基于PEIV模型的礦區(qū)坐標框架轉(zhuǎn)換參數(shù)估計方法研究

靳文舉，徐強國，呂建河，韓先楠，丁 銳

(1.兗煤菏澤能化有限公司，趙樓煤礦，山東 菏澤 274705；2.中國礦業(yè)大學，江蘇省資源環(huán)境信息工程重點實驗室，江蘇 徐州 221116)

0 引 言

為了適應(yīng)現(xiàn)代對地觀測技術(shù)發(fā)展，特別是國家坐標系統(tǒng)統(tǒng)一要求，建立高精度礦區(qū)坐標系統(tǒng)框架愈發(fā)重要。礦區(qū)坐標轉(zhuǎn)換參數(shù)通常采用最小二乘估計(Least Square，LS)方法[1]。近年來變量誤差(Errors-in-Variables，EIV)模型其嚴密解法總體最小二乘(Total Least Square，TLS)日益引起學者們關(guān)注[2-4]，劉亞彬等[5]研究了總體最小二乘抗差估計在GNSS高程擬合中的應(yīng)用；Xu P等[6]給出了EIV模型的概括模型方法，顯著提高了TLS法的求解效率。王樂洋等[7]分析了PEIV模型方差分量估計精度問題。由于TLS法同時顧及了誤差方程系數(shù)矩陣和觀測向量誤差，為構(gòu)建高精度礦區(qū)坐標框架基準提供了重要科學基礎(chǔ)，同時為礦區(qū)企業(yè)安全生產(chǎn)提供高精度測量服務(wù)成為可能。譬如礦區(qū)高程異常擬合TLS解算法，礦區(qū)坐標轉(zhuǎn)換法方程病態(tài)問題[8-10]。關(guān)于PEIV模型應(yīng)用于礦區(qū)坐標框架基準轉(zhuǎn)換的研究較少，且未充分考慮原有和目標坐標框架觀測值精度不等的情況，隨機模型準確性對參數(shù)估計會有影響。本文在分析PEIV模型和方差分量估計方法的基礎(chǔ)上，將其引入礦區(qū)坐標框架轉(zhuǎn)換，研究觀測值數(shù)量和隨機模型對求解礦區(qū)坐標框架轉(zhuǎn)換參數(shù)精度和計算效率的影響。

1 PEIV模型及其解法

PEIV的函數(shù)模型和隨機模型[6]表示為：

(1)

(2)

由于系數(shù)矩陣中的元素是關(guān)于變量的函數(shù)，文獻[7]將PEIV模型視為非線性函數(shù)，將其線性化為經(jīng)典Gauss-Markov模型：

(3)

(4)

(5)

采用間接平差可表示為：

(6)

(7)

通過迭代計算，參數(shù)估值為：

(8)

(9)

2 最小范數(shù)二次無偏估計法(MINQUE法)

最小范數(shù)二次無偏估計法是一種通過滿足最小范數(shù)條件得到單位權(quán)方差分量估值，是一種更為準確的隨機模型驗后估計方法。王樂洋等[7]給出了經(jīng)線性化的PEIV模型最小范數(shù)二次無偏估計：

(10)

(11)

本文將結(jié)合PEIV模型的方差分量估計方法定義為PEIV-VC模型。

3 礦區(qū)坐標框架基準轉(zhuǎn)換PEIV模型方法

為了構(gòu)建高精度礦區(qū)坐標基準，將PEIV模型和PEIV-VC模型應(yīng)用于礦區(qū)平面坐標轉(zhuǎn)換實驗研究。四參數(shù)坐標轉(zhuǎn)換模型可表示為：

(12)

3.1 初始-目標坐標框架觀測誤差相同

表1 坐標點數(shù)為5時四參數(shù)坐標轉(zhuǎn)換模型協(xié)因數(shù)及坐標觀測值/m

表2 初始和目標坐標框架觀測值誤差相同情況下計算結(jié)果(坐標點5)

圖1 觀測值誤差相同時統(tǒng)計結(jié)果(坐標點5)

坐標點個數(shù)為15時，3種方法參數(shù)估值及其精度信息與計算效率見表3，模擬實驗統(tǒng)計結(jié)果如圖2所示。

坐標點數(shù)為25時，3種方法求參數(shù)估值及其精度信息與計算效率見表4，模擬實驗統(tǒng)計結(jié)果如圖3所示。

對比表2、表3和表4，當初始和目標坐標系觀測值誤差相同時，3種方法都能有效求得坐標轉(zhuǎn)換參數(shù)，PEIV-VC模型參數(shù)估值最優(yōu)，PEIV模型參數(shù)估值次之，LS法參數(shù)估值精度最低。隨著坐標觀測值數(shù)量增加，3種方法參數(shù)估值精度逐漸提高，且PEIV模型參數(shù)估值逐漸接近PEIV-VC模型結(jié)果，但PEIV模型求解所需時間僅為PEIV-VC模型所需時間的3.61%-3.76%。由1 000次模擬實驗統(tǒng)計結(jié)果可知，當坐標觀測值數(shù)量較少時，3種方法求得最接近真值的參數(shù)估值次數(shù)差別較小，隨著坐標觀測值數(shù)量增加，PEIV模型方法求得最優(yōu)參數(shù)估值概率增大。

表3 初始和目標坐標框架觀測值誤差相同情況下計算結(jié)果(坐標點15)

表4 初始和目標坐標框架觀測值誤差相同情況下計算結(jié)果(坐標點25)

圖2 觀測值誤差相同時統(tǒng)計結(jié)果(坐標數(shù)為15)

圖3 觀測值誤差相同時統(tǒng)計結(jié)果(坐標數(shù)為25)

3.2 初始和目標坐標框架觀測值誤差不同

表5 初始和目標坐標框架觀測值誤差不同時計算結(jié)果(坐標點5)

表6 初始和目標坐標框架觀測值誤差不同時計算結(jié)果(坐標點15)

表7 初始和目標坐標框架觀測值誤差不同時計算結(jié)果(坐標點25)

圖4 觀測值誤差不同時統(tǒng)計結(jié)果(坐標數(shù)為5)

圖5 觀測值誤差不同時統(tǒng)計結(jié)果(坐標數(shù)為15)

圖6 觀測值誤差不同時統(tǒng)計結(jié)果(坐標數(shù)為25)

對比分析可知，當初始和目標坐標框架觀測值誤差不同時，3種方法仍能有效計算坐標轉(zhuǎn)換參數(shù)，當坐標觀測值數(shù)量增加時，PEIV-VC模型參數(shù)估值優(yōu)于PEIV模型，且相較于觀測值誤差相同時的結(jié)果提高明顯，表明考慮隨機模型十分重要，但計算代價顯著增加。PEIV-VC模型始終能在修正隨機模型的同時更大概率地求得最優(yōu)參數(shù)估值，表明將PEIV-VC模型應(yīng)用于礦區(qū)平面四參數(shù)坐標框架轉(zhuǎn)換的重要意義。

4 結(jié) 語

本文將PEIV模型應(yīng)用于礦區(qū)坐標框架轉(zhuǎn)換參數(shù)估計問題，并通過方差分量估計對隨機模型進行修正。根據(jù)礦區(qū)數(shù)據(jù)特征模擬礦區(qū)測量數(shù)據(jù)，分析了坐標觀測數(shù)量和隨機模型對求解礦區(qū)坐標框架轉(zhuǎn)換參數(shù)精度和計算效率的影響。① 驗證了PEIV模型應(yīng)用于礦區(qū)坐標框架轉(zhuǎn)換參數(shù)估計的可行性及修正隨機模型的重要性；② 坐標觀測數(shù)量能夠有效提高礦區(qū)平面坐標轉(zhuǎn)換參數(shù)求解精度；③ 當初始和目標坐標框架觀測值等精度時，PEIV模型在一定程度上可以通過增加觀測值數(shù)量，在節(jié)省大量計算時間的同時達到逼近PEIV-VC模型求解精度的效果；④ 當初始和目標坐標框架觀測值不等精度時，PEIV-VC模型為礦區(qū)坐標框架轉(zhuǎn)換的最優(yōu)選擇，為研究多源和海量礦區(qū)數(shù)據(jù)處理問題提供了參考。