全彈性平面運動機器人的高精度運動控制和振動抑制算法研究

付曉東， 陳 力

(福州大學 機械工程及自動化學院，福州 350108)

1 引 言

空間機器人主要用來協助宇航員艙外作業、搭建空間站、回收失效衛星和清理軌道垃圾等，其動力學與控制的研究備受學者關注[1-4]。為擴大空間機器人的工作范圍，機械臂安裝于移動支座上，支座沿桁架組裝而成的導軌移動，由于臂桿自重或負載等外部因素的沖擊，易使導軌振動[5](本文將基座、導軌和航天器統稱為彈性基座，其彈性主要由導軌振動引起)。而機械臂具有桿長、質輕和重載等特性，其抗彎剛度偏低，尤其抓捕外部載荷及后續一體化操作時易誘發臂桿的軸向變形與振動[6，7]。另外，考慮發射成本及預期任務要求，關節處的驅動裝置一般采用諧波驅動柔輪，雖節省成本卻引入了關節柔性[8]。空間機器人的彈性可以抵御外部沖擊，提高系統的緩沖減振作用，但彈性振動也是影響系統控制精度和運動穩定性的關鍵因素，尤其構件自振產生的沖擊能量互相影響，造成機器人抖動甚至損傷設備，因此考慮空間機器人彈性影響并抑制其振動具有重要的現實意義。

近年來，國內外學者在空間機器人彈性抑振及運動控制方面取得一定成果。文獻[9]討論了彈性基座機器人基于神經網絡的自適應輸出反饋控制。文獻[10]設計了應用于柔性臂空間機器人的魯棒自適應控制。文獻[11]探究了柔性關節空間機器人基于觀測器的雙時間尺度控制。文獻[12]分析了彈性基座和柔性關節空間機器人建模及運動控制算法。上述研究主要考慮基座和關節和臂某一類或兩類構件彈性的影響，而基座、關節和臂全彈性系統的研究亟待進一步積累與完善。全彈性空間機器人是基座和關節剛性運動與基座、關節和臂彈性振動相互耦合的高度復雜非線性系統，振動互相影響，而且彈性抑制器又互為外部激勵，所以全彈性系統多重振動同步抑制及高精度運動控制具有一定難度。

另外，空間機器人軟硬件開發、設計、制造、運行以及維護成本高昂，設計結構簡單、占用儲存空間少、計算量小且精度高的控制器很有必要。比例微分(PD)控制使用PD線性反饋控制律，保證系統漸進穩定，且控制器容易設計，至今在工業機器人控制中廣泛應用。而為了提高機器人的控制品質，實現對周期信號的高精度跟蹤，重復學習控制受到學者重視[13，14]，由于周期性信號易進行傅里葉級數逼近，并且多數信號在中低頻段占有較大比例的功率，所以可以解析周期信號為有限維傅里葉級數，再結合傳統的PD算法與有限維重復控制，設計應用于航天工業的運動有限維PD重復學習控制器，用N個線性振蕩器和一個積分器并聯的結構估計系統中模型不確定性與其引起的擾動，不同于傳統的基于內模的重復控制器，運動有限維PD重復學習控制能有效避免嚴格的穩定條件與緩慢收斂問題，且規律簡單，不依賴模型信息，易于實現。

為此，本文基于基座、關節和臂全彈性空間機器人動力學模型，設計了改進的運動有限維PD重復學習控制算法及雙重柔性振動線性二次最優抑制方案構成的總控制算法，實現剛性軌跡高精度追蹤的同時，抑制基座、關節和臂多層彈性振動。數值仿真結果驗證了算法的可行性。

2 基座、關節、臂全彈性空間機器人建模分析

2.1 全彈性空間機器人模型的建立

基座、關節和臂全彈性空間機器人由載體B0、前柔性桿B1和后柔性桿B2組成，如圖1所示。其中，基座彈性部分視為無質量的線性伸縮彈簧，剛度系數kb取定值；柔性關節簡化為無慣量的線性扭簧[15]，剛度系數km i取定值；柔性桿采用歐拉-伯努力梁理論與假想模態法分析，等效為簡支梁，抗彎剛度EIi取定值，vi(t)為t時刻桿Bi在任意截面處的橫向彈性變形(i=1,2)。建立慣性坐標系OXY與各分體的連體坐標系Ojxjyj(j=0,1,2)，令OC 0為載體B0的質心(與O0重合)，OC為系統總質心，Oi為連接Bi - 1與Bi的旋轉鉸幾何中心(i=1,2)。q0為基座相對于Z軸的轉角，qb為載體與桿B1鉸接處彈性變形量，qi為桿Bi的相對轉角，qm i為關節電機轉子轉角。基座無振動時，OC 0與O1的距離為l0。關節鉸Oi處電機轉子質量不計，轉動慣量計為Jm i。

圖1 基座、關節和臂全彈性空間機器人

忽略微弱重力的影響，根據系統在慣性坐標系中的幾何位置關系、假設模態法和動量守恒定律，采用拉格朗日方程，建立載體位置不控和姿態受控全彈性空間機器人動力學模型為

(1)

(2，3)

2.2 模型奇異攝動分解

由于全彈性空間機器人基座、關節和臂桿的振動互相耦合，同時抑制三類構件的振動難度很大，為此，將基座和關節的彈性振動看作快變子變量，臂桿的振動、基座姿態和關節的旋轉運動看作慢變子變量，采用奇異攝動理論，將系統解耦為慢和快變子系統。令τn s∈R2 × 1為慢變子控制器，τn f∈R2 × 1為快變子控制器。設計電機驅動總控制器為

τm=(E+Ac)τn-Acτ

(4)

式中E∈R2 × 2為單位矩陣，Ac∈R2 × 2為對稱正定柔性補償矩陣，τn=τn s+τn f。

(5)

dξf/dtf=Afξf+Bfτn f

(6)

2.3 剛性子系統模型及其特性

(7)

子系統式(7)具有如下結構特性[16]。

特性1慣性矩陣M(x)對稱正定有界，即

λm(M)=y=2≤yTM(x)y≤λM(M)=y=2

(?y∈R3 × 1)

式中λm(·)和λM(·)分別為矩陣最小和最大特征值。

特性2科氏力和離心力矩陣C∈R3 × 3滿足

C(x,y)z=C(x,z)y(?y,z∈R3 × 1)

特性4存在正常數kM,kC 1和kC 2對于任意矢量x,y,z,x1,y1,x2,y2∈R3 × 1滿足關系式

其中，kM,kC 1和kC 2的取值參考文獻[16]。

特性5c1(x1,y1)與C(x1,y1)z有相似特性，即

其中，kC 3,kC 4和kC 5的取值參考文獻[16]。

3 控制器設計

3.1 慢變子系統控制算法分析

3.1.1 運動有限維PD重復學習控制

以T為周期的二次連續可微期望軌跡qd(t)用有限維傅里葉級數展開為

(8)

參考信號qd(t)二次連續可微，根據式(8)，得qd(t)高階項范數的有限上界

(9)

設計運動有限維PD重復學習控制器PDRC(finite -dimensional PD repetitive control)為

(10)

(k=1,…,N)(11)

(12)

(13)

(14)

(15)

式(14)取范數，并根據特性2～4得

(16)

(17)

將式(9)代入式(17)得

(18)

(19)

(k=0,1,…，N)(20)

(21)

(22)

(23)

將式(20～23)代入式(10)，再將結果與式(19)代入式(13)，得閉環系統誤差方程

(24)

(26，27)

定理對于剛性子系統式(7)，若控制器增益滿足

λm(KP)+αλm(KD)>α2λM(M)

(28)

(29，30)

(31)

則PDRC可保證系統的全局漸進收斂，即

(32)

證明用李雅普諾夫第二法證明上述定理，構造李雅普諾夫函數為

(33)

(34)

式(33)沿式(24)求微分，并代入式(34)得

(35)

將式(24～27)代入式(35)，應用特性3得

(36)

式中

3.1.2 改進的運動有限維PD重復學習控制

使用虛擬力概念，修正原有的期望軌跡，生成混合軌跡qh，設計改進的運動有限維PD重復學習算法，以實現軌跡追蹤控制與臂彈性振動抑制雙重作用。引入虛擬力F∈R3 × 1，定義eh=qh-qd，由指令發生器式(37)生成。

(37)

式中c,d∈R3 × 3為常正定對角矩陣。

令混合誤差er=q-qh，將控制器式(10～12)中qd,e和zk分別替換為qh,er和zk r，得改進后的PDRC為

(38)

(k=1,…,N)(39)

(40)

(41)

設計虛擬力F為

(42)

式中Rs為性能指標函數中F對應的加權矩陣，Ps為對應黎卡提方程的解。

令ξs和Ns(t)滿足

(?qs∈Rn)(43)

3.2 快變子系統控制器設計

(44)

4 仿真算例

控制情形1關閉所有彈性抑制器，即關閉虛擬力控制式(42)及快變系統控制式(44)，運用式(4，10～12)所示的算法仿真。

控制情形2開啟所有彈性抑制器，運用式(4，38～40，42，44)所示的算法仿真。

圖2為兩種控制情形下基座姿態和關節軌跡追蹤曲線。圖3為基座與關節彈性振動在兩種控制情形下的抑制對比曲線。圖4為兩種控制情形下的柔性桿抑振對比曲線。

圖2 兩種控制情形下基座姿態與關節的軌跡追蹤曲線

圖3 兩種控制情形下基座姿態與關節振動對比曲線

圖4 兩種控制情形下機械臂振動對比曲線

從圖2～圖4可以看出，在關閉彈性主動抑制的控制情形1控制下，機器人基座和關節剛性運動軌跡追蹤精度偏低，如圖2(a)所示，同時基座、兩關節和兩桿振動明顯，如圖3(a)和圖4(a)所示。采用本文設計的控制情形2的算法，能實現軌跡精確追蹤，如圖2(b)所示，并有效抑制基座、兩關節和兩桿彈性振動，如圖3(b)和圖4(b)所示。

圖5 跟蹤誤差收斂曲線

5 結 論

為了抑制基座、關節和臂全彈性空間機器人多層彈性振動，并獲得更高的軌跡跟蹤精度，本文利用質心定理、假設模態法與拉格朗日方程建立彈性基座、柔性關節和柔性臂空間機器人動力學模型，并根據奇異攝動法，將模型分解為慢和快變子系統。然后，以全彈性空間機器人動力學模型為基礎，設計了改進的PD重復學習慢變子控制器及線性最優多重柔性減振快變子控制器。通過仿真驗證可知，設計的控制方案可以同時抑制不同構件的彈性振動，并且設計的方案控制規律簡單，占用存儲空間少，控制精度可達-5.5數量級，實現了對期望信號的高品質追蹤。