關于二階Dirichlet邊值問題教學中的一些思考

徐家發 柏仕坤

摘 要：本文使用不動點指數研究二階Dirichlet邊值問題正解的存在性，并給出該問題在教學中的一些思考。

關鍵詞：二階Dirichlet邊值問題;正解;不動點指數

Abstract：In this paper we use the fixed point index to study the existence of positive solutions for the second order Dirichlet boundary value problem，and also give some considerations for teaching this problem.

Key words：Second Dirichlet boundary value problem;Positive solutions;Fixed point index

1 基本知識

從而算子A在（BR2＼B__r2）∩P上至少有一個不動點，即問題（1.1）至少有一個正解。

注2.4 在本文主要結論的證明過程中，我們沒有用到Green函數G，也就是說不針對積分方程直接做運算，這與以往文獻中提到的辦法有所不同。在關于此問題的教學中，尤其是對于初學者，在講清楚以往常用的方法后，再來講解此方法，能起到觸類旁通、舉一反三的作用。

參考文獻：

[1]吳小榮，王峰.奇異二階周期邊值問題正解的存在性[J].數學的實踐與認識，2008，38（23）：227-232.

[2]張興秋，王紹鋒.奇異二階微分方程邊值問題的正解及多解[J].山東大學學報，2006，41（4）：4-7.

[3]鄒玉梅，丁殿坤.奇異二階m點邊值問題的正解[J].徐州師范大學學報，2006，24（2）：33-36.

[4]Liu zhaoli，Li Fuyi.Multiple positive solutions of nonlinear two-point boundary value problems[J].Journal of Mathematical Analysis and Applications，1996，203（3）：610-625.

[5]紀宏偉.Positive solution to three-order and three-point nonlinear boundary value problem[J].大學數學，2018，34（6）：1-8.

[6]紀宏偉.一端固定一端懸空的彈性梁方程正解的存在性[J].內蒙古師范大學學報，2018，47（5）：384-387.

[7]李洋.一類四階微分方程兩點邊值問題正解及多個正解的存在性[J].重慶理工大學學報，2017，31（1）：158-164.

[8]姚慶六.Positive solution concerned with first eigenvalue of a singular typical Elastic Beam equation[J].應用數學，2013，26（4）：803-809.

[9]Xu Jiafa，Yang Zhilin.Positive solutions for a fourth order p-Laplacian boundary value problem[J].Nonlinear Analysis：Theory，Methods & Applications，2011，74（7）：2612-2623.

[10]孫經先.非線性泛函分析及其應用[M].北京：科學出版社，2007.

基金項目：重慶市自然科學基金面上項目（cstc2020jcyj-msxmX0123），重慶市教委科技項目（KJQN202000528）

作者簡介：徐家發（1985— ），安徽六安人，博士，副教授，研究方向：非線性泛函分析和非線性方程。