的理解，開設(shè)了一節(jié)《數(shù)軸的再認(rèn)識》專題復(fù)習(xí)課。

一、教學(xué)內(nèi)容思考

學(xué)生進(jìn)入初中后，學(xué)習(xí)的數(shù)的范圍首先擴(kuò)充為有理數(shù)。為了研究有理數(shù)的相關(guān)概念及運(yùn)算，人教版教材基于溫度計(jì)，抽象出一個重要的工具：數(shù)軸。同時，給出了數(shù)軸的要素：原點(diǎn)、正方向和單位長度。指明了數(shù)軸的作用：實(shí)現(xiàn)數(shù)與形的一一對應(yīng)，從而借助形直觀地表示數(shù)的問題，借助數(shù)精確地研究形的問題。實(shí)際上，數(shù)軸這個工具不但在定義相反數(shù)和絕對值、研究有理數(shù)的運(yùn)算時有著不可替代的作用，而且能夠用來比較有理數(shù)的大小、表示不等式（組）的解集。此外，數(shù)軸體現(xiàn)了解析幾何的數(shù)形結(jié)合思想，可以升維推廣為平面直角坐標(biāo)系、空間直角坐標(biāo)系，進(jìn)而研究解析幾何問題（包括函數(shù)圖像問題），這對數(shù)學(xué)的發(fā)展起了重要作用。其中一個重要的問題就是兩點(diǎn)關(guān)系和三點(diǎn)關(guān)系問題，具體表現(xiàn)為兩點(diǎn)之間的距離和線段分點(diǎn)的表示。利用數(shù)軸可以得到兩點(diǎn)之間的距離（坐標(biāo)）公式，在此基礎(chǔ)上可以得到線段中點(diǎn)、三等分點(diǎn)、四等分點(diǎn)……n等分點(diǎn)的（坐標(biāo)）表示公式，這為高中學(xué)習(xí)平面解析幾何（乃至空間解析幾何）中的兩點(diǎn)之間距離公式、線段定比分點(diǎn)公式做了重要鋪墊。由上述分析可知，數(shù)軸的有關(guān)內(nèi)容是簡約而深刻的，即上手容易，但“聯(lián)通八方”。

對于這樣的教學(xué)內(nèi)容，教學(xué)時要把握好“度”，特別是要注意在不同的階段，基于學(xué)情，相機(jī)拓展，螺旋上升。具體來說，對于數(shù)軸的有關(guān)內(nèi)容，在“有理數(shù)”一章新授課上，只要讓學(xué)生掌握教材的要求，而不要急于拓展與提升;在“有理數(shù)”章末復(fù)習(xí)課上，可以對數(shù)軸及其相關(guān)概念（相反數(shù)、絕對值、有理數(shù)的運(yùn)算、有理數(shù)的大小比較）做梳理，引導(dǎo)學(xué)生利用絕對值的幾何意義，得出數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離公式;在“一元一次方程”一章學(xué)習(xí)等式的性質(zhì)，且在“幾何圖形初步”一章引入線段中點(diǎn)的概念后，可以進(jìn)一步組織學(xué)生利用數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離公式，得出線段的中點(diǎn)公式;而在七年級上學(xué)期期末復(fù)習(xí)階段，可以整合數(shù)軸上線段的中點(diǎn)、三等分點(diǎn)、四等分點(diǎn)等，引導(dǎo)學(xué)生探究關(guān)聯(lián)（七年級上學(xué)期的）有理數(shù)、整式加減、一元一次方程、幾何圖形初步等內(nèi)容的綜合題。

二、教學(xué)流程設(shè)計(jì)

（一）復(fù)習(xí)數(shù)軸及相關(guān)知識

問題1如圖2，請同學(xué)們回顧數(shù)軸的定義及相關(guān)知識。

學(xué)生復(fù)述數(shù)軸的定義。教師強(qiáng)調(diào)數(shù)軸的三要素，然后引導(dǎo)學(xué)生回顧相關(guān)概念，比如相反數(shù)、絕對值，再如運(yùn)用數(shù)軸理解有理數(shù)的大小比較、加減運(yùn)算。由絕對值的幾何意義，引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離公式，并進(jìn)一步聯(lián)想到中點(diǎn)公式。

（二）探究數(shù)軸上兩個定點(diǎn)與一個動點(diǎn)的問題

問題2如圖3，數(shù)軸上已知兩個確定的點(diǎn)A、B，對應(yīng)著兩個確定的數(shù)（請同學(xué)們假設(shè)出具體的值）。增設(shè)一個不確定的點(diǎn)M，對應(yīng)著一個不確定的數(shù)m。

（1）當(dāng)BM=6時，求m的值;

（2）當(dāng)點(diǎn)M為AB的中點(diǎn)時，求m的值;

（3）當(dāng)點(diǎn)M在線段AB上且AM=2BM時，求m的值;

（4）當(dāng)AM=2BM時，求m的值。

讓學(xué)生舉例確定數(shù)軸上點(diǎn)A、B對應(yīng)的兩個數(shù)（比如-3、9），就是讓學(xué)生參與設(shè)計(jì)例題或習(xí)題（提出問題），體現(xiàn)“學(xué)程重生成”的理念。在兩個定點(diǎn)的基礎(chǔ)上增加一個動點(diǎn)，四個問題的設(shè)計(jì)從距離公式的直接運(yùn)用到中點(diǎn)公式的直接運(yùn)用，再到三等分點(diǎn)公式的探究運(yùn)用，最后到定比分點(diǎn)公式的討論探究運(yùn)用，解題層次（思考難度）逐漸增加——當(dāng)然，學(xué)生有可能全部運(yùn)用距離公式，通過解方程來解決。教學(xué)時，安排學(xué)生展示自己的解法，然后由教師點(diǎn)評、講解。

（三）從特殊走向一般

問題3如圖4，數(shù)軸上的點(diǎn)A、B分別對應(yīng)著數(shù)a、b，且a+b>0，ab<0。另有點(diǎn)M對應(yīng)著數(shù)m。

（1）當(dāng)M為AB的中點(diǎn)時，用含a、b的式子表示m;

（2）設(shè)m=3，當(dāng)M為AB的中點(diǎn)時，求代數(shù)式a+b+3的值;

（3）當(dāng)AM=2BM時，用含a、b的式子表示m;

（4）當(dāng)AM=3BM時，用含a、b的式子表示m;

（5）若點(diǎn)M到A的距離是點(diǎn)M到B的距離的k（k為正有理數(shù)）倍，試分析k的取值范圍與點(diǎn)M的個數(shù)的關(guān)系。

出示題干后，先讓學(xué)生確定原點(diǎn)的可能位置并說明理由，從而理解a+b>0且ab<0意味著a、b一正一負(fù)且正的絕對值大。然后，依次出示五個問題，讓學(xué)生一般地探究（第2個問題是運(yùn)用）中點(diǎn)公式、三等分點(diǎn)公式、四等分點(diǎn)公式，直至更一般的定比分點(diǎn)公式。作為最一般的情況，最后一個問題是教學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)，需要引導(dǎo)學(xué)生分類討論：當(dāng)01時，點(diǎn)M更靠近B，在線段AB上或在AB的延長線上，個數(shù)是2。如果學(xué)情較好，還可以進(jìn)一步追問：隨著k的取值不同，相應(yīng)的a、b、m、k之間有怎樣的關(guān)系？預(yù)設(shè)解答：當(dāng)01時，m-a=k（b-m）或m-a=k（m-b），所以m=a+kb1+k或m=a-kb1-k。由此讓學(xué)生嘗試思考定比分點(diǎn)公式的統(tǒng)一形式：因?yàn)闆]學(xué)習(xí)有向線段（或向量）的概念，所以可以分在線段AB上、在線段AB或BA的延長線上兩種情況。

（四）課堂小結(jié)，布置作業(yè)

問題4（1）本節(jié)課主要復(fù)習(xí)數(shù)軸及相關(guān)概念，你對哪個概念印象更深了？說說你的理解;

（2）本節(jié)課解題過程中涉及了一些數(shù)學(xué)思想方法，你積累了哪些？舉例說說。

小結(jié)問題精準(zhǔn)針對本節(jié)課的學(xué)習(xí)內(nèi)容，而不是百搭式的“這節(jié)課你學(xué)到了什么”“這節(jié)課你還有什么困惑”等。

在學(xué)生回答，教師總結(jié)后，加大問題難度，布置課后作業(yè)。第一題是“若a-b+2=0，請思考|a+1|和|b-1|的關(guān)系”，讓學(xué)生充分理解絕對值的幾何意義和數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離公式的關(guān)系。第二題是文章開頭給出的“雙動點(diǎn)”問題，讓學(xué)生嘗試在距離公式和三等分點(diǎn)公式的幫助下，分類討論解有取值范圍限制的關(guān)于t的方程。

三、教學(xué)立意的進(jìn)一步解讀

數(shù)學(xué)教學(xué)的內(nèi)容選取要以有利于學(xué)生深入理解數(shù)學(xué)知識、感悟數(shù)學(xué)思想作為標(biāo)準(zhǔn)，而不能只是滿足于學(xué)生“細(xì)枝末節(jié)”的解題需求。因此，這節(jié)專題復(fù)習(xí)課還凸顯了這樣的教學(xué)立意。

（一）打通知識之間的聯(lián)系

在這節(jié)專題復(fù)習(xí)課之前，學(xué)生通常已經(jīng)知道絕對值的幾何意義、數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離公式、線段的中點(diǎn)公式，但是，還沒有打通它們之間的聯(lián)系，也無法將它們適度推廣并靈活運(yùn)用。因此，出于基于學(xué)情螺旋上升的需要，這節(jié)課首先要幫助學(xué)生打通它們之間的聯(lián)系：|a|的幾何意義是數(shù)軸上表示a的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，而|a|=|a-0|，將其推向一般即可得到數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離公式;如圖5，當(dāng)AM=BM時，利用兩點(diǎn)之間的距離公式可得m-a=b-m，變形可得m=a+b2，即得線段的中點(diǎn)公式。此外，要引導(dǎo)學(xué)生逐步推廣線段的中點(diǎn)公式，得到線段的定比分點(diǎn)公式，為解決“雙動點(diǎn)”等綜合問題做好鋪墊。

（二）注意思想方法的滲透

數(shù)軸習(xí)題的解答過程能體現(xiàn)很多數(shù)學(xué)思想方法，教學(xué)中要注意滲透。首先是數(shù)軸自帶的數(shù)形結(jié)合思想（根據(jù)不同習(xí)題的解法特點(diǎn)，又可以細(xì)化為以形助數(shù)、以數(shù)馭形、數(shù)形互助）。滲透數(shù)形結(jié)合思想時，有一些細(xì)節(jié)值得說一說，比如，通常表示“形”的大寫字母寫在數(shù)軸上方，而對應(yīng)的表示“數(shù)”的小寫字母寫在數(shù)軸下方。其次是字母表示數(shù)的不確定性蘊(yùn)含的分類討論思想。比如，當(dāng)一個點(diǎn)對應(yīng)的數(shù)沒有明確的取值限制時，需要考慮該點(diǎn)在數(shù)軸上可能位于原點(diǎn)的左邊、原點(diǎn)處或原點(diǎn)的右邊;同樣，當(dāng)一個點(diǎn)到某個定點(diǎn)的距離確定后，需要考慮該點(diǎn)可能在定點(diǎn)的左邊或定點(diǎn)的右邊。這些是因?yàn)槌踔须A段研究的線段不是有向線段，并不帶有方向（線段AB與BA是同一條線段）。最后是解決問題的“序”的思想。比如，先仔細(xì)讀題，辨明已知的條件（起點(diǎn)），理解求解的目標(biāo)（方向），再貫通解題的路徑。而對于很多數(shù)軸綜合題，貫通解題的路徑時，一般要先明確數(shù)軸上點(diǎn)對應(yīng)的數(shù)（有時要用含參數(shù)的式子表示），再結(jié)合線段之間的長度關(guān)系（點(diǎn)間的距離關(guān)系）列出方程，最后解方程（有時要視某個參數(shù)為主元）。經(jīng)常這樣開展解題教學(xué)，就能幫助學(xué)生從“會解一道題”走向“學(xué)會解題”。

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