基于約束參數的斷裂韌性轉化研究

劉志偉，劉聰，薛啟超

1. 中國核動力研究設計院，四川 成都 610213

2. 哈爾濱工程大學 航天與建筑工程學院，黑龍江 哈爾濱 150001

斷裂韌性表征材料阻止裂紋擴展的能力，是度量材料的韌性好壞的一個定量指標，材料的斷裂韌性不僅與材料本身屬性相關，同樣取決于研究對象的加載方式或約束水平等其他因素。目前對于材料斷裂韌性的測試方法，主要以單參數方法為主，以參考溫度作為唯一的衡量標準。然而單參數方法基本都是以標準試件作為試驗對象，在固定尺寸的試件上進行的試驗。但在日常生產生活中，我們所用到的物品、結構的尺寸，往往與試驗試件的尺寸差距較大，這就需要更為準確的、能描述不同尺寸試件斷裂韌性的新方法。

為了使斷裂韌性的應用更加廣泛，研究人員開始嘗試用雙參數方法來描述材料的斷裂韌性，該方法產生的主要原因是裂紋尖端存在著強烈的約束效應，即在無限接近裂紋尖端的位置，應力場為無窮大。這樣的情況就使得傳統的單參數法無法表現裂紋尖端位置的應力分布情況。

J-A2方法用J積分描述載荷水平，A2作為約束參數，是由裂紋端彈塑性場的漸近展開式發展而來的描述裂紋端約束的一種較精確的雙參數方法。王鐘羨[1]對單邊缺口緊湊拉伸試件和帶軸向表面裂紋管道進行了有限元分析。用J-A2方法量化了裂紋尖端區域的約束情況，結果表明管道裂紋尖端的約束水平要小于CT試件的約束水平。王忠羨等[2]對不同載荷水平下淺裂紋和標準裂紋試樣進行彈塑性數值分析，用J-A2雙參數方法對裂紋端約束效應進行了計算，證明了J-A2是與裂紋體構形和載荷形式相關的主要約束參數。顏福裕[3]用JA2方法計算了含裂紋的反應堆壓力容器的約束水平。根據實驗及數值模擬結果，預測了含半橢圓表面裂紋的反應堆壓力容器的斷裂韌性。Lam等[4]利用J-A2方法分析A533B反應堆壓力容器鋼在輻射下的韌性裂紋擴展，Kim等[5]采用J-A2方法研究加載速率對脆性材料動態斷裂起始韌度的影響。

本文通過對不同裂紋長度的三點彎曲試樣進行彈塑性數值分析，計算了裂紋尖端的J積分值，采用J-A2方法計算裂紋端的約束參數，驗證了JA2方法轉化斷裂韌性的可行性，為后續通過在實驗室中模擬結構的約束，預測實際結構斷裂行為的研究提供了參考。

1 基本理論

1.1 經驗公式法

J-A2方法是由南卡羅萊納大學的教授Yang和Chao等[6-8]于1993年和1994年發展起來的。Yang[9-10]等建立了裂紋尖端場的數學模型，由數學模型高階項的解析解較為準確地表示出了裂紋尖端的應力場。在后續的研究中Chao等[11]只保留數學模型高階項解的前3項，提出了裂紋尖端J-A2法的高階三項解來表示裂紋尖端的屬性，目前該方法已被廣泛應用于不同荷載下裂紋尖端約束的描述。

對裂紋尖端數學模型漸近解分析后，根據JA2理論在極坐標下的應力場公式可表示為[12]

參數A1及S1表達式如式(4)和式(5):

應力角函數及應力冪函數為硬化指數的函數，與其他約束參量無關，方程式中各項參數均可通過查閱相關文獻得到，應力角函數和冪函數只與材料的硬化指數相關，是硬化指數對應的相關函數，與受到的外部荷載及材料的其他任意性能無關。然而約束參數A2則與材料的基本性能和外部荷載水平有著直接的關系，可由不同方法總結計算得到。

雙參數J和A2的設定，使得其對應的3項解中含有兩個及以上的高階解，便使得在遠離裂紋尖端的位置，該公式也能夠同樣適用，以J積分作為荷載水平的度量，以A2作為裂紋尖端約束水平的衡量標準，在這樣的前提下，對于任一含裂紋試件，該方法都可作為裂紋尖端應力應變的衡量指標[13]。

裂紋尖端場的解為相應的J積分，且該結果只包含唯一的參量J積分，從而可以認定該區域為J積分控制的有效區域，相應的區域被稱為J積分控制區域。由于雙參數的方程解中具有2個及以上的高階項，在距離裂紋相對較遠的區域內，該結果依然有效，該區域距離J積分的控制區域相對較遠，而在大部分塑性材料中，往往在斷裂發生之時，裂紋尖端的塑性形變會非常之大，而這樣的變形通常會超出J積分直接控制的區域，由而J、A2雙參數控制的區域則能包絡裂紋尖端更大的范圍，該區域被稱為J-A2控制區域，如圖1所示，兩種不同的控制方法，可覆蓋裂紋周圍的全部區域[14]。

圖1 J積分區域示意圖

1.2 斷裂韌性轉化方法

目前國內外基于經驗公式法及主曲線法測定的斷裂韌性，所得結果相對來說過于保守。目前世界上比較先進的方法是采用微觀解離過程中力學分析的方法對斷裂韌性轉化方法進行研究，然而這種方法目前依舊停留在理論階段。本次研究采用J-A2法對考慮約束效應下的斷裂韌性進行轉換，即已知兩個試件的約束參數和其中一個構件的斷裂韌性推測另一構件的斷裂韌性的方法[15]。

對于在同樣環境下，具有不同約束條件的兩個試驗試件，由裂紋尖端的應力公式進行分析計算，可得到式(6)和式(7):

對于在相同試驗環境中的試件由式(6)及式(7)可得到：

式中：

由式(8)可知，當2個試件在不同約束條件的情況下，可通過轉化公式進行J積分的轉化，當試件尺寸相同時，可對相應約束參數進行轉化。

J積分是材料的一個臨界屬性常數，當材料的起裂判定值超過J積分當量時，材料裂紋便開始進行擴展。A2則是一個與試件實驗過程中的荷載、性能常數及試驗試件尺寸相關的一個性能參量，主要用于表示試件之間的不同。A2值相對較大的構件，表示其處于相對復雜的約束中。JA2法在大范圍屈服和小范圍屈服的條件下均適用，相較于單參數法能夠更為準確地表征裂紋尖端附近的應力場和應變場。

2 數值模擬分析

2.1 建立模型

本次研究選取三點彎曲試件進行模擬分析，通過設置不同的初始裂紋長度分別計算J積分，對計算所得J積分進行轉化，進而實現斷裂韌性之間的轉化。

建立三點彎曲試件進行模擬，試件總長度L為200 mm，試件高度W為40 mm，試件厚度B為20 mm，支撐軸跨距160 mm，首先設置機械缺口寬度為2.5 mm，采用V型缺口設計，3種模擬試件缺口高度分別設置為16、22和26 mm。將疲勞裂紋簡化為一條直線，長度為2 mm，裂紋整體長度a分別為18、24和28 mm，a/w數值分別為0.45、0.6和0.7，滿足規范要求。3處支撐軸直徑為20 mm，在模擬過程中，支撐構件不發生變形。具體模型如圖2所示。

圖2 三點彎曲試件模型示意

試件材料采用Q345B鋼材，根據材料拉伸試驗的結果，材料屈服強度數值設定為372.6 MPa，彈性模量設定為206 GPa，泊松比設定為0.3，材料應變硬化指數設定為0.4，切向摩擦系數取0.2。網格采用四面體網格尺寸為主，網格劃分后三點彎曲單元個數約為11 920個。模型的網格劃分如圖3所示。

圖3 三點彎曲試件網格劃分圖

采用動力隱式分析，將最大增量步數設置為10 000，初始增量步大小為設定為0.01 s，最小增量步為1e-005 s。場輸出請求輸出Mises等效應力、等效塑性應變及其他各類力學參量，在歷程輸出設置中選擇裂紋尖端的J積分隨裂紋變化的曲線。在載荷模塊中設置對試樣所施加的載荷和對有限元模型施加的邊界條件，載荷類型為應力波載荷。對于三點彎曲試件，在邊界條件中固定支撐試件的兩個支撐構件，使之在模擬過程中不發生移動。

2.2 計算結果

對3種不同裂紋情況下的試件進行加載，可以得到加載過程中的應力云圖，如圖4所示。

圖4 三點彎曲試驗應力云圖

由試件內力云圖可以看到，試件在不同初始裂紋的分析過程中，裂紋尖端均出現應力集中現象，且隨著裂紋深度的不斷加大，裂紋尖端的應力逐漸減小。通過模擬得到材料荷載-位移曲線如圖5所示。

圖5 三點彎曲試驗荷載-位移曲線

由三點彎曲試件的荷載位移-曲線能夠看到，在加載的初始階段，曲線趨于線性上升，荷載為位移的正比例函數，而在繼續加載的過程中，曲線斜率逐漸趨于平緩，此時位移量開始快速變大，裂紋進行擴展，直至最大值時材料失穩破壞。

2.3 斷裂韌性轉換

2.3.1J積分計算

J積分作為表征裂紋尖端應變集中特性的平均參量具有守恒性，在進行J積分求解時可選擇距離裂紋尖端較遠的回路位置。應用ABAQUS數值模擬軟件，在不同位置設定積分點，通過數據導出不同情況J積分的數值。分別選取沿裂紋擴展方向J積分的最大值，結果如圖6所示。

圖6 三點彎曲試驗J積分曲線

由圖6數據可以發現，裂紋位置的J積分最大值的參量隨著裂紋長度的增大而減小，J積分的數值越小，與其相對應的斷裂韌性值就越低，而相應的約束效應就更加嚴重，在裂紋發生擴展時所吸收的能量就越小，抵抗裂紋繼續開裂的能力就越弱。

2.3.2 約束參數A2的計算

對于約束參數A2的計算，將各類參數整理代入式(6)和式(7)得到對應的方程組，通過整理方程得到無量綱參數A2的數值。整理得到相應參數如表1所示。

表1 A2計算參數值

將表中數值及前文所求J積分數值進行整理，代入式(6)及式(7)中得到相關方程組，求得相應數值如表2所示。

表2 三點彎曲試件J積分與A2值

從表中數據能夠看出，裂紋相對較短的試件，約束參數A2的值更小，說明其具有的約束效應更小，抵抗變形的能力更強，裂紋繼續進行擴展需要的能量更多，斷裂韌性的數值更大。

2.3.3J積分的轉化

不同試件由于裂紋性質的不同存在著不同的約束參數，同一材質及尺寸的試件在不同約束下的J積分數值可進行相互轉化，已知某一試件的J積分及約束參數和另一試件的約束參數的條件下，可利用式(9)得到另一試件的J積分值，將18 mm裂紋長度試件的J積分及A2和24 mm裂紋長度試件的A2值代入，得到24 mm裂紋轉化J積分值。三點彎曲試件的J積分轉化值及誤差如表3所示。

表3 三點彎曲試件J積分轉化

分析表中數據可知，利用雙參數法對J積分的轉換，得到的數值與計算值誤差并不大，均在8%之內。

3 結論

本研究主要通過三點彎曲試驗的數值模擬，計算了含有不同長度裂紋的三點彎曲試件裂紋尖端J積分數值，同時研究了基于J-A2方法斷裂韌性轉化的可行性，主要結論如下：

1)基于ABAQUS有限元模擬得到了含裂紋三點彎曲試件的J積分數值，利用J-A2法分別計算了不同初始裂紋條件下三點彎曲試件約束參數A2的值，結果顯示隨著裂紋長度的加深，A2值逐漸增加，試件所處約束水平越高。

2)進行同類試件不同初始裂紋下J積分的轉化，轉化值與計算值誤差不大，不超過8%，說明JA2方法可對臨界J積分值進行轉換，驗證了該方法的可行性和準確性。