鋼桁腹式混凝土組合箱梁的扭轉效應分析

楊霞林， 于小芹， 張元海

(1.蘭州交通大學 土木工程學院，蘭州 730070； 2.山東省建筑工程質量檢驗檢測中心有限公司，濟南 250031)

1 引 言

鋼桁腹式混凝土組合箱梁是一種較新型的鋼-混組合箱梁結構，具有現場施工便捷、自重輕、避免腹板開裂、通透性好以及橋型優美等優點。我國已有的該種橋型最為典型的是南京江山橋，已建成的該種橋型還有國道107寶安段匝道以及水碾堡特大橋。目前，國內外學者對該類結構的受力特點進行了較為深入的研究與探索，但關于扭轉性能方面的研究涉及很少[1-5]，王彤等[6]利用換算薄壁箱梁法思想及箱梁結構理論，提出了桁腹式組合桁架彎曲變形、扭轉和畸變的計算方法。國內外對其他類型的鋼-混組合箱梁的扭轉性能研究比較成熟[7-9]，故本文以薄壁箱梁扭轉理論為基礎，結合現有鋼-混組合箱梁的扭轉研究方法對鋼桁腹式混凝土組合箱梁進行扭轉效應的初步探究。

首先，按照剪切變形相等的原則將不連續鋼桁腹桿轉化為連續的薄壁混凝土腹板，并推導其各項扭轉幾何特性值。然后，基于薄壁箱梁扭轉理論，推導出組合箱梁閉口斷面的混凝土頂底板和換算鋼腹板的扭轉翹曲應力表達式，進而推導出組合箱梁約束扭轉控制微分方程；利用初參數法求解微分方程，并分析出翹曲雙力矩以及扭轉翹曲正應力隨梁跨的變化規律。最后，通過有限元模擬分析，將有限元值和理論值進行比較，以驗證理論計算方法的可靠性與準確性。

為便于開展相應的分析與研究，本文引入以下基本假定。 (1) 斜腹桿為二力桿，僅承受軸力，不考慮失穩； (2) 上部荷載作用下的彎矩由頂底板承擔，腹桿僅承受剪力且受力均勻； (3) 組合箱梁在偏載作用下發生扭轉時，忽略鋼桁腹桿自身的扭轉； (4) 符合小變形假定，且各個桿件的受力均在彈性范圍內； (5) 橫斷面的縱向應力分布符合擬平截面假定。

2 鋼桁腹桿縱向表觀彈性模量

由于鋼桁腹式混凝土組合箱梁的腹桿不連續，且腹桿與混凝土頂底板材料不一致，因此需要先求解鋼桁腹桿的縱向表觀彈性模量。

相鄰兩腹桿相接節點通過剪力鍵鉗固于混凝土承托中，因此混凝土翼板所受的力能夠平順地傳遞到鋼桁腹桿，可將混凝土頂底板之間的鋼桁腹桿看作連續折線。任取一組折線單元如圖1所示，每組折線單元以兩個彎矩零點為界限[3]。

利用圖乘法計算單元在軸向力作用下的縱向變形Δ1。圖2為乘法受力圖。

圖1 腹桿折線單元

圖2 腹桿折線單元受力

折線單元縱向變形Δ1為

(1)

式中E0為鋼桁腹桿初始彈性模量(即鋼材彈性模量),I0為鋼桁腹桿截面慣性矩，A0為鋼桁腹桿截面面積，P為鋼桁腹桿所受軸力，h為鋼桁腹桿豎向高度，θ為相鄰兩鋼桁腹桿之間的夾角。

取一塊等效平鋼板代替鋼桁腹桿[6]，假設此平鋼板厚度為ts，則

ts=E0/Gs·(A0hm/L3)

(2)

式中Gs為鋼材剪切模量，m為折線單元縱向長度的一半，L為鋼桁腹桿長度。

在作用力P作用下，等效平鋼板的縱向位移為

(3)

式中Ex為鋼桁腹桿縱向表觀彈性模量，As為等效鋼腹板的截面積。

由Δ1=Δ2，聯立式(1～3)，得鋼桁腹桿縱向表觀彈性模量Ex為

(4)

3 扭轉荷載分解

圖3所示為鋼桁腹式混凝土組合箱梁的橫斷面，斷面上作用有豎向偏載時會發生扭轉變形，一般而言，將該偏心荷載分解為一對對稱荷載與一對反對稱荷載[10]。組合箱梁在反對稱荷載作用下，截面會產生剛性扭轉與畸變變形。為阻止組合箱梁截面發生畸變變形，在截面施加一虛擬的對角支撐，使其只發生剛性扭轉變形[9]，如圖3所示。

圖3 反對稱荷載的分解

根據靜力平衡條件，得扭轉荷載為[11]

(5)

4 鋼桁腹式混凝土組合箱梁的扭轉分析

4.1 扭轉幾何特性

分析鋼桁腹式組合箱梁的約束扭轉翹曲應力，需先計算鋼桁腹式組合箱梁的截面扭轉幾何特性(包括扭心、輔助扇性坐標、主扇性坐標、主扇性慣性矩、主扇性靜矩和廣義扇性靜矩)。

圖4的點1為混凝土頂板與鋼桁腹桿交接處參考計算點，點2為頂部翼緣板端部參考計算點，點3為底板與鋼桁腹桿交接處參考計算點。輔助極點選取頂板中心點B處，計算控制點1，2和3輔助扇性坐標ωB、主扇性坐標ωA、主扇性靜矩Sω以及扭心位置R和主扇性慣性矩Iω。各參數(寬度、厚度和傾角)均在圖4中標明。

圖4 鋼桁腹式混凝土組合箱梁截面

點1，2和3的輔助扇性坐標表達式為

(6)

扭心R到頂板中心的距離d為

d=-Iω B x/Iy=h/[a3ta+c3tb+(b3-c3)tc+

(7)

式中Iω B x為輔助扇性坐標圖與x坐標圖圖乘所得，Iy為組合箱梁截面對x軸的慣性矩，

點1，2和3的主扇性坐標表達式為

(8)

主扇性慣性矩可通過將主扇性坐標圖自乘求得，

(9)

式中nc為混凝土彈性模量與鋼桁腹桿縱向表觀彈性模量之比，即nc=Ec/Ex。

主扇性靜矩計算式為

(10)

4.2 自由扭轉

組合箱梁橫斷面扭轉變形的截面位移可以表示為[10]

(11)

根據式(11)，可得組合箱梁橫截面的正應力和剪應力為

(12a)

(12b)

式中v為泊松比。

純扭轉翹曲位移為

(13)

組合箱梁的自由扭轉微分方程為

(14)

式中Mz為集中扭矩，mz為分布扭矩，Id為扭轉慣性矩。

(15)

式中mG=Gc/Gs，式(15)表示若將換算鋼腹板進一步等效換算為混凝土腹板，可將其按混凝土薄壁箱梁計算Id。Id通常由閉口箱室與開口懸臂板迭加求得[12]，而在計算組合箱梁的Id時，開口部分的扭轉剛度很小，為計算簡便，一般忽略不計。

4.3 約束扭轉

根據薄壁箱梁設計理論，需要引入位移量β′(組合箱梁翹曲位移自由度)對翹曲位移計算進行修正，使得組合箱梁發生約束扭轉后仍能保持變形后的連續。

翹曲位移表達式為

(16)

翹曲正應力的表達式可以表示為

(17)

對于鋼桁腹式混凝土組合箱梁，頂底板和換算鋼腹板由于其材料不同，各自翹曲正應力計算式也不相同。

混凝土翼板約束扭轉正應力計算式為

(18)

式中Ec為混凝土的彈性模量。

換算鋼腹板的扭轉翹曲正應力計算式為

(19)

式中Ex為鋼桁腹桿的縱向表觀彈性模量。

翹曲正應力σω對應的翹曲雙力矩Bω是一對大小相等方向相反的力矩，計算式為

(20)

式中Iω為主扇性慣性矩，

(21)

式中A1，A2和A3為混凝土頂板和底板截面面積以及換算腹板截面面積。

由式(18～20)，翹曲正應力表示為

(22)

約束扭矩Mz可由翹曲雙力矩Bω表示為

(23)

5 約束扭轉微分方程及其參數解

5.1 約束扭轉微分方程

雙力矩Bω、扭矩Mz以及翹曲正應力σω的求解需要先求出撓曲變形系數β′，然后通過β和θz的關系求解θz。

截面總扭矩為

(24)

根據式(24)可得β和θz的關系為

(25)

(26)

Mz為集中扭矩，mz為分布扭矩，兩者之間的關系為

dMz/dz=-mz

(27)

對式(26)求導并聯立式(27)，經整理得β的微分方程為

(28)

同理可推導出θz的微分方程為

(29)

5.2 初參數法求解微分方程

規定z=0處，四個初參數中θ0為該處角位移，β′0為翹曲位移，Bω 0為扭轉翹曲雙力矩，M0為扭矩，微分方程的齊次方程的通解為

θz=C1+C2z+C3sinhkz+C4coshkz

(30)

(31)

Bω=-GId(C3sinhkz+C4coshkz)

(32)

Mz=C2GId

(33)

初參數解為

(34)

(35)

(36)

Mz=M0

(37)

在式(34～37)中，組合箱梁的邊界條件決定4個初參數的取值，初參數解適用于無外界荷載作用下的組合箱梁，一般而言，對于作用有外荷載的組合箱梁，應在初參數解的基礎上補充相應的影響項。

如圖5所示，當組合箱梁跨內有扭矩時，式(34～37)分別為

(38)

(39)

(40)

(41)

式中符號=a表示只有z>a時的數值才計入算式，同樣=b表示只有z>b時的數值才計入算式，當z>c時，對應的積分上限也會發生改變。

5.3 邊界條件

邊界條件不同，角位移θz以及撓曲變形系數β′的取值也不相同[13]。

(1) 固定端θz=0，β′=0

(2) 簡支端θz=0，β″=0

5.4 作用集中扭矩的簡支組合箱梁扭轉分析

在簡支組合箱梁中，距梁端a處作用一集中扭矩，如圖6所示，根據邊界約束條件θz=0，β′=0，z=0時，θz=0，Bω 0=0，可得微分方程解為

當z

(42)

當z≥a時，

Mz=-(a/l)T

(43)

圖6 簡支組合箱梁作用集中扭矩

6 算例分析

6.1 扭轉幾何特性計算

以某鋼桁腹式混凝土組合箱梁簡支梁為例[14]，其上部結構采用單跨(35 m)等截面鋼桁腹式預應力混凝土組合箱梁結構，主梁為單箱單室截面，頂板寬8.5 m，底板寬4.8 m，梁高2.3 m。混凝土板采用C50混凝土，彈性模量為3.45×104MPa，鋼桁腹桿采用Q345C級鋼管，規格為Φ351×16，鋼桁腹桿水平傾角為67° 左右，節間距為1.95 m。組合箱梁橫斷面和縱斷面分別如圖7和圖8所示。為簡化計算，分別將頂板和底板的板厚均分，將鋼桁腹桿轉換成薄壁混凝土腹板，橫斷面簡化為如 圖9 所示截面。按上述理論推導式(6～10)和式(15)求得扭轉幾何特性，結果見表1及圖10～圖13。

圖7 組合箱梁橫斷面(單位：m)

圖8 組合箱梁縱斷面(單位：m)

圖9 組合箱梁計算模型及橫向加載位置(單位：mm)

表1 扭轉幾何特性

圖10 輔助扇性坐標ωB(單位：m2)

圖11 主扇性坐標ω(單位：m2)

圖12 主扇性靜矩單位：m4)

圖13 廣義扇性靜矩單位：m4)

6.2 結果分析

依據《公路橋規》[15]中車道荷載的情況對該橋施加P=330 kN的偏載，偏心距e=2075 mm，不計橋梁自重。橫向加載如圖14所示。

以此算例為研究對象，探究翹曲雙力矩隨著集中扭矩分別作用在簡支鋼桁腹式混凝土組合箱梁上l/4和3l/4跨以及跨中截面處的變化，圖15所示為翹曲雙力矩沿梁縱向的變化曲線。可見，翹曲雙力矩在集中扭矩作用處達到最大值，并且衰減速度相當快，距離集中扭矩作用處越遠，翹曲雙力矩就越小，梁端處為0。

以跨中作用集中扭矩為例，繪出點1(左側腹桿與混凝土頂板交點)、點2(混凝土頂板左端點)與點3(左側腹桿與混凝土底板交點)翹曲正應力沿梁縱向的變化曲線，如圖16所示，圖中應力以拉為正，以壓為負。集中扭矩作用處的翹曲雙力矩很大，使得該處組合箱梁截面產生了很大的翹曲應力，而距離集中扭矩作用處越遠，組合箱梁的翹曲雙力矩越小，翹曲正應力也越小，梁端處為0。

圖14 橫向加載位置

圖15 翹曲雙力矩沿梁縱向的變化曲線

圖16 扭轉翹曲正應力沿梁縱向的變化曲線

6.3 對比分析

為驗證以上理論計算方法的可靠性與準確性，運用ANSYS進行有限元數值模擬計算，并進一步與理論計算結果進行對比分析。有限元模型橫向和縱向尺寸構造如圖7和圖8所示，選用SOLID185單元模擬頂板和底板，BEAM188單元模擬鋼桁腹桿[16]，不考慮腹桿與混凝土的相對滑移，鋼桁腹桿與混凝土板的剛性連接通過建立約束方程進行自由度耦合。簡支鋼桁腹式混凝土組合箱梁的邊界一端為活動鉸支座，約束梁的豎向和橫向位移，另一端為固定鉸支座，約束梁的豎向和縱向和橫向位移。模型的相關數據列入表2。腹桿傾斜的角度為67° 左右，兩相鄰腹桿的最大距離為1.95 m。對該模型跨中截面處施加如圖17所示的一對反對稱荷載，使其滿足僅表現出扭轉與畸變的疊加效應，而不包含彎曲效應。

根據上述所推導的理論計算方法求取算例中鋼桁腹式混凝土組合箱梁的跨中截面處和0.1l跨截面處1點(腹桿與頂板連接點)、2點(頂板左端點)以及3點(腹桿與底板連接點)的扭轉翹曲正應力,疊加畸變翹曲正應力(計算過程本文略)后與有限元計算結果進行比較，列入表3。

圖17 反對稱荷載施加

表2 有限元模型的相關參數

表3 翹曲正應力有限元數值與理論數值的對比(單位：kPa)Tab.3 Comparison between finite element value and theoretical value(unit：kPa)

由表3可知，有限元數值與本文方法計算的理論數值相差并不大，差值百分比在10%以內，可見本文計算方法合理可行。

7 結 語

(1) 通過選取合適的輔助極點，推導出組合箱梁橫截面輔助扇性坐標ωB、扭心R、主扇性坐標ωA、主扇性慣性矩Iω及主扇性靜矩Sω等扭轉幾何特性表達式，并通過算例求解出扭轉幾何特性值，繪出輔助扇性坐標圖、主扇性坐標圖、主扇性靜矩以及廣義扇形靜矩圖。

(2) 對鋼桁腹式混凝土組合箱梁進行自由扭轉與約束扭轉分析，推導出組合箱梁約束扭轉微分方程，并通過初參數法求解出轉角、翹曲位移、扭轉翹曲雙力矩以及扭矩的一般公式，以跨中作用集中扭矩的簡支組合箱梁為例，賦予邊界條件，求解出四個參數的表達式。

(3) 根據算例，分析翹曲雙力矩以及扭轉翹曲正應力隨梁跨變化，翹曲雙力矩在集中扭矩作用處達到最大值，并且衰減速度很快，使得該處箱梁截面的翹曲應力達到最大值，箱梁的翹曲雙力矩在遠離集中扭矩作用處幾乎為0，翹曲正應力也幾乎為0。

(4) 建立有限元模型施加荷載并求解出翹曲正應力，利用本文所述方法求取跨中截面和0.1l跨截面點1，2和3的扭轉翹曲正應力，與畸變翹曲正應力疊加后與有限元值作比較，結果表明有限元數值與本文方法計算的理論數值差值百分比在10%以內，可見本文推導的理論計算方法合理可行。

(5) 本文沒有考慮預應力對扭轉效應的影響，實際工程中鋼桁腹式混凝土組合箱梁常在上下翼板布置預應力筋，故需進一步研究預應力產生的扭轉效應。