曲柄搖桿機構和雙搖桿機構的瞬心線解析法研究

劉慶，李春明,2，劉曉，曹惠

1. 中國石油大學(華東) 中國石油大學勝利學院，山東 東營，257061

2. 中國石油大學(華東) 機電工程學院，山東 青島，266580

曲柄搖桿機構是最簡單、最普遍的平面四桿(體)機構，任何復雜的機構都可視為該機構經過演化或組合而形成的[1-3]。連桿機構的運動具有連續性而沒有運動沖擊[4]，其承載能力有限。由于間隙的作用，以轉動副(屬于二約束副)[5]連接的構件(體)在承載時也是點線接觸，且相對運動明顯。一些輪廓線合理的高副(滾滑副，屬于一約束副)機構反而可承受較大的載荷且耐用。這些構體的接觸輪廓線須精心設計以避免運動沖擊，如凸輪與從動件的接觸輪廓[6]、火車輪軌接觸輪廓(包括車輪的車軌橫截面在理論上可視為雙曲柄機構經過高副低代(一副三代)而演化出的滾滑副機構)、鏈節與鏈齒的接觸輪廓等。根據連桿機構的瞬心線設計滾滑副機構的接觸輪廓具有重要的理論意義和實踐價值。

曲柄搖桿機構的瞬心、瞬心線及瞬心圓[7]的研究目前多見于圖解法及連桿運動圖譜研究。解析法研究主要有文獻[8]的運動學輔助算例和文獻[9]的消元法方程組研究。

運動學研究[10-11]是動力學研究[12]的基礎。構體之間的速度瞬心屬于機構運動學的研究范疇[13-15]，可用于某些基于一副三代的少構體機構速度分析，例如飛機起落架機構、人工椎間盤設計[16]等。本文基于直線方程、矩陣求逆和坐標變換等研究曲柄搖桿機構和5類雙搖桿機構的瞬心線解析法方程。

1 平面四體機構的瞬心線

1.1 瞬心的位置

如圖1所示的機構ABCD，共有4個構體、6個瞬心。作平面運動的3個物體之間有位于同一條直線上的3個瞬心(三心定理)。相鄰構體之間的瞬心在其轉動副中心。在運動過程當中，連桿2與機架(固定體)4之間的瞬心P24為曲柄(轉桿)與搖桿延長線的交點。在主動連架桿(擺轉桿)和從動擺轉桿平行的位置，該瞬心位于無窮遠處。

圖1 平面四體機構

主動擺轉桿1與從動擺轉桿3之間的瞬心P13在連桿與固定體的延長線交點上，其軌跡與固定體AD共線。當連桿和固定體平行時，該瞬心位于無窮遠處。

1.2 連桿與固定體之間的瞬心坐標

在圖1當中，以A為坐標原點，以固定體AD為x1軸 ，建立平面直角固定坐標系x1?A?x2。根據矢量方程的幾何意義[17]及構體之間的連接關系，建立矢量方程，采用基于諧波合成與分解的方法獲得各構體的位置角[18]，然后求出C、D點的坐標。根據AB和CD的兩點式直線方程，該瞬心P24的坐標滿足以下方程組：

整理式(1)，得

根據二階矩陣求逆運算的簡化公式：

兩條直線的交點即為P24。該點的坐標為

與代入法和消元法[9]相比，上述求解方程組的矩陣運算法更直觀、更不易出錯。

在式(2)中，如果d等于0，則該機構位置P24的2個坐標值均為無窮大，只能求出兩者的比例。為了簡化計算，本文不研究該位置。

再將軸轉平至x1軸 正方向，即轉動?θ2，則連桿上的瞬心坐標轉換為

再將B點平移到在固定坐標系當中的繪圖位置，則該瞬心坐標轉換為

式(4)為該瞬心在連桿牽連坐標系中的坐標。式(5)為將動瞬心線繪制在固定坐標系中的依據。

1.3 主動擺轉桿與從動擺轉桿之間的瞬心坐標

該瞬心為P13。 固定體與x1坐標軸重合，AD的直線方程可采用點斜式，求得B、C點坐標之后，BC的直線方程可采用兩點式。因此，P13點的坐標滿足以下方程組：

整理式（6）可得：

如果連桿與固定體平行，則P13在無窮遠處，式(7)會被零除。

該瞬心在主動擺轉桿和從動擺轉桿上牽連坐標系中的坐標均可根據式(3)和式(4)獲得。

1.4 曲柄搖桿機構瞬心線的繪制

取曲柄長度為200，連桿長度為500，搖桿長度為800，固定體長度為1 000。當式(2)的d為零時，曲柄與搖桿平行，瞬心P24在無窮遠處。在圖2中，P24在固定體上的軌跡為靜瞬心線，如虛線所示；P24在連桿上的軌跡隨機構的運動而運動，稱為動瞬心線，如實線所示；B點和C點的軌跡如點劃線所示。靜瞬心線在曲柄的延長線上，在該圖可測出靜瞬心與曲柄位置的對應關系。

圖2 曲柄搖桿機構的定瞬心線與動瞬心線

2 雙搖桿機構的瞬心線

2.1 搖桿的擺動范圍

在擺轉桿與固定體拉直共線或重疊共線的位置，如果另兩桿均能組成三角形，則該擺轉桿為曲柄，否則為搖桿。當另兩桿重疊共線或拉直共線時，搖桿位于極限位置。據此，可確定搖桿的擺動范圍。根據上述兩個三角形成立的條件，可得平面四體機構存在周轉副的桿長條件是：最短桿與最長桿之和小于另兩桿之和。

雙搖桿機構共有5種情況[19]：

1)有周轉副且最短桿對面的構體為固定體。由于上述2個三角形均不成立，2個搖桿均在固定體的同側擺動。連桿和從動搖桿拉直共線時，主動搖桿位于左極限位置；連桿和從動搖桿重疊共線時，主動搖桿位于右極限位置。主動搖桿的轉動范圍為

2)無周轉副且固定體最長。由于上述2個三角形必有一個成立，兩搖桿均可在固定體兩側擺動。如果主動搖桿可對稱擺動，則從動搖桿的擺動范圍一般不對稱，下同。從動搖桿和連桿只存在拉直共線的情況。2個搖桿擺動范圍的開口方向相對。主動搖桿的轉動范圍為

3)無周轉副且從動搖桿最長。連桿與從動搖桿只有重疊共線的情況。2個搖桿均可在固定體兩側對稱擺動，且擺動范圍的開口方向均向左。主動搖桿的轉動范圍為

4)無周轉副且主動搖桿最長。連桿與從動搖桿只有拉直共線的情況。主動搖桿與從動搖桿均可在固定體兩側對稱擺動，且擺動范圍的開口均向右。主動搖桿的轉動范圍為

5)無周轉副且連桿最長。連桿與從動搖桿只有重疊共線的情況。兩個搖桿均可在固定體兩側對稱擺動，且擺動范圍的開口相背。主動搖桿的轉動范圍為

在上述5種情況當中，主動搖桿的極限位置存在運動分岔現象，屬于歧運動位。如果機構靜止，無論多么大的驅動力也會卡住，則該歧運動位也稱為機構的卡位[20-21]。卡位可用于鎖緊機構。

2.2 瞬心線的繪制

對于式(8)的情況，參照1.4，取主動搖桿AB的長度為500，連桿BC的長度為200，從動搖桿CD的長度為800，固定體AD的長度為1 000。P24的瞬心線如圖3所示，其中虛線為靜瞬心線，實線為動瞬心線，點劃線為主動搖桿上B點和從動搖桿上C點的擺動軌跡。

圖3 有周轉副且固定體最長的瞬心線

取4個構體的長度分別為1 000、800、500、400。對于式(9)～(12)的情況，在主動搖桿的一個擺動行程當中，P24的瞬心線如圖4所示，圖線說明與圖3的相同。

圖4 無周轉副機構的瞬心線

3 結論

1)本文推導的平面四體機構的瞬心線方程具有普適性。

2)基于該方程繪制的瞬心線可為滾滑副機構的輪廓線設計提供參考。

3)與當前經典機械原理學科的圖解法相比，本文的研究更容易獲得瞬心線。

4)對于平行四邊形機構，兩曲柄之間的瞬心在無窮遠處，連桿與固定體之間的瞬心也在無窮遠處。從動曲柄反轉時，這兩個瞬心也值得研究。