山區公路隧道拱頂沉降回歸模型的比選

魏弘銘， 范 瑛

(湖北工業大學土木建筑與環境學院， 湖北 武漢 430068)

山區公路隧道在其施工階段中隧道拱頂沉降現象是一個多變復雜的非線性過程，對其變化量進行準確的預測與評估具有非常重要的工程意義。業界多采用半經驗法、線性和非線性多元回歸分析法對拱頂沉降監測數據建立多種模型，來分析預判新奧法施工的隧道拱頂產生的沉降值[1]。在隧道施工過程中，因環境復雜、監測儀器以及操作誤差等多重因素的影響，常常會使得拱頂沉降監測數據不完全，因此單憑監測數據很難對拱頂沉降現象作出準確判斷與評價。本文以山區公路隧道拱頂沉降監測數據為基礎，建立變量，對數據進行處理，建立回歸模型，研究分析監測數據存在的規律，具有科學、簡便、實用性強的特點。具體做法是：依托竹山縣西溝埡隧道工程，對監測數據進行處理，采用4種回歸函數建立回歸模型，通過顯著性檢驗和回歸曲線擬合對每一種回歸模型進行比選，確定最適宜的回歸模型，為西溝埡隧道拱頂沉降量分析預判提供科學依據，指導隧道施工。

1 工程概況

西溝埡隧道位于242國道竹山縣上庸鎮田家壩至峪口段改擴建工程的K4+025處，為新建單洞式隧道，隧道起止里程樁號為K3+765-K4+285，隧道全長520 m，最大埋深約102 m，建筑限界有效凈高5.0 m，有效凈寬10.0 m，凈空斷面面積為58.79 m2。勘察區域地貌單元屬鄂西北構造侵蝕中高山區，山體起伏較大，地表植被較好，最大高程位于山頂，最低位置處于溝谷，相對高差約100 m，隧道區域山脊總體走向為北東西向，隧道軸線呈西北南向穿過山脊。西溝埡隧道從隧道進口處單向開挖，隧道施工按照新奧法原理，短臺階法作業。

2 顯著性檢驗

2.1 相關系數

變量x和變量y之間是否存在線性關系，若存在線性關系那么線性關系程度的大小用相關系數r表示，即

相關系數r按三級標準劃分：|r|<0.4為低度線性相關；0.4≤|r|<0.7為顯著性相關；0.7≤|r|<1為高度線性相關[1]。

2.2 回歸估計標準誤差

通過回歸模型得到的回歸值與實際值之間偏離程度大小的指標用回歸估計標準誤差σ表示，即

σ值越小，回歸值與其實際值的近似誤差越小，回歸值的代表性越強，用回歸模型預測的結果越精確，回歸模型的代表性越強[1]。

2.3 回歸平方和U

回歸平方和U表示，即

2.4 方差齊性檢驗

顯著性水平α給定，本文選取α=0.05，計算F值，通過F值分布表比較。若F>F(1，n-2)，說明變量x與變量y有顯著的線性關系，若F≤F(1，n-2)，則稱變量x與y沒有明顯的線性關系，說明回歸模型效果不顯著，不具有代表性。

3 回歸模型建立

回歸模型就是基于已有的數據構建數學統計模型，得出變量之間關系的近似表達式，并根據表達式對相應的變量進行預測等[1]。

3.1 數據處理

選取測點穩定、無損壞、監測數據較完整的監測斷面進行拱頂沉降回歸模型的建立。西溝埡隧道拱頂監測斷面布置較多，僅以樁號為K4+190的監測斷面拱頂沉降數據為例，對回歸模型的建立進行分析研究。在回歸模型建立過程中，選擇自變量為監測時間，拱頂累計沉降量為因變量。

回歸模型的建立對奇異值非常敏感，奇異值的存在會極大地影響回歸模型的效果以及后期拱頂沉降預測值，而在實際情況下，監測數據又容易受到多重因素影響而出現較大的波動起伏，因此在回歸模型建立前，需對監測數據中的奇異值進行處理以提高回歸模型的精度[3]。對于奇異值我們采用“拉依達準則”檢驗法找出剔除，并采用鄰點中值法進行替換。

1)“拉依達準則”檢驗法

“拉依達準則”檢驗法又稱為“3σ準則”檢驗法，對于一組數據{y1，y2，…，yi-1}，我們定義該組數據di：

di=2yi-(yi-1+yi+1)i=1,2,3,…,n-2

當qi>3時，則認為yi是奇異值[4]，應舍棄，空位值采用鄰點中值代替。

2)鄰點中值法

選擇奇異值點兩側相鄰點的數據yi-1和yi+1的中點值作為新的數據，新點yi計算公式為：

經過處理后的拱頂沉降數據如表1所示。

表1 隧道K4+190監測斷面隨時間變化拱頂累計沉降值

3.2 回歸方程確定

根據JTGF60-2009《公路隧道施工技術規范》[5]的相關要求本文將分析下列4種回歸函數模型的擬合效果：

冪函數模型

U=AtB

指數函數模型

U=Aexp(-B/t)

對數函數模型

U=A+Blg(1+t)

雙曲線函數模型

U=t/A+Bt

式中：A，B為回歸常數；U為拱頂累計沉降值,mm；t為初始沉降后的時間,d。

通過最小二乘法計算各回歸模型參數，最小二乘估計法的思想就是對于每一個樣本觀察值(xi，yi)，使得觀察值yi與f(xi)在該點處的誤差平方和最小[6]。對于一元非線性函數模型，通過變量代換， 把一元非線性函數轉換為一元線性函數y=a+bx，再利用最小二乘法計算參數a、b，通過a、b換算出曲線函數常數A、B值[7]。本文以指數函數模型U=Ae-B/t為例進行計算分析。

指數函數模型，表達式U=Ae-B/t，采用換元法，令y=lnU，a=lnA，b=B，x=-1/t，得轉換函數:y=a+bx，對系數a、b采用最小二乘法算出，如下式所示：

(i=1,2,3,…,n=30)

(i=1,2,3,…,n=30)

求出回歸方程表達式見下表，用同樣的方法可得出冪函數模型、對數函數模型、雙曲函數模型的回歸方程表達式，計算過程見表2。

表2 回歸函數模型表達式及相關參數統計表

4 回歸模型的比選

4.1 回歸曲線

回歸曲線：兩變量間呈現曲線關系的回歸，確定兩變量間數量變化的某種特定的規則或規律。各回歸模型所對應的回歸曲線與拱頂累計沉降量-時間實測曲線擬合圖見圖1～4。

圖 1 冪函數模型回歸曲線

圖 2 指數函數模型回歸曲線

圖 3 對數函數模型回歸曲線

圖 4 雙曲線模型回歸曲線

對比分析圖1～4所示的回歸曲線，對數函數模型是曲線擬合效果最好的，結合顯著性檢驗中的相關系數r值、回歸估計標準誤差σ值、回歸平方和U值、F檢驗值，在回歸平方和U值比選方面，雖然冪函數模型U值大于對數函數模型U值，但綜合各指標值以及回歸曲線擬合趨勢，顯然對數函數模型能夠更好地擬合實測數據，與實測數據相關度更高，所以最終確定對數函數模型為西溝埡隧道拱頂沉降評價分析模型，在后續西溝埡隧道施工過程中，采用對數函數模型，對拱頂沉降量進行預測分析評價以及合理確定二襯施作時間。

4.2 實測對比驗證

通過顯著性檢驗以及回歸曲線擬合比選后得到的回歸模型，在具體應用于實際分析前，要將回歸模型與實際數據再一次對比驗證，將t=18，19，…，26代入對數函數回歸方程中，得出對應的拱頂沉降回歸值，并與實際值進行對比，得到實際值與回歸值對比表，見表3。

表3 實際值與回歸值對比表

通過對數函數回歸模型預測出隧道拱頂沉降在開始監測的第19 d后趨于基本穩定， 實測結果為第21 d以后趨于基本穩定，實測結果與預測結果基本對應，體現出回歸模型分析結果的可靠性。回歸相對偏差率=(回歸值-實測值)/實測值，通過計算，回歸相對偏差率在-0.03%～5.45%范圍之間，偏差較小，對數函數模型得到的回歸值與實測結果值吻合度較好，可以用于西溝埡隧道拱頂沉降現象的評價分析以及施工過程中沉降量的預測。

5 結論

1)利用4種回歸函數對西溝埡隧道樁號為K4+190的監測斷面進行拱頂沉降回歸模型的比選，比選結果顯示，4種回歸函數模型中對數函數回歸模型代表性最強，與實際情況吻合度更好，同時也表明各回歸模型的適用性不同，應根據具體工程實際選擇回歸模型。

2)判斷某一回歸模型的優劣要從相關系數、回歸差、回歸平方和、F值、回歸曲線與實測曲線擬合趨勢等幾個方面綜合分析考慮，單一因素往往是片面的，不具代表性。

3)為了能夠更好的分析評價隧道拱頂沉降現象，有些測點監測數據可能采用幾種回歸模型的組合，某一部分用一種回歸模型，另一部分用另外一種回歸模型，這樣得到的結果可能更符合實際情況，這種組合模型在日后的運用過程中仍需深入分析探討。